学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷02（人教A版选二+选三全部：数列、导数、计数原理、随机变量及其分布列、统计）

**基本信息** 以机器人舞蹈、张雪机车等真实情境为载体，融合正态分布与函数、概率与数列等跨模块知识，通过梯度化问题设计考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|导数几何意义（题1）、等差数列性质（题2）、分布列（题3）|第7题结合春晚机器人移动考查条件概率，体现数学眼光| |填空题|3题15分|计数原理（题12）、二项分布（题13）、极值点（题14）|第14题双空设计，分层考查导数应用| |解答题|5题77分|独立性检验（题15）、回归分析（题16）、数列与导数综合（题17-19）|第18题以张雪机车为背景融合概率与数列求通项，第19题导数证明体现逻辑推理|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 2 3 5 8 A A A C D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 ABC AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 45 1 12.20 13.512 14.0<m 2e2m=2 4e 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) H。 【详解】(1)零假设为：对活动的评价与性别无关， 1分 X2-480x(240×80-40×120228 ≈41.143>10.828 根据表中数据可得， 280×200×360×120 7 4分 根据小概率值a=0.00 Ho 的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别 有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 6分 (2)X的所有可能取值为0,1,2， 7分 C5 -10分 故X的分布列为 1/6 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 3 5 -11分 E(X)=0×+1×+2× 5 5 -13分 16.(15分) 【详解】(1) 之(-00y-列=226-对=10.2，-列旷=184 42 42 r= 叫 42≈0.979>0.75 V10×18445≈42.896 3分 故y与×有较强的相关关系： -5分 (2)6s x-列0-刃=g=42 75 10 -7分 又x=亏写×0+2+3+4+5)=3，万=亏×8+10+13+20+24=15， -9分 =-bx=15-4.2×3=2.4 所以 -11分 故经验回归方程为)=4.2x+2.4」 -12分 2026年7月对应的×值为10， 当x=10时，=4.2×10+2.4=44.4」 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台. -15分 17.(15分) 【详解】1)当n≥2且n∈N时，由已知 ,=a,-n(n-）,得 Sn1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2) 两式相减得a,=-=ma,-n(-)小-u-)a,1+(n-1(n-2) 2/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 整理得a-a,-(n-a=2n-) -2分 因为”≥2时”-1≠0，两边同除以1-1得，-a=2 又92 ，故是首项为2、公差为2的等差数列， -4分 则其通项公式为4，=2+2(n-)=2m,neN -5分 --7分 其前n项和为 n+12(n+),其中n∈N-9分 na+a)_n(2+20=nn+l S= (3)由等差数列的前n项和公式得 2 2 ，-11分 a 2n 2n 代入目标式，得S.+4n(n+)+4+n+4，因为neN°，分子分母同除以n得 dn= 2 Sn+4n+4+1, 4 -13分 n 4 n+-≥2， 4二4 4 n- 由基本不等式， nV"n 当且仅当”=n即n=2时取等号， 2 2 因此n+4+1≥5，故n+4+15 4 4 n n an 即Sn+4的最大值为5，n=2时取得最大值. -15分 18.(17分) 【详解】(1)设第人轮试验得分为 X(k=1,2,3) 则总得 X=X+X,+X,满足 3/6 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E(X)=E(X)+E(X2)+E(X,) 第1轮里得分：首轮园定债用A型车，成功率号，因此(X)子： -1分 2 第2轮期望得分：若第1轮成功（概率3），第2轮继续用A型车；若第1轮失败（概率3 ),第2轮换B型车。 2、2,1.14,111 E(X,)-5×5+3*29+618 -3分 2、2,11_11 第3轮期望得分：第3轮使用A型车的概率：3×3+3218' 第3轮使用B型车的概率：1188， x)片导+分品 -5分 总期望得分E(X)= ,11,65203 一十 318108108 -6分 2)0白盟意，尸表示”轮传用A个的车，1一只表示第”轮使用9型车的凝华 第n+1轮使用A型车分为两种情况： 2 1.第n轮用A型车且成功的概率为3P:2第m轮用B型车且失败的概率为21-P), 测运推关系式：2+-)名 2 1 P=1 初始条件： -8分 令R--e-),即2-+ 6 6 61 所-.m-.e- 5,1 P 3 3 数列”5了 3=1-3-2 为等比数列，首项 55,公比9=6， -10分 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -11分 ®设第轮得分期塑为E测=+-)名+月 2 13分 代入上式得： 得门得得 -15分 前n轮得分期望和为： 非sr9 -17分 19.(17分) 【详解】(1)解：因为()-(：+2血(+)在x=0处的切线方程为=c 可得f0)=0,即ha=0,可得a=l,则f)=(+2n(x+) -2分 又由/因-hx++.可得=r0=h1+0+2=2 0+1 4分 2)证明：令8)=1n(c+)-2x=hx+)-2+4 x+2 +2*≥0 可得8"小14 x2 x+1x+2yc+1x+2r≥0 -6分 所以8()在0，+四)上单调递增，所以8()280)=0， 所以nx+D←十2≥0，即nx+D≥2x x+2, -8分 又因为x≥0，可得x+2≥2，所以(x+2)(x+1)-2x≥0， 则/(-=x+2hx+)-2x≥0，即2c -10分 5/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2x 3)证明：由(2)知：当x>0时，(x+)> +2, 以+品 n2n+32x、2 2n+1、1 2n+12 +2n+1, -12分 2n+1 +2n3=h+51 同理可得：n(1+、2 2 )=In 4n+1、1 2n+3n+2,n1+ 2n+2n-1 4n-12n --14分 1 1 所以n+1n+2 1 n2n+3 n2n+5 2n+1 2n+3 +nn+1 nh+1 =ln(2- 2n "4n-12n+1 1)<n2 2n+1 所以e安六<2 -17分 6/6■■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 前 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 O (考试时间：120分钟试卷满分：150分) .: 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版（2019)选择性必修第二册+选择性必修第三册全部。 O 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 .. 求的。 .! 1.已知函数f(=c在点(2/(2)处的切线的领斜角为牙 则实数a的值为() A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.己知等差数列{a}满足4+4+4知=123，则4+45=（) A.41 B.82 C.83 D.84 O : 3. 设随机变量X的分布列如下表格，且随机变量X的数学期望E(X),则E(bX+a)=() : 0 1 : b 2 2 : A.1 B.b C.a D.1+a : 1 3 : x2+ 2 的展开式中的常数项为() .: A.-20 B.20 C.-15 D.15 5.(新热点)对于事件4，P()号P(@A)石Pau=1,则P()=《) : 1 A. 10 C. D. 6.已知函数f(x)=-x2+m-1,g(x)=xnx+1(a∈R).若2g(x)≤f(x)在(0，+o)上有解，则a的取值范围 : 为() : A.(-0,4] B.(-0,4) C.(4,+o) D.[4,+0) 7.(新情境)2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原 点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次，则该机器人在有且仅有 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷做树装：限是鲁” 一次经过（含到达）点M(-1,0)位置的条件下，水平方向移动3次的概率为() 3 1 A.17 B. c.3 D. 16 64 [1,n=1 8.记Sn为数列{a}的前n项和，a= nit 241+7sn7n2204o6-3=（】 A.2024 B.2025 C.1012 D.1013 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得 这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为少=0.65x-1.8,若a,b,c成等差数列，则() 6 10 12 a 2 b 6 A.变量x与y的样本相关系数r>0 B.b=3 C.当x=6时，残差为-0.1 D.当x=20时，y的预测值为11.3 2a,n为奇数 10.已知数列{4}满足4=2,41=了1 9,的偶数’ 设b=4m-1,则() A. 2 B.4+3=4 C.数列{b}的前n项和为4 D.数列{an}的前37项和为12- 25 11.(新题型)（正态分布与函数的融合）已知随机变量Y~N(0,4),记函数 ∫(x)=P(x-2≤Y≤x),8(x)=P(Y≥x),则下列说法正确的是() (注：若X~N,o2),则P(u-o≤X≤u+o)≈0.68，P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.95) A.f(2)≈0.34 B.8(x)在R上是增函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 0.8的图象关于点0时》时称 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少 分配2名同学，则不同的分配方案的种数为 13.若随机变蛋X-Ba》且D()-名则PK=到- 1 14.(新题型)已知函数f(x)=xnx-x2-2x有两个极值点，x2,则实数m的取值范围是；若 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷微将卷：就限是鲁” 1-x2=2e,则实数m的值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)某市科协开展“科技大篷车"进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名 同学进行了问卷调查，得到如下2×2列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值：=0.001的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关： (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的 3人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望， 附：x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.050 0.010 0.001 0 3.841 6.635 10.828 16.(15分)某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026 年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 2025年10 2025年11 2025年12 2026年1 2026年2 月份 月 月 月 月 月 月份代码x p 3 月销量y(单位：千 8 10 13 20 24 台) (1)求出y与x的相关系数r(保留三位小数)，并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有 较强的相关关系；（当r∈[0.75，]时，相关性较强，当|re[0.3,0.75)时，相关性一般） (2)求出y关于x的经验回归方程)=bx+à，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； ∑（店-x)y-) 参考公式：相关系数” 6.g列 a=卫-标 2-旷②m-列-可 试题第3页（共4页） 参考数据： 立-0g-列=2,26矿=-10,2%-明-181。 : : √115≈10.724， 212625 21.4482681 17.(15分)记数列{a4}的前n项和为Sn,已知4=2，Sn=.-n(n-1). (1)证明：{a}是等差数列，并求数列{a}的通项公式： 1 (2)记b.= a,(1+1,求数列私.}的前n项和： : (包求产的最大位 涨 18.(新热点)（概率与数列的融合）(17分)重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机 车领军人物.2013年，他怀揣2万元积蓄创业.2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术.2026年， 游 其自主研发的820R车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上 游 .: 国际顶级赛场领奖台.张雪机车推出新款82OR后，某车队为了对刚购入的A,B两种型号机车的操纵稳 : 定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则 下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验.己知A 型号机车试险成功的胶率为子失殿伤强率为：8型号机车试验现功的好率为，失版的核率为片。每 为 次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验. (1)记X为前3轮试验的总得分，求X的数学期望E(X): E脚 (2)设Pn为第n轮试验使用A型号机车的概率. ①求数列{P}的通项公式： 世 ②记S为前n轮试验的总得分期望，求Sn关于n的表达式.（若第k轮得分期望记为E(k=1,2,则Sn= 2县五+8+ 19.(17分)已知f(x)=(x+2)n(x+a)在x=0处的切线方程为y=. @ (1)求a和k; (2)证明：x≥0时，f(x)≥a; 3)对eN,证明：e动会<2 : O O 试题第4页（共4页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版（2019)选择性必修第二册+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知函数f)=e在点(2f(2》处的切线的倾斜角为年则实数a的值为（） A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.已知等差数列{an}满足4+4+40=123，则4，+45=（) A.41 B.82 C.83 D.84 3.设随机变量X的分布列如下表格，且随机变量X的数学期望E(X),则E(bX+@)=() X 0 2 b 6 2 A. 1 B.b C.a D.1+a 4 的展开式中的常数项为() A.-20 B.20 C.-15 D.15 5.(新热点)对于事件A,B,P④=号P(A利=石心-1，则P(@)=《) 7 A.10 c. D. 1/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.已知函数f(x)=-x2+a-1,g(x)=xlnx+1(a∈R).若2g(x)≤f(x)在(0，+o)上有解，则 a的取值范围为() A.(-0,4] B.(-0,4) C.(4,+0) D.[4,+o) 7.(新情境)2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动 作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动 3次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M(-1,0)位置的条件下，水平方向移动 3次的概率为() B.3 16 c D. 5 64 1,n=1 8.记Sn为数列{a}的前n项和，a= 2—20026S2025=> 2a1+sin2匹， A.2024 B.2025 C.1012 D.1013 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表，其中一些数 据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为)=0.65x-1.8,若4，b,c成 等差数列，则() 6 10 12 b 6 A.变量x与y的样本相关系数r>0 B.b=3 C.当x=6时，残差为-0.1 D.当x=20时，y的预测值为11.3 2a,n为奇数 10.己知数列{4}满足4=2，a+H 4,n为偶数'设6=凸1，则（) A.4=2 B.43= 2- C.数列{b}的前n项和为4 2 D.数列{和}的前37项和为12- 215 11.(新题型)（正态分布与函数的融合）已知随机变量Y~N(0,4),记函数 f(x)=P(x-2≤Y≤x),8(x)=P(Y≥x),则下列说法正确的是() 2/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (注：若X~N(4,o2),则P(u-o≤X≤u+o)≈0.68，P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.95) A.f(2)≈0.34 B.g(x)在R上是增函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D,gd)的图象关于点0， 对称 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个， 每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为】 1.名随机受址了%》且D(到=名别P(X=到 14.(新题型)已知函数f(x)=xnx-x2-2x有两个极值点1，x2,则实数的取值范围是 _；若，-x2=2e,则实数m的值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某市科协开展科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与 活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下2×2列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关： (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的 原因，记选中的3人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望。 附：X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' 0.050 0.010 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 3/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025 年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 2025年10 2025年11 2025年12 2026年1 2026年2 月份 月 月 月 月 月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y(单位：千 8 10 13 20 24 台) (1)求出y与x的相关系数r(保留三位小数)，并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份 代码x是否有较强的相关关系；（当r∈[0.75,1]时，相关性较强，当r∈[0.3,0.75）时，相关 性一般) (2)求出y关于x的经验回归方程)=bx+à，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量： 2年--列 参考公式：相关系数 6-列 à=-b标， ②体②-列 -到 参考数据： (5-y-列=2,2--102-旷-184， √115≈10.724， 212625 21.4482681 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分)记数列{an}的前n项和为Sn,已知4=2，Sn=-n(n-1). (1)证明：{a}是等差数列，并求数列{a}的通项公式： 1 (②记么a”+),求数列}的前0项和2： 何快发兰的数大值。 18.(新热点)（概率与数列的融合）(17分)重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者 成长为国产机车领军人物.2013年，他怀揣2万元积蓄创业.2024年创立自主品牌，抵押 身家深耕自研技术.2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打 破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际项级赛场领奖台.张雪机车推出新款 820RR后，某车队为了对刚购入的A,B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下 测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使 用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验.已知A 型号机车试验成功的概率为号，失政的佩率为B型号机车试验成功的周车为片，失政的 概率为号.每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验. (1)记X为前3轮试验的总得分，求X的数学期望E(X)； (2)设Pn为第n轮试验使用A型号机车的概率. ①求数列{P}的通项公式： ②记Sn为前n轮试验的总得分期望，求Sn关于n的表达式.（若第k轮得分期望记为E. (k=1,2,则3=2A=g+B+B) 5/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分)已知f(x)=(x+2)ln(x+a)在x=0处的切线方程为y= (1)求a和k; (2)证明：x≥0时，f(x)≥a; 3)对neN*,证明：e<2 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知等差数列满足，则（    ） A．41 B．82 C．83 D．84 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（   ） 0 1 2 A．1 B． C． D． 4．的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 5．（新热点）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（新情境）年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 8．记为数列的前项和，.则 （   ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（    ） 4 6 8 10 12 2 6 A．变量与的样本相关系数 B． C．当时，残差为 D．当时，的预测值为11.3 10．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 11．（新题型）（正态分布与函数的融合）已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 13．若随机变量，且，则______． 14．（新题型）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是_______；若，则实数m的值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； 参考公式：相关系数，． 参考数据：，， ， 17．（15分）记数列的前项和为，已知，． (1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)求的最大值． 18．（新热点）（概率与数列的融合）（17分）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 19．（17分）已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知等差数列满足，则（    ） A．41 B．82 C．83 D．84 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（   ） 0 1 2 A．1 B． C． D． 4． 的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 5．（新热点）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（新情境）年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 8．记为数列的前项和，.则 （   ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（    ） 4 6 8 10 12 2 6 A．变量与的样本相关系数 B． C．当时，残差为 D．当时，的预测值为11.3 10．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 11．（新题型）（正态分布与函数的融合）已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 13．若随机变量，且，则______． 14．（新题型）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是_______；若，则实数m的值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； 参考公式：相关系数，． 参考数据：，， ， 17．（15分）记数列的前项和为，已知，． (1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)求的最大值． 18．（新热点）（概率与数列的融合）（17分）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 19．（17分）已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】易知，所以. 故选：A 2．已知等差数列满足，则（    ） A．41 B．82 C．83 D．84 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则， 得，即. 3．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（   ） 0 1 2 A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即， 所以， 则. 4． 的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 5．（新热点）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 6．已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，整理得. 不等式在上有解，等价于，其中. . 当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，最小值为. 由，所以的取值范围是. 7．（新情境）年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）点”，事件“水平方向移动次”，按移动到需要步还是步分类讨论， 记为向左，为向右，为向上，为向下， ①若第步到为事件，则移动次满足要求的是（或或），（或或），（或或），（或或）， 所以； ②若第步到为事件，则移动次满足要求的是，所以． 因为，且互斥，所以． 满足的情况有：，所以， 所以． 8．记为数列的前项和，.则 （   ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【详解】，，， ，，……， ， ， 将以上2026个等式左右分别相加， 得， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（    ） 4 6 8 10 12 2 6 A．变量与的样本相关系数 B． C．当时，残差为 D．当时，的预测值为11.3 【答案】ABC 【详解】由于经验回归方程为是递增的一次函数， 所以两个变量是正相关，则样本相关系数，故正确； 由表格中的数据可计算平均数： ， ， 又因为，，成等差数列， 所以，则， 根据经验回归方程为必过点， 则，解得，故B正确； 当时，， 所以残差为，故C正确； 当时，， 所以的预测值为，故D错误， 故选：ABC. 10．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 【答案】AC 【详解】因， 对于A，B，， ，可见，不满足，故B错误，A正确； 对于C，当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 其前项和为，故C正确； 对于D，记，同选项C分析方法可得，其前项和为， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．（新题型）（正态分布与函数的融合）已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小， 在上是减函数，B错误； 对于，根据对称性，将替换为， 即， 图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，，根据对称性得， 因此，即。 关于（）对称，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 【答案】20 【详解】将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种， 再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式， 则总的分配方案有种. 13．若随机变量，且，则______． 【答案】 【详解】由，得，所以． 14．（新题型）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是_______；若，则实数m的值是_______. 【答案】 ； 【详解】，，由条件可知，有2个变号零点， 设，，在单调递减， 当时，恒成立，单调递增，不会有2个零点，不成立， 当时，得，当时，，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 当时，，当，， 若有2个变号零点，所以，解得：； 由条件可知，，两式相减得， 设，且，得，，所以，（1） 且，即， 得，得，（2） 满足方程（2），代入方程（1）得 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)与性别有关；(2)分布列见解析，1 【详解】（1）零假设为：对活动的评价与性别无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 故的分布列为 0 1 2 . 16．（15分）某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； 参考公式：相关系数，． 参考数据：，， ， 【答案】(1)0.979，y与x有较强的相关关系；(2)，万台 【详解】（1），，， 则 故y与x有较强的相关关系； （2）， 又，， 所以， 故经验回归方程为， 2026年7月对应的x值为10， 当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为万台 17．（15分）记数列的前项和为，已知，． (1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)求的最大值． 【详解】(1)当且时，由已知 ，得 . 两式相减得 ， 整理得 ， 因为时，两边同除以得 ， 又，故是首项为2、公差为2的等差数列， 则其通项公式为 ，. （2）由（1）得 ， 其前项和为 ，其中 （3）由等差数列的前项和公式得 ， 代入目标式，得 ，因为，分子分母同除以得， 由基本不等式， ，当且仅当即时取等号， 因此 ，故， 即的最大值为，时取得最大值. 18．（新热点）（概率与数列的融合）（17分）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 【答案】(1)；(2)①；② 【详解】（1）设第轮试验得分为 ，则总得分，满足 第1轮期望得分：首轮固定使用A型车，成功概率，因此; 第2轮期望得分：若第1轮成功（概率），第2轮继续用A型车；若第1轮失败（概率），第2轮换B型车. ; 第3轮期望得分：第3轮使用A型车的概率：, 第3轮使用B型车的概率：, . 总期望得分. （2）①由题意，表示第轮使用A型车的概率，表示第轮使用B型车的概率. 第轮使用A型车分为两种情况： 1.第轮用A型车且成功的概率为；2.第轮用B型车且失败的概率为 ， 则得递推关系式： 初始条件： 令 ，即， 所以，即， 数列 为等比数列，首项，公比， 故，即. ②设第轮得分期望为，则 将代入上式得： 前轮得分期望和为： 19．（17分）已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 【详解】（1）解：因为在处的切线方程为， 可得，即，可得，则， 又由，可得. (2)证明：令， 可得， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 又因为，可得，所以， 则，即. (3)证明：由（2）知：当时，， 所以， 同理可得：，， 所以， 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $