学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷02（人教A版必修第二册全部：向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷聚焦必修第二册第六章（平面向量）与第十章（概率统计），以欧拉公式、阅读调查等真实情境为载体，通过基础题（如向量模计算）、提升题（如立体几何折叠）、创新题（如解三角形最值）的梯度设计，考查数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|向量夹角、分位数、独立事件|结合骰子概率考查事件关系，体现逻辑推理| |填空题|3/15|复数运算、系统概率、翻折体积|电路系统概率问题，培养数据观念| |解答题|5/77|向量投影、三棱锥体积、频率分布直方图、二面角|正三棱柱证明与体积计算（空间观念），频率分布直方图与概率（数据意识），四棱锥二面角（逻辑推理）|

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 3 4 5 6 8 D C A B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.113.0.672 14.13元 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 【详解】(1)由a16,得21=1， 3分 所以= +1-5 -5分 (2)由a+c)1(d-2c),得a+c)a-2c=0, 即a-2-ac=0, -8分 又=P+22=5,lc=2, 则5-8-ac=0,解得ac=-3, -10分 所以c在ā上的投影向量为 aa -13分 16.(15分) 【详解】(1)取B,C的中点F,连接BF,A,F,DF, 1/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由BD=C,F,BD//CF,得四边形BDCF为平行四边形，所以BFI1CD DF BB =AA,DF/BB//AA, 得四边形ADFA,为平行四边形，所以AF/1AD. 因为A,FC平面ADC,ADc平面ADC, 所以AF/I平面ADC1· -2分 同理可得，BFI/平面ADC 因为AF∩BF=F,A,F,BFc平面ABF, 所以平面ABFI1平面ADC: -4分 又A,BC平面A,BF,所以AB∥平面ADC1: 6分 A 4 B, (2)由(1)知AF/1AD,所以∠BAF为异面直线A,B与AD所成的角， --8分 AF=AB,sin60°=ABsin60°=√3， AB=AA2+AB2=22, BF=VBB+B,F2=√5， 所以A,F2+BF2=AB2,所以A,F⊥BF. -9分 所以cos∠BAF=4F=V5-V6 AB 22 4 即异面直线4B与AD所成角的余弦值为6 -11分 2/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D (3)三棱柱ABC-A,B,C,为正三棱柱，所以其体积为 --13分 2 三棱锥C-AAB的体积Vc-44B=V4-Ac= 25 Y ABC-ABIC= 15分 3 3 17.(15分) 【详解】(1)由频率分布直方图得， 平均数x=10×(80×0.006+90×0.026+100×0.038+110×0.022+120×0.008)=100,--3分 方差s2=(80-100)2×0.006x10+(90-100)2×0.026×10+0 +(110-100)2×0.022×10+(120-100)2×0.008×10=104. -7分 (2)记115,125这组三份答卷的编号为A,B,C,[75,85)这组两份答卷的编号为a,b, 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： A,B),(A,C),(C,B),(A,a),(A,b),(B,a)(B,b],(C,a),(C,b),(a,b) -10分 设事件M=“慨有[75,85)的答卷也有[115,125]的答卷” 则M={(A,a,(A,b),(B,a,(B,b),(C,a,C,b},共6种情况 -13分 故P(M)=105 63 -15分 18.(17分) 【详解】(1)在锐角ABC中，由ccosA+√5 csinA=b+a及正弦定理， sin Ccos4+3 sin Csin4=sin B+sin 4=sin(4+C)+sin 4=sin A cos C+cos A sin C+sin 4, 整理得V5 sin CsinA=sin AcosC+sinA,而sinA>0,则V5sinC=cosC+1,----3分 医此camC+1=3smC=30-cosC,又0<C<号则mC+1=30-mO,解得cowC= 3/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以C=元 ---6分 3 0<A<π (2)由(1)得 得<4<，则an4> -9分 3 0 2-A π 2 由CE平分∠ACB交AB于点E及正弦定理， AC.CE sin∠ACE 得 AE AC sinB -13分 BE SBCE 1 BC.CE sin∠BCE BC sin A 2 sin 3 2 -17分 sin A sin A B E 19.(17分) 【详解】(1)连接0C, 医为底面4BCD,4B=BC=4D=2,∠84D=∠48C=90, 所以四边形AOCB为正方形，所以AC⊥OB, -2分 因为侧面PAD为等边三角形，O是AD的中点， 所以PO⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POc平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,因为ACc平面ABCD, 所以P0⊥AC, -4分 因为PO∩OB=O,PO,OBC平面P0B, 所以AC⊥平面POB, 5分 因为ACc平面PAC, 所以平面PAC⊥平面POB; -6分 4/6 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B (2)0因为底面ACD中，AB=BC=4D=2,∠B4D=∠A8C=90,便面PAD为等边 三角形，O是AD的中点， A0=OD=AB=BC=0C =2,PA=AD=PD=4,PO=23,OB=AC=22, 因为P0⊥平面ABCD,OB,OCc平面ABCD, 所以P0⊥OB,PO⊥OC, 所以PB2=P02+0B2=12+8=20, 因为AB2+PA2=4+16=20, 所以PB2=AB2+PA2,所以LPAB=T -8分 设点C,M到平面PAB的距离分别为d,d2, 因为=长7，所以片P0-写ad ×2x2x2N5=5×x2x4d,解得d,=5, -9分 32 32 因为三棱锥P-ABM的体积为√5 3 所以5w4=5, 3所以×2×4d,=3，辨得4=V3 -10分 32 4 3 所以PM=4=4=,所以PM=PC, 4 PC d3 4 因为PM=元PC0<元<)，所以元=4 -11分 ②取0C靠近点O的四等分点E,连接ME,则ME∥PO, 因为PO⊥平面ABCD,所以ME⊥平面ABCD, 因为ABC平面ABCD,所以ME⊥AB, -12分 过点E作EF⊥AB于F,，连接MF, 因为MEO EF=E,所以AB⊥平面MEF, 5/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为MFc平面MEF,所以AB⊥MF, -13分 所以∠MFE为二面角M-AB-D的平面角， -14分 国为号--子所以w0-25-5, 4 4 因为∠BAD=∠AFE=∠A0C=90°， 所以四边形AOEF为矩形，所以AO=EF=2, -15分 所以在RtAMEF中，tan∠MFE=ME23 EF 2=3 4 所以二面角M-AB-D的正切值为35. -17分 4 6/6 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第十章全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量的夹角为60°，，则＝（   ） A．4 B． C． D． 2．样本数据13，10，14，14，15，20，22，24的75%分位数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．22 3．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 4．在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 6．某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（   ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 10．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则b的最大值为 C．若的面积为，则a的最小值为2 D．若，，，，则动点D的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 13．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求； (2)若，且，求在上的投影向量的坐标． 16．（15分）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 17．（15分）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 18．（17分）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 19．（17分）如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第十章全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量的夹角为60°，，则＝（   ） A．4 B． C． D． 2．样本数据13，10，14，14，15，20，22，24的75%分位数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．22 3．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．345 B．350 C．450 D．485 4．在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 6．某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（   ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 10．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则b的最大值为 C．若的面积为，则a的最小值为2 D．若，，，，则动点D的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 13．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求； (2)若，且，求在上的投影向量的坐标． 16．（15分）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 17．（15分）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 18．（17分）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 19．（17分）如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)必修第二册第六章+第十章全册。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知平面向量元，6的夹角为60°，=2，-1，则a+2b=() A.4 B.万 C.2W7 D.2W5 2.样本数据13,10,14,14,15,20,22,24的75%分位数为() A.15 B.20 C.21 D.22 3.某学校高一年级共有1500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的 阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高 一全体1500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为() A.350 B.345 C.450 D.485 4.在△ABC中，点D在边BC上，且满足BD=3DC,E为AD的中点，则BE=() A.-5B+34C 3- 5 B.-7AB+5AC 8 8 8 8 c亚-c D.-5AB+LAC 5 88 5.欧拉公式e=cos0+isin0是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已 知er9-5+25i,则an20=（) 5 A. B c D.-4 6.某校在一次考试后，对A,B两班的数学成绩进行分析.已知A班有50人，平均成绩为108 1/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 分，方差为90；B班有40人，平均成绩为121.5分，方差为60.75.则两班全部90名同学数学 成绩的方差是() A.100.5 B.110.25 C.122 D.130 7.如图，在四边形ABCD中，AD/1BC,AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下 列说法正确的是() ①平面ABD⊥平面ABC:②BD⊥AC;③平面ACD⊥平面ABC;④锐二面角C-AB-D的 余弦值为3 3 B C A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+bcosC=0,则tanA的最大值为() A.清 B.月 c.2 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6，若事 件A=1,2,5},事件B=1,3,5},事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),下列结论中正确 的是() A.P(A)=2 1 B.事件A,B,C两两独立 c.当事件ABc=时，P(e-号 D.当事件ABC=}时，满足条件的事件C有3个 10.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，G为棱C1D中点，点N是棱CC上的一个动 点（不包括端点），平面BND交棱AA于点M,则下列说法正确的是() A.直线AG与BN是异面直线 D B.存在点M,使得∠DMB为直角 C.若点N是棱CC上的中点，则直线GWN与AC所成的 B 角为60° M D D.平面AB,C⊥平面BND,M 2/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csin A-√3bcos2A=√3 acos Acos B, 则下列命题正确的是() A.A=30° B.若a=2,则b的最大值为4 3 C.若△ABC的面积为5，则a的最小值为2 D.若c=2,b=3,D-3西+24C,0≤u≤写，则动点D的轨迹长度为 5 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.若复数z满足z,土1(1为虚数单位)，则复数z的虚部为 13.如图，用K,A,A三个不同的元件连接成一个系统.当元件K正常工作且元件A,A至 少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K,A,A正常工作的概率依次为0.8,0.6,0.6， 则系统正常工作的概率为 K 14.如图，DE是边长为2√3的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至△ADE, 当三棱锥C-ABE的体积最大时，四棱锥A-BCDE外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知ā，6，：是同一平面内的三个向量，其中d=(1,2) (1)若6=(，1)，且a/i,求： (2)若=2，且(a+c)1(ā-2c),求c在a上的投影向量的坐标. 3/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=2,D为棱BC的中点 C C (1)证明：AB∥平面ADC: (2)求异面直线AB与AD所成角的余弦值： (3)求三棱锥C-AAB的体积. 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分)市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞 赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成 [75,85)[85,95),[95,105)[105,115),[115,125]这五组，得到如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.038 0.026 0.022 0.008 8.008日 07方8595105115125分数分 (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩[75,85)的答卷有2份，成 绩[115,125]的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中 取2份时，既有[75,85)的答卷也有115,125]的答卷的概率. 18.(17分)已知锐角△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccos4+V3csi4=b+a. (1)求C的大小： (2)若CE平分∠ACB交AB于点E,求 的取值范围. BE 5/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分)如图，四棱锥P-ABCD,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, AB=BC=AD=2,∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点 D B C (I)求证：平面PAC⊥平面POB: (2点M在棱PC上，满足PM=PC(0<<),且三棱锥P-ABM的体积为y5 ①求元的值： ②二面角M-AB-D的正切值. 6/6■■■■ ■■■ 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 前 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A C B11 C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) B二--- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 O (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)必修第二册第六章+第十章全册。 O 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 尽 1.已知平面向量元6的夹角为60，=2，l=1,则a+26=() A.4 B.√万 c.27 D.2√3 2.样本数据13,10,14,14,15,20,22,24的75%分位数为（) : A.15 B.20 C.21 D.22 O 3.某学校高一年级共有1500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中 只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1500名学生中，至多阅 .: 读一本名著的人数约为() A.345 B.350 C.450 D.485 4.在△ABC中，点D在边BC上，且满足BD=3DC,E为AD的中点，则BE=() : A-5B+34C 8 8 8 .: 5.欧拉公式e=cos0+isin0是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.己知 : e+)-525 : , 则an20=() : A. 3 0.3 4 6.某校在一次考试后，对A,B两班的数学成绩进行分析.已知A班有50人，平均成绩为108分，方差为90： B班有40人，平均成绩为121.5分，方差为60.75.则两班全部90名同学数学成绩的方差是() A.100.5 B.110.25 C.122 D.130 7.如图，在四边形ABCD中，AD/BC,AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起， 试题第1页（共4页） .: .: @©学科网·学易金卷德就德：敦限爱是鲁 使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列说法正确的是() ①平面ABDL平面ABC:②BDLAC,③平面ACD1平面ABC;④锐二面角C-AB-D的余弦值为 3 D D B C A.①② B.①③ c.②③ D.③④ 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+bcosC=0,则tanA的最大值为() A B. c.② 4 .号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为2={1,2,3,4,5,6}，若事件A=1,2,5}, 事件B=1,3,5},事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),下列结论中正确的是() A.(-号 B.事件A,B,C两两独立 C.当事件48C=号时，P(c) D.当事件ABC={1}时，满足条件的事件C有3个 10.如图所示，在正方体ABCD-AB,CD中，G为棱C1D中点，点N是棱CC上的一个动点（不包括端 点)，平面BND交棱AA于点M,则下列说法正确的是() G A.直线AG与BN是异面直线 B.存在点M,使得∠DMB为直角 D C.若点N是棱CC上的中点，则直线GN与AC所成的角为60° D.平面AB,C⊥平面BNDM 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csinA-V3bcos2A=√3 acos Acos B,则下列命 题正确的是() A.A=30° B.若a=2,则b的最大值为4V5 3 C.若△ABC的面积为5，则a的最小值为2 D.者c=2,b=3,D-3丽+2m4C,0s≤行，则动点D的轨迹长度为6 5 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做怒卷：限美是鲁幕 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数2满足：=1+24（1为虚数单位)，则复数：的虚部为 2-i 13.如图，用K,A,A,三个不同的元件连接成一个系统当元件K正常工作且元件A,A至少有一个正常 工作时，系统正常工作，已知K,A,A,正常工作的概率依次为0.8,0.6,0.6，则系统正常工作的概率为 K 14.如图，DE是边长为2W3的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至△ADE,当三棱锥 C-ABE的体积最大时，四棱锥A-BCDE外接球的表面积为 B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知a,6,，c是同一平面内的三个向量，其中=(1,2) (1若万=(，)，且a/b,求： (2)若d=2,且(a+c)L(d-2c),求c在a上的投影向量的坐标. 16.(15分)如图，在正三棱柱ABC-AB,C1中，AB=A4=2,D为棱BC的中点. B (1)证明：AB∥平面ADC1: (2)求异面直线AB与AD所成角的余弦值： (3)求三棱锥C-AAB的体积. 试题第3页（共4页） 17.(15分)市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答 : 卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)，[115,125]这五组， : 得到如图所示的频率分布直方图， 个频率/组距 0.038 0.026 0.022 0.008 0.00 0758595105115125分数/分 (1)估计样本成绩的平均数及方差：（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩[75,85)的答卷有2份，成绩15,125]的答 游 卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有[75,85)的答卷也 游 有[115,125]的答卷的概率. 18.(17分)已知锐角△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccos4+√5csi4=b+a, S (1)求C的大小： (2若CB平分∠ACB交AB于点B,求 的取值范围. E 19.(17分)如图，四棱锥P-ABCD,侧面2AD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=号4D=2, 2 ∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点. D 世 ..0 D B (1)求证：平面PAC⊥平面POB; (2)点M在棱PC上，满足PM=APC(O<<),且三棱锥P-ABM的体积为 3 ①求的值； ②二面角M-AB-D的正切值. 试题第4页（共4页） : 2025-2026学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第十章全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量的夹角为60°，，则＝（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面向量的夹角为60°，＝2，＝1， 而， 所以． 2．样本数据13，10，14，14，15，20，22，24的75%分位数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【详解】将数据从小到大排列为，共8个数据， 因为，所以75%分位数为. 故选：C 3．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．345 B．350 C．450 D．485 【答案】A 【详解】在这300人中，至多阅读一本名著的人数为（人）， 则高一全体名学生中，至多阅读一本名著的人数约为. 4．在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 .    5．欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，， 故，则，解得，则. 6．某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两班全部名同学数学成绩的平均数为， 方差. 7．如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 8．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，则， 所以， 即， 所以， 由，则，而，所以， 所以角为钝角，，则角为锐角即， 此时， 由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（   ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得，，， 所以事件，不相互独立，故B错误； 对于C，当时，， 解得，故C正确； 对于D，当时，， 解得，即事件包含4个样本点， 并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个， 所以满足条件的事件分别是， 共4个，故D错误. 10．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 【答案】ACD 【详解】选项A，直线、直线，两直线不平行、无交点、不在同一平面， 符合异面直线定义，A正确； 选项B，若，则， 在正方体中平面，平面， 所以，此时，、平面， 则平面，又平面， 故当且仅当点与点重合时成立，此时有， 即点在点处，不符合题意，B错误； 选项C，为中点时，连接， 因为分别为的中点，所以， 在正方体中，所以有， 则的夹角可转化为的夹角， 因为为等边三角形，所以， 即的夹角为，C正确；    选项D，由正方体性质可得平面，又平面，则， 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 又且都在平面内，故平面， 又平面，故平面平面，D正确.    11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（    ） A． B．若，则b的最大值为 C．若的面积为，则a的最小值为2 D．若，，，，则动点D的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】对A，因为， 所以， 则， 则， 因为，所以，即， 因为，所以，故A错误； 对B，因为，，由正弦定理得：， 即，所以， 当时，b取最大值，且最大值为，所以B正确； 对C，若的面积为，则有，即， 因为， 所以，当且仅当时等号成立，所以a的最小值为2，所以C正确； 对D，因为，，即，， 则， 则点D在角A的内角平分线所在直线上． 当时，，则D，B，C三点共线， 设AD与边BC的交点为E，则当时，点D的轨迹就是的角A的角平分线AE． 则， 根据， ， ，则，所以D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 【答案】1 【详解】，所以复数z的虚部为1. 13．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________. 【答案】 【详解】因为元件至少有一个正常工作的概率为， 所以系统正常工作的概率为. 14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：. 因此， 外接球表面积：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求； (2)若，且，求在上的投影向量的坐标． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得，解得，， 所以. （2）由，得， 即，又，， 则，解得， 所以在上的投影向量为. 16．（15分）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； （2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 17．（15分）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104；(2) 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 18．（17分）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. （2）由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 19．（17分）如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2)①，②二面角的正切值为 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $