易错点5专项突破：正比例与反比例的应用-2025-2026学年小升初总复习数学

**基本信息** 聚焦正比例与反比例应用，通过概念辨析、图象分析、表格数据及实际问题，构建“定义判断-方法应用-综合拓展”的系统性训练体系，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念判断|选择1/4、填空6/13|正反比例判断标准（比值/乘积一定）|从定义出发，通过数量关系推导比例属性| |图象分析|选择2、填空7|正比例图象特征（过原点直线）|结合函数图象直观理解比例关系| |表格数据|选择3、填空9|数据比值/乘积计算验证比例|通过数据规律强化比例判定方法| |实际应用|选择5、填空10/11/14、解答15-20|方程法解决比例问题（如影长、工程）|联系生活情境，实现数学语言表达现实问题|

专题03 比与比例 易错点5专项突破：正比例与反比例的应用 一、选择题 1．长方形的面积一定，它的长与宽的关系是（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 2．王师傅加工一批零件，工作时间与加工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（    ）。 A．加工零件个数与工作时间成正比例关系 B．表示400个零件 C．表示3.2小时 D．若有点表示5小时加工了600个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上 3．为响应“双减”政策，幸福学校组建了计算机编程兴趣小组。兴趣小组的明明在电脑中设计了一个计算机程序，运行结果如表。根据他的设计，观察表格发现，输入数和输出数的关系是（    ）。 输入数 2 0.5 输出数 0.3 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 4．如果甲、乙是成反比例的量（甲、乙均不为0），那么当甲减少20%时，乙会（    ）。 A．减少20% B．增加20% C．减少25% D．增加25% 5．一个晴朗的下午，奇奇站在一棵树旁拍照。奇奇的身高是1.5米，他在阳光下的影子长2.5米。此时树的影子比奇奇的影子长5米，这棵树的实际高度约是（    ）米。 A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 二、填空题 6．如果（a≠0），那么ab＝( )，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成( )比例关系。 7．下图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成( )比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶( )千米。 8．有一只刻度均匀但不准确的温度计，将它放在100摄氏度的沸水中，示数为99摄氏度；将它放在0摄氏度的冰水中，示数为4摄氏度，则将它放在25摄氏度的教室中，示数为______。 9．一种超轻电池板的面积与相应质量如下表所示，它的面积和相应质量成( )（填“正”或“反”）比例关系；如果这种超轻电池板的质量是30kg，那么它的面积是( )m2。 面积/m2 1 25 100 … 质量/g 100 2500 10000 … 10．数学兴趣小组测得一棵树在阳光下的影长是12米，同一时间同一地点，一位身高1.5米的同学在阳光下的影长为2米，则这棵树的高度是( )米。 11．作业本上获得15颗小星星就可以换3本连环画，小涛用60颗小星星换了本连环画，根据信息可以得到比例( )＝( )，算一算，小涛换了( )本连环画。 12．有一辆杂技自行车，前轮的半径是分米，后轮的半径是分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了______米。（圆周率取3.14） 13．下表中，若和成正比例，则※代表的数是( )，若和成反比例，则※代表的数是( )。 2 3 5 ※ 14．1995年联合国教科文组织将每年的4月23日定为“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”。明明计划读一本儿童文学著作，如果每天读15页，32天可以读完。明明平均每天看的页数和看完书的天数成( )关系（填正比例或反比例）；如果每天读20页，( )天就可以读完。 三、解答题 15．为了保护环境，净化空气，六年级同学要去植树，原计划每小时植树40棵，3小时植完。实际每小时比原计划多植树20棵，实际提前几小时完成任务？ 16．为调配出口感丝滑的奶茶，某奶茶店研发出了一款奶茶方案：茶和奶的比是1∶4，现有280克茶，需准备多少克奶？（列比例解答） 17．2024年4月25日，我国神舟十八号载人飞船成功发射。作为运载的长征二号火箭的箭体全长约58米。笑笑收藏了一个长征二号火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶200。模型的高度是多少厘米？（用比例解） 18．星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？ 19．古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。4只羊可以换6把斧头。（用比例解决下面的问题） （1）12只羊可以换多少把斧头？ （2）一位铁匠，想要制造一批斧头去换小山羊，原计划每天制造2把，24天完成。实际每天比计划多制造50%，实际提前几天完成？ 20．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 …… 产品数量/个 51 102 153 204 …… （1）生产产品的时间和产品数量成 比例关系。 （2）照这样计算，33分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】长方形的面积公式为：面积＝长×宽。题目中面积一定，即长与宽的乘积为定值，符合反比例关系的定义。 【详解】长方形的面积公式为：面积＝长×宽。已知面积一定，即长×宽＝定值（常数）。根据比例关系的判断标准：当两个相关联的量的乘积一定时，它们成反比例。 故答案为：B 2．D 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，正比例关系的图象是一条经过原点的直线，说明加工零件个数与工作时间的比值一定，即加工零件个数与工作时间成正比例关系； （2）先根据图象求出加工零件个数与工作时间的比值，对应的时间是4小时，对应的零件个数是，比值乘对应的时间，即可求得表示的零件个数； （3）观察图象可知，对应的时间是，对应的零件个数是320，对应的零件个数除以比值，即可求得表示的时间； （4）点表示5小时加工了600个零件，求出加工零件个数与工作时间的比值，如果比值等于100，则点在射线上，如果比值不等于100，则点不在射线上，据此解答。 【详解】 A．分析可知，是正比例关系的图象，所以加工零件个数与工作时间成正比例关系，题目说法正确。 B．加工零件个数∶工作时间 ＝150∶1.5 ＝150÷1.5 ＝100 100×4＝400（个） 所以，表示400个零件，题目说法正确。 C．320÷100＝3.2（小时） 所以，表示3.2小时，题目说法正确。 D．加工零件个数∶工作时间 ＝600∶5 ＝600÷5 ＝120 因为120≠100，所以点不在射线上，题目说法错误。 故答案为：D 3．B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】÷ ＝×5 ＝ ÷ ＝× ＝ 2÷ ＝2× ＝ 0.5÷0.3＝ 因为∶＝∶＝2∶＝0.5∶0.3＝，所以输入数和输出数的关系是成正比例。 观察表格发现，输入数和输出数的关系是正比例。 故答案为：B 4．D 【分析】两个成反比例的量，则乘积一定；假设甲数是5，乙数是4，即甲数×乙数＝5×4＝20；当甲减少20%，则甲数是：5×（1－20%），据此求出减少后的甲数；由于甲数×乙数的积不变，据此求出增加后的乙数，再用增加后的乙数与原来的乙数差，除以原来乙数，再乘100%，即可解答。 【详解】假设甲数是5，乙数是4。 5×4＝20 5×（1－20%） ＝5×80% ＝4 20÷4＝5 （5－4）÷4×100% ＝1÷4×100% ＝0.25×100% ＝25% 如果甲、乙是成反比例的量（甲、乙均不为0），那么当甲减少20%时，乙会增加25%。 故答案为：D 5．D 【分析】在同一时刻、同一地点，物体的实际长度与它的影长的比值一定，则物体的实际长度与它的影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设这棵树的实际高度约是米。 ＝ 2.5＝1.5×（2.5＋5） 2.5＝1.5×7.5 2.5＝11.25 ＝11.25÷2.5 ＝4.5 这棵树的实际高度约4.5米。 故答案为：D 6． 15 正 【分析】（1）根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，解答。 （2）根据正反比例的定义：两种相关联的量，若这两种量的比值（商）一定，两种量成正比例关系；若这两种量的乘积一定，两种量成反比例关系，解答。 【详解】（1）由得： ，即ab＝15。 （2）由6a－8b＝0得：6a＝8b 两边同时除以2，得3a＝4b，所以a∶b＝。 a与b的比值一定，因此a与b成正比例关系。 因此，如果（a≠0），那么ab＝15，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成正比例关系。 7． 正 550 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 从图中可知，这辆汽车每小时行100千米，根据“路程＝速度×时间”，求出该汽车5.5小时行驶的路程。 【详解】＝＝＝＝＝100（一定） 比值一定，那么这辆汽车行驶的时间和路程成正比例关系。 5.5×100＝550（千米） 填空如下： 这辆汽车行驶的时间与路程成（正）比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶（550）千米。 8． 27.75 摄氏度 【分析】根据题意可知，真实温度0摄氏度对应温度计的示数为4摄氏度，真实温度100摄氏度对应温度计的示数为99摄氏度；用示数温度差（99－4）除以真实温度差100，即可求出真实温度1摄氏度对应的刻度差；再用真实温度25摄氏度乘真实温度1摄氏度对应的刻度差，即可求出真实温度25摄氏度在这个温度计上的刻度差；由于真实温度0摄氏度对应这个温度计的示数为4摄氏度，则用4摄氏度加真实温度25摄氏度的刻度差，即可求出对应的示数。 【详解】（99－4）÷100 ＝95÷100 ＝0.95（摄氏度） 25×0.95＋4 ＝23.75＋4 ＝27.75（摄氏度） 将它放在25摄氏度的教室中，示数为27.75 摄氏度。 9． 正 300 【分析】正比例中两个量对应的比值一定，通过观察统计表可知，每m2的质量是一定的，所以电池板的质量和面积两个量成正比例；电池板的质量随着面积的增加而增加，用电池板的质量除以比值就可以求出电池板面积，据此解答即可。 【详解】100÷1＝100 2500÷25＝100 10000÷100＝100 因为每m2的质量是一定的，所以电池板的质量和电池板面积成正比例。 30kg ＝30000g 30000÷100＝300（m2） 如果这种超轻电池板的质量是30kg，那么它的面积是300m2。 10．9 【分析】同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值相等，也就是这位同学的身高与影子的比等于这棵树的高与影子的比，设这棵树的高为x米，组成比例解比例即可解答。 【详解】解：设这棵树的高度是x米。 1.5∶2＝x∶12 2x＝1.5×12 2x＝18 2x÷2＝18÷2 x＝9 所以这棵树的高度是9米。 11． 15∶3 60∶ 12 【分析】根据题意可知，小星星的颗数∶连环画的本数＝1本连环画需小星星的颗数（一定），比值一定，那么小星星的颗数与连环画的本数成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】15∶3＝60∶ 解：15＝3×60 15＝180 ＝180÷15 ＝12 根据信息可以得到比例15∶3＝60∶，小涛换了12本连环画。 12． 113.04 【分析】根据题意可知，前轮向前行走多少米，后轮也向前行走相同的米数．也就是行驶的路程一定，即车轮的周长与转的圈数的积一定，所以车轮的周长与转的圈数成反比例。设后轮行走x圈，则前轮走x－10圈。根据圆周长公式列出方程为，然后解方程即可。 【详解】解：设后轮行走x圈，则前轮走x－10圈。 （分米） 1130.4分米113.04米 这辆车前进了113.04米。 13． //7.5 / 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 如果和成正比例，则∶＝2∶5；把＝3代入式子中，求出的值。 如果和成反比例，则＝2×5；把＝3代入式子中，求出的值。 【详解】（1）3∶＝2∶5 解：2＝3×5 2＝15 ＝15÷2 ＝ （2）3＝2×5 解：3＝10 ＝10÷3 ＝ 若和成正比例，则※代表的数是（），若和成反比例，则※代表的数是（）。 14． 反比例 24 【分析】根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，确定比例关系，设x天就可以读完，根据平均每天看的页数×天数＝总页数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】平均每天看的页数×天数＝总页数（一定），所以明明平均每天看的页数和看完书的天数成反比例关系。 解：设x天就可以读完。 20x＝15×32 20x÷20＝480÷20 x＝24 如果每天读20页，24天就可以读完。 【点睛】关键是确定比例关系，两个相关联的量乘积一定是反比例关系。 15．1小时 【分析】同学要植树的总棵数是一定的，每小时植树棵数与时间成反比。可据此列式解答。 【详解】解：设实际提前小时完成任务 答：实际提前1小时完成任务。 16．1120克 【分析】根据茶和奶的比是1∶4，此比值一定，所以茶与奶的质量成正比例，由此列出比例解决问题。 【详解】解：设需准备x克奶。 280∶x＝1∶4 x＝280×4 x＝1120 答：需准备1120克奶。 17．29厘米 【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把58米换算成以厘米为单位，再根据模型的高度与实际高度的比值是一定的，设模型的高度是x厘米，进而列出比例x∶5800＝1∶200，最后解出比例即可。 【详解】解：设模型的高度是x厘米。 58米＝5800厘米 x∶5800＝1∶200 200x＝5800 200x÷200＝5800÷200 x＝29 答：模型的高度是29厘米。 18．9时42分 【分析】先看路程：妈妈第一次追上到第二次追上，小萍走了12千米，妈妈走了24千米，相同时间内妈妈路程是小萍的2倍，所以妈妈速度是小萍的2倍。 路程相同时，速度与时间成反比，走同样6千米，小萍用时是妈妈的2倍，时间差12分钟，说明小萍走6千米用24分钟，妈妈用12分钟。 小萍速度：6÷24＝0.25千米/分，走18千米总用时：18÷0.25＝72分钟。 出发时间8时30分，加72分钟即为最终时间。 【详解】速度比：妈妈速度∶小萍速度＝（6＋18）∶（18－6）＝24∶12＝2∶1 小萍走6千米用时：12×2＝24（分钟） 小萍速度：6÷24＝0.25（千米/分钟） 小萍走18千米总用时18÷0.25＝72（分钟） 最终时间：8时30分＋72分＝8时30分＋1时12分＝9时42分 答：妈妈第二次追上小萍的时间是9时42分。 【点睛】本题关键是利用相同时间内的路程比得出速度倍数关系，再结合时间差求出小萍速度与总用时。 19．（1）18把 （2）8天 【分析】（1）两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，可以确定羊和斧头的比是4∶6，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，设12只羊可以换x把斧头，根据羊的数量∶斧头的数量＝4∶6，列出比例解答即可； （2）将原计划每天制造数量看作单位“1”，实际每天制造数量是原计划每天制造数量的（1＋50%），原计划每天制造数量×实际对应百分率＝实际每天制造数量，设实际提前x天完成，则实际（24－x）天完成，根据每天制造数量×天数＝总数量（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】（1）解：设12只羊可以换x把斧头。 12∶x＝4∶6 4x＝12×6 4x÷4＝72÷4 x＝18 答：12只羊可以换18把斧头。 （2）2×（1＋50%） ＝2×1.5 ＝3（把） 解：设实际提前x天完成。 （24－x）×3＝2×24 72－3x＝48 72－3x＋3x ＝48＋3x 48＋3x＝72 48＋3x－48＝72－48 3x＝24 3x÷3＝24÷3 x＝8 答：实际提前8天完成。 20．（1）正　 （2）561个 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）由上一题可知，生产产品的时间和产品数量成正比例关系，那么产品数量∶生产产品的时间＝每分钟生产产品的数量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【详解】（1）＝＝＝＝…＝17（一定） 比值一定，所以生产产品的时间和产品数量成正比例关系。 （2）解：设33分钟生产个产品。 ＝ 3＝51×33 3＝1683 ＝1683÷3 ＝561 答：33分钟生产561个产品。 答案第2页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $