精品解析：山东青岛市市南区青岛大学附属中学2025-2026学年七年级下学期阶段自测数学试卷（5月份）

2025-2026学年山东省青岛大学附属中学七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C 2. 等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　） A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或22 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为4和腰长为9两种情况，结合三角形中任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则该等腰三角形的三边长分别为4，4，9， ∵， ∴此时不能构成三角形，故不符合题意； 当腰长为9时，则该等腰三角形的三边长分别为4，9，9， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：B． 3. 如图，在中，，，分别是，的平分线，，则图中的等腰三角形共有（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏． 【详解】解：，， 是等腰三角形， ． 平分， ． ∴． ． ． ∴是等腰三角形． 平分， ． ∴． ． ． ∴是等腰三角形，． ， ，，． ∴是等腰三角形，是等腰三角形，是等腰三角形，． ∴为等腰三角形，． ． ∴． ，． ． ． ∴是等腰三角形． ， ． 是等腰三角形，是等腰三角形． ，， ∴． ，． ，是等腰三角形． 所以共有12个等腰三角形． 4. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 5. 如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. 垂直平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得． 【详解】解：∵平分，，， ． 故A选项正确． ，，， ， ，． 故B，D选项正确． 由等腰三角形三线合一的性质， 垂直平分，但不一定平分， 故C选项错误； 即不一定成立的是选项C． 6. 如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（　　） A. 18 B. 30 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得ID＝IE＝IF，再根据三角形面积计算即可得解． 【详解】解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F， ∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC， ∴ID＝IE，ID＝IE， ∴ID＝IE＝IF＝3， ∵△ABC的周长为18， ∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 7. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值，即可得到周长的最小值． 【详解】解：如图，设交于，连接， 垂直平分， 、关于对称． ． ∴ ∴， ∴当和重合时，的周长最小． ∵， ∴周长的最小值是． 8. 如图，在中，是三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，点，均在的内部，，则的度数为（ ） A. 121° B. 122° C. 123° D. 124° 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，可得，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，由此即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， ． ， ． 平分，平分， ，． ， ． 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，对各图形逐一分析判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：①角，沿角平分线所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ②直角三角形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； ③等边三角形，一定是轴对称图形，有三条对称轴； ④线段，沿过中点的垂线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑤等腰三角形，沿底边上的高所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑥平行四边形，普通平行四边形不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； 综上，一定是轴对称图形的共4个． 10. 在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，理解图形的基本性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及中垂线的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：①如图1所示，当顶角为锐角时， 由题意，， ； ②如图2所示，当顶角为钝角时， 由题意，， ； 故答案为：或． 11. 小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 12. 如图，在等边ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_____度． 【答案】60 【解析】 【详解】试题分析：根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°． 解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC ∵AD=CE ∴△ADC≌△CEB ∴∠ACD=∠CBE ∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°． 故答案为60． 考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 13. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 【答案】 ##48度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数． 【详解】解：∵平分， ． ， ． ∵垂直平分， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 14. 如图，在中，，点是的垂直平分线与BC的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数． 【详解】解：∵点是的垂直平分线与BC的交点， ， ， ，． ∵将沿着翻折得到， ， ． 15. 如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】作于点，作于点，证得，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得面积． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ， ． ， ． ∵平分， ． ， ， ． ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ， ， ∴四边形的面积等于正方形． 设正方形的边长为，， 由勾股定理可知：， ， ∴正方形的面积等于8， ∴四边形的面积等于8． 16. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度． 【答案】124 【解析】 【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接OB、OC， ∵∠BAC＝62°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO＝∠BAC＝×62°＝31°， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°−∠BAC）＝（180°−62°）＝59°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝31°， ∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝59°−31°＝28°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB＝∠OBC＝28°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE＝CE， ∴∠COE＝∠OCB＝28°， 在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−28°−28°＝124°， 故答案为：124． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 三、解答题：（本题共36分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知 求作：线段，使得，且点到与的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图复杂作图，平行线的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先作，可得的平行线，然后作的角平分线，与交于点，即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求； 18. 如图，在中，，过点作，且，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】与的位置关系：，理由如下： ， ，． 在和中， ， ， ． ∵， ． 【解析】 【分析】由得，，由此依据“”判定和全等得，然后再根据等腰三角形的性质可得． 【详解】略 19. 如图，在中，垂直平分，于点D，E；垂直平分，于点M，N． （1）如图1，若，， ； （2）如图2，若，则 ； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的关系 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）因为是的垂直平分线，所以可得，进而推出；同理，可推出，利用三角形内角和定理，先计算的度数，结合和的度数，推导的度数； （2）根据的度数，可得的度数，进而得到的度数，即可求得的度数； （3）对前两小问的计算结果进行归纳，整理出与、的通用关系式． 【小问1详解】 在中，，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 ①当时，，理由如下， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； ②当时，，理由如下， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，它们的关系为或． 20. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【解析】 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 21. 如图，已知，将沿所在的直线折叠至的位置，连接． （1）直接填空：与的位置关系是 ； （2）点、分别是线段、上的两个动点（不与点、、重合），已知的面积为36，，求的最小值； （3）试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】（1）垂直 （2）9 （3）当或或时，是直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据翻折变换的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到结论； （2）根据三角形的面积公式求出的边上的高，根据轴对称变换的性质解答； （3）分、、三种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【小问1详解】 解：由翻折变换的性质可知，，， ． ∴与的位置关系是垂直． 【小问2详解】 解：如图，连接，， ，， 是的垂直平分线， ∴点与点关于直线成轴对称， ∴， ∴． ∴的最小值就是的最小值， 即：当、点在上时，取最小值，最小值为的边上的高， 的面积为36，， 的边上的高为， 的最小值为9． 【小问3详解】 解：①如图1，当时，． ∵由翻折变换的性质可知，， ． ， ，， ∴四边形的平行四边形， ， ． ②如图2，由翻折变换的性质可知，当时，． ③如图3，当时， ， ， ， ， ∴当时，． 综上所述，当或或时，是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省青岛大学附属中学七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　） A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或22 3. 如图，在中，，，分别是，的平分线，，则图中的等腰三角形共有（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 5. 如图，平分，，，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. 垂直平分 D. 6. 如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（　　） A. 18 B. 30 C. 24 D. 27 7. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在中，是三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，点，均在的内部，，则的度数为（ ） A. 121° B. 122° C. 123° D. 124° 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 10. 在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 11. 小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 12. 如图，在等边ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_____度． 13. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 14. 如图，在中，，点是的垂直平分线与BC的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ________ ． 15. 如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 16. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度． 三、解答题：（本题共36分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知 求作：线段，使得，且点到与的距离相等． 18. 如图，在中，，过点作，且，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 19. 如图，在中，垂直平分，于点D，E；垂直平分，于点M，N． （1）如图1，若，， ； （2）如图2，若，则 ； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的关系 ． 20. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 21. 如图，已知，将沿所在的直线折叠至的位置，连接． （1）直接填空：与的位置关系是 ； （2）点、分别是线段、上的两个动点（不与点、、重合），已知的面积为36，，求的最小值； （3）试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $