13.2.1 《与三角形的边》讲义-2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形的边与稳定性核心知识点，先通过情境问题引导学生探究三角形三边关系，涵盖构成条件、第三边取值范围及绝对值化简等应用，再衔接三角形稳定性的概念与实际应用，搭建连贯知识支架。 资料以“数学眼光”创设路径问题情境，通过分层题型（基础构成、取值范围、综合应用）培养推理意识，借助符号运算与几何直观发展数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后答案解析详细，便于学生查漏补缺，强化知识理解。

三角形的边 知识点一 三角形的边 1、三角形的三边关系 如果从B点走到C点，你会怎么走？ 如果把任意两个顶点（例如B、C）看成顶点，由“ ”可得 AB + AC > 同理，可得 AC + BC > AB + BC > 可得结论：“三角形两边的和大于第三边” 这时，我们想到，如果将其中再移项即可得： AB > BC-AC AC > BC-AB 可得结论：“三角形两边的差小于第三边” 题型突破 题型一 构成三角形的条件 例题1、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A、3cm，4cm，7cm B、3cm，3cm，6cm C、5cm，8cm，2cm D、4cm，5cm，8cm 例题2、三角形的两条边满足=0，第三条边的长度可能是（ ） A、3 B、8 C、2 D、1 练习1、以下列各组线段为边，不能组成三角形的是（ ） A、7、8、9 B、5，6，7 C、3，4，5 D、1，2，3 练习2、已知等腰三角形的两边长为6和3，则该等腰三角形的周长为 题型二 确定三角形的取值范围 例题1、已知三角形的两边为5和7，则第三边的取值范围是 例题2、已知三角形的三边为3、5和x，且x为三角形最小边，则x的取值范围是 例题3、某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为（　　） A. 11 B. 11或8 C. 11或8或5 D. 与x的取值有关 练习1、若三角形的三边分别为2、4、2a+1，则a的取值范围是 练习2、已知三角形的三边为4、6和x，且x为三角形最大边，则x的取值范围是 练习3、已知等腰三角形的周长为20，则腰长的范围是 题型三 三角形三边关系的应用 例题1、已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b-c|－|b-a-c|的结果是（　 ） A. 2b－2c B. －2b C. 2a＋2b D. 2a 例题2、等腰三角形的腰长和底边长比值为k，则k的取值范围是 * 例题3、如图，四边形ABCD中，AC交BD于点O，请证明AC + BD > AB + CD 练习1、已知△ABC三边长a、b、c，化简|a-b-c|-|b-a+c|的结果是_____ 练习2、已知△ABC三边长a、b、c，化简|c-a-b|+|a-b+c|-|c+a-b|的结果是_____ 练习3、等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2，则其底边长为_____ * 练习4、 （1）如图， 是△ABC内一点，求证：． （2）如图，， 是△ABC内两点，则：________ （填">","<"或”=“） 知识点二 三角形的稳定性 将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 三角形的稳定性： 三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。 下图中的图形有稳定性的是________，没有稳定性的是________． 将不稳定的多边形变成________的组合，它就具有了稳定性。 请在下图中的各个图形中连接最少数量的线段，使其具有稳定性。 题型突破 题型一 三角形的稳定性及应用 例题1、张师傅在做完门框后，为防止变形，在门上钉了两根斜拉的木条，其中运用的几何原理是（ ） A、两点之间线段最短 B、三角形两边之和大于第三边 C、垂线段最短 D、三角形的稳定性 例题2、推理填空 （1）为使图形具有稳定性，四边形木架需要至少钉（ ）根木条； （2）为使图形具有稳定性，五边形木架需要至少钉（ ）根木条； （3）为使图形具有稳定性，六边形木架需要至少钉（ ）根木条； （4）为使图形具有稳定性，n边形木架需要至少钉（ ）根木条； 练习1、下列图形中不具有稳定性的是（ ） A、B、C、 D、 答案解析 三角形三边关系 知识点填空 【答案】两点之间线段最短；BC；AB；AC 【解析】两点之间线段最短，绕路走折线比直接走线段更长，由此推出三角形三边关系：两边之和＞第三边。 题型一 构成三角形的条件 例题1 【答案】D 【解析】三角形三边需满足任意两边之和＞第三边 A.3+4=7，不行；B.3+3=6，不行；C.2+5＜8，不行；D.4+5＞8、4+8＞5、5+8＞4，符合。 例题2 【答案】A 【解析】算术平方根、平方非负，得a=5，c=3；第三边范围：5-3＜x＜5+3即2＜x＜8，只有3在范围内。 练习1 【答案】D 【解析】1+2=3，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。 练习2 【答案】15 【解析】①腰6、底3：6+6+3=15；②腰3、底6：3+3=6无法构成，舍去。 题型二 确定三角形的取值范围 例题1 【答案】2＜x＜12 【解析】两边之差＜第三边＜两边之和，7-5＜x＜7+5。 例题2 【答案】2＜x≤3 【解析】5+3=8，5-3=2，2<x<8，但由于x是最小边，x≤3，解得2＜x≤3。 例题3 【答案】B 【解析】分三种等腰情况： ①x=3，三边3、3、5，周长11；②2x-1=3，x=2，三边2、3、3，周长8；③x=2x-1，x=1，1+1＜3舍去。周长为11或8。 练习1 【答案】0.5＜a＜2.5 【解析】4-2＜2a+1＜4+2，解不等式得0.5＜a＜2.5。 练习2 【答案】3＜x＜6 【解析】x为最大边，4+6=10，6-4=2，2<x<10，但由于x是最大边，x≥6，解得6≤x<10 练习3 【答案】5＜腰长＜10 【解析】设腰x，底20-2x，2x＞20-2x，20-2x＞，解得5＜x＜10。 题型三 三边化简应用 例题1 【答案】A 【解析】三边满足a+b＞c，b+c＞a，|a+b-c|-|b-a-c|=(a+b-c)-(a+c-b)=2b-2c。 例题2 【答案】k＞1/2 【解析】设底边长a，腰ka，2ka＞a， k＞1/2。 例题3 【答案】答案见解析 【解析】在△AOB中AO+BO＞AB；△COD中CO+DO＞CD，两式相加：AO+OC+BO+DO＞AB+CD，即AC+BD＞AB+CD。 练习1 【答案】0 【解析】原式=(b+c-a)-(b+c-a)=0。 练习2 【答案】a+b+c 【解析】去绝对值化简：(a+b-c)+(a+b-c)+(a+c-b)=a+b+c。 练习3 【答案】4 【解析】设腰2x，底y，周长4x+y=36； ①3x:(x+y)=2:1，解得x=8，y=4；另一组解三边不成立舍去，底边长4。 练习4 (1) 【答案】证明见解析 【解析】延长BP交AC于M，AB+AM＞BP+PM，PM+MC＞PC，两式相加得AB+AC＞PB+PC。 (2) 【答案】＞ 【解析】多次利用三角形两边之和大于第三边，拆分线段可得AB+AC＞BD+DE+CE。 三角形稳定性 知识点填空 【答案】有稳定性：b、c、d、e；无稳定性：a；略 【解析】三角形具备稳定性，四边形等多边形没有；把多边形分割成若干三角形就拥有稳定性。 题型一 例题1 【答案】D 【解析】斜拉木条分割出三角形，利用三角形稳定性防变形。 例题2 【答案】(1)1；(2)2；(3)3；(4)n-3 【解析】n边形固定需要(n-3)根木条分成三角形。 练习1 【答案】C 【解析】C选项图形没有全被分割为三角形，不具备稳定性。 学科网（北京）股份有限公司 $