精品解析：江西赣州市南康区第五中学等校2025-2026学年第二学期综合训练八年级数学统筹作业

2025－2026学年第二学期综合训练八年级数学统筹作业 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各曲线中不能表示是的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，直线经过点，则的值为（ ） A. 7 B. 3 C. 11 D. 5. 如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 6. 如图（a）所示，长方形边上的一动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为t（s），的面积为，若y关于t的函数图象如图（b）所示，则长方形的周长为（ ）． A. 14cm B. 28cm C. 36cm D. 48cm 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 8. 将化为最简二次根式为___________． 9. 若点和点都在直线上，则_______（选填“>”“=”或“<”）． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是______． 11. 如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为______． 12. 在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，________． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知一次函数． （1）当为何值时，函数图象经过原点； （2）当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 15. （1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使． （2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使． 16. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 17. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． （1）根据以上操作，求风筝的垂直高度； （2）如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 19. 甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间关系的部分图像．请解答下列问题： （1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为______米/小时，乙队的挖掘速度为______米/小时； （2）①当2≤x≤6时，求出y乙与x之间的函数表达式； ②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？ 20. 如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买，两种型号智能机器人共台，费用不超过万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 22. 阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ，设 解得 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且，则_______（用含a、b的代数式表示）； （3）请用（2）中的结论估算的近似值． 六、解答题（共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，已知直线分别与轴、轴交于点，．直线与轴交于点，与直线交于点，且． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，当时，求的面积及此时点的坐标； （3）在（2）问的条件下，点关于轴的对称点为点．将直线向下平移6个单位得到直线，直线与直线交于点．平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期综合训练八年级数学统筹作业 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是利用定理进行判断；运用勾股定理的逆定理进行判断，即验证每组中两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴这三条线段不能构成直角三角形； B. ∵， ∴这三条线段不能构成直角三角形； C. ∵， ∴， ∴这三条线段能构成直角三角形； D. ∵， ∴这三条线段不能构成直角三角形； 故选：C． 2. 下列各曲线中不能表示是的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数中对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是关键． 根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； C、对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数，符合题意； D、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 3. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】∵正八边形的外角和为， ∴， 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，直线经过点，则的值为（ ） A. 7 B. 3 C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点的坐标代入直线解析式即可计算出的值． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得． 5. 如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确运用性质求解是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，，计算即可得解； 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 故选：． 6. 如图（a）所示，长方形边上的一动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为t（s），的面积为，若y关于t的函数图象如图（b）所示，则长方形的周长为（ ）． A. 14cm B. 28cm C. 36cm D. 48cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再由长方形的周长公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，根据运动速度为，可得， 的面积， 由图2得，当时，点P由B点到达点C处， ∴； 当点P运动到点C，D之间时， 的面积，保持不变， 由图2得，点P从点C运动到点D所用时间为， ∴， ∴长方形的周长：． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 【答案】80 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵米， ∴米． 8. 将化为最简二次根式为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 9. 若点和点都在直线上，则_______（选填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据即可得出一次函数y随着x的增大而减小，进而根据即可得出． 【详解】解：∵中，， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义．在平面直角坐标系中，直线与直线交点的坐标就是二元一次方程组的解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点， 关于、的二元一次方程组的解是． 故答案为： ． 11. 如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理可得，解方程求的x的值，即可得的长． 【详解】解：设，则， ∵矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合， ∴， 在中，∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 12. 在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得． 【详解】∵四边形为菱形，， ∴菱形四边长为4，且， ∴, ∵， ∴，即，． ∵E，F分别是的中点， ∴； 连接，则是等边三角形，即； ①当点P在边上时；如图， 当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点 ∴ ∴为直角三角形， 此时， ； ②当点P在边上时，如图，连接， 当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点时， ∴ ∴为直角三角形，此时； ③当点P在边上时，连接，如图， 当点P是的中点时，此时， ∵，为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ 综上所述，的长度为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先依据二次根式除法法则计算，再化简，最后合并同类二次根式； （2）分别计算零次幂、绝对值、负整数指数幂、化简二次根式，再依次进行有理数与二次根式的加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 已知一次函数． （1）当为何值时，函数图象经过原点； （2）当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，然后求解即可； （2）根据题意得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数图象经过原点， ∴ 解得； 【小问2详解】 解：∵函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得． 15. （1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使． （2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先连接AC、BD，再连接对角线交点O与E点与DA的交点F即为所求； （2）连接AC，DE交于点O，再连接O点与B点交CD于M点，M点即为所求. 【详解】解：（1）如下图，点F即为所求： （2）如下图，点M即为所求： 【点睛】本题考查的是无刻度尺规作图，主要用到的知识点为三角形全等的判定与性质. 16. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，推出，进而得到，证明，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】解：∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 17. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定，利用矩形的性质求面积，熟练掌握平行四边形及菱形的判定是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质证明，再利用矩形的判定证明即可； （2）先证明是等边三角形，再计算，的长，最后计算矩形的面积即可． 【小问1详解】 ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， 由（1）得四边形是矩形； 矩形的面积 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． （1）根据以上操作，求风筝的垂直高度； （2）如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）由题意可得，，，根据勾股定理求出，即可； （2）由题意可得，，求出，根据勾股定理求出，即可得到他应该往回收线的距离． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴（米）， 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该往回收线米． 19. 甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间关系的部分图像．请解答下列问题： （1）在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为______米/小时，乙队的挖掘速度为______米/小时； （2）①当2≤x≤6时，求出y乙与x之间的函数表达式； ②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？ 【答案】（1）10，15 （2）①时，；②挖掘4小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队 【解析】 【分析】（1）根据甲的图像是倾斜直线，且经过原点，设图像为正比例函数，由图像经过（6，60）进而求出解析式，即可得出答案； （2）①设，由点（2，30）与点（6，50），代入即可求解. ②求出甲与乙的函数解析式，令两个函数相等，即图像的交点即为所求时刻. 【小问1详解】 对甲：设图像为正比例函数， 由图像经过（6，60）, ， ， ， 当t=2时，即x=2时， ， ， 对乙，有：， 故答案为：10；15． 【小问2详解】 ①当时，设， 则， 解得， 当时，； ② 易求得：， 由得， 解得：， 由图像可知：挖掘4小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队． 【点睛】本题考查从图像获取信息的能力，由图像求出相应的函数解析式是解题关键． 20. 如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形； （2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点E作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵，， ． ∵， ∴四边形是矩形． ． ∵ ． ． ． ． ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：． 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，． ． ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买，两种型号智能机器人共台，费用不超过万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 （2）该企业需要购买型智能机器人台，购买型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】（1）设、单价分别为、万元，根据表格两组总价条件列二元一次方程组，解方程组求得两种机器人单价； （2）设购进型台，则型台，由总费用列一元一次不等式确定取值范围；列出日分拣总量关于的一次函数，结合一次函数增减性确定的取值，得到最优采购方案． 【小问1详解】 解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得，解得， 设每天分拣快递万件，则， ∵， ∴随的增大而增大，当时，最大，此时， ∴该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 22. 阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ，设 解得 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且，则_______（用含a、b的代数式表示）； （3）请用（2）中的结论估算的近似值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息，找出前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可； （2）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可； （3）根据（2）中公式求出的值，代入求值即可． 【小问1详解】 解：， 设， ， ， ． 解得， ； 【小问2详解】 设， ， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 由（2）公式知，， ∴， 六、解答题（共1小题，每小题12分，共12分） 23. 如图，已知直线分别与轴、轴交于点，．直线与轴交于点，与直线交于点，且． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，当时，求的面积及此时点的坐标； （3）在（2）问的条件下，点关于轴的对称点为点．将直线向下平移6个单位得到直线，直线与直线交于点．平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的面积为 （3）存在，点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，，再由，求出的值，即可求解； （3）根据平行四边形的对角线分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 将点代入， ， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设，则，， ， ， 解得， ，， 的面积； 【小问3详解】 解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 点关于轴的对称点为点， ， 直线向下平移6个单位得到直线， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 设， 当为平行四边形的对角线时，， ， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $