高二数学下学期期末真题重组卷（上海专用，沪教版选修一+选修二全部：直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列+导数+计数原理+概率统计）

**基本信息** 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷，整合上海多区期末真题，覆盖沪教版选择性必修一、二，通过解析几何、概率统计等知识考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|直线方程、正态分布、二项式定理、空间向量|结合频率分布直方图考查数据读取，体现数据观念| |选择题|4题/18分|独立事件、等轴双曲线、正四面体|以正四面体为背景考查空间向量运算，发展空间观念| |解答题|5题/78分|立体几何（线线角）、概率统计（独立性检验）、导数（零点）|解答题19结合网络测试数据考查独立性检验与分布列，解答题21通过导数研究函数零点，培养推理能力与运算能力|

2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 2．（2025高二下·上海·期末）圆的半径为__________． 3．（2025高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 4．（2025高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 5．（2025高二下·上海徐汇·期末）对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 6．（2025高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 7．（2025高二下·上海杨浦·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 9．（2025高二下·上海·期末）函数在上的最小值为__________. 10．（2025高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 11．（2025高二下·上海·期末）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 12．（2025高二下·上海杨浦·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高二下·上海徐汇·期末）如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高二下·上海金山·期末）等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 15．（2025高二下·上海嘉定·期末）对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 16．（2025高二下·上海奉贤·期末）如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高二下·上海闵行·期末）设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 18．（本题14分）（2025高二下·上海杨浦·期末）已知数列中，，，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由. 19．（本题14分）（2025高二下·上海浦东新·期末）某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉线次数测试，得到数据如表所示： A B C D E 甲 4 3 8 6 12 乙 5 7 4 4 3 (1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值的独立性检验，能否说明网络状况与网络的类型有关? (2)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求A，B两个地区同时被选到的概率； (3)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以X表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位置个数，求随机变量X的分布及数学期望． 附：其中． α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．（本题18分）（2025高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 21．（本题18分）（2025高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数学·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 13 14 15 16 答案 C C B D 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分） （1） 在正方体中，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可得：，，，， ∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为.....................................................................................................7分 （2）由（1）知.设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，∴平面的一个法向量为. ∵，∴点到面的距离为.................14分 18．（本题14分）（1）因为且， 所以，所以；...................................................................................................6分 （2）设存在满足条件，所以， 所以， 当是奇数时，，解得：，满足条件， 当是偶数时，，此时无解， 所以满足条件，此时.................................................................................................14分 19．（本题14分）（1）根据题意列出列联表如下： 糟糕 良好 合计 甲 3 2 5 乙 1 4 5 合计 4 6 10 零假设：网络状况与网络类型无关，则， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即网络状况与网络的类型有关．....................7分 （2）在5个地区中任选3个，有种选法， 其中两个地区同时被选到的选法有种， 因此所求概率． （3）随机变量的所有可能取值为1，2，3， ． 故的分布列为： 1 2 3 P .....................................................................................................................14分 20．（本题18分）（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 .................................................................6分 （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以............................................................................................................10分 （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立..............................................................................................18分 21．（本题18分）（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值．........................................................................................4分 （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数．.....................................10分 （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点．..................................................................................18分 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 O 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 : .: 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) 1.(2025高二下·上海崇明·期末)己知点A(0,1)、B(2,3),则线段AB的垂直平分线的一般式方程为 2.(2025高二下·上海·期末)圆x2+y2+x+2y-1=0的半径为 O 3(2025商二下上海期未)已知两个跑机事作4,8，若P(4)-行P()=子P(4)=子，则P(a)- 4.(2025高二下.上海浦东新·期末)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，且P(X<-1)=0.2,则P(X<3)= : 5.（2025高二下·上海徐汇·期末)对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计， 拟 : 其结果的频率分布直方图如图.若高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考 : 该专业、 O 频率 组距 1.75 : : 1.00 8 : 0.25 0.30.50.70.91.11.31.5视力 6. (2025高二下·上海嘉定·期末)在(1+2x)的二项展开式中，系数最大的项是 O 7.(2025高二下·上海杨浦·期末)己知直线1的一个方向向量为m=(-3,2,-1),平面α的一个法向量为 试题第1页（共4页） .: .: 6学科网·上好课 i=(t,t+1,9),若l11a,则t= 8.(23-24高二下·上海宝山期末)己知向量ā=(0,2,0)，b=1,-1,0),则ā在6方向上的投影向量坐标为 9.(2025高=下-上海期未)函数f()-号-nx在(Q,3]上的最小值为 10.(2025高二下.上海闵行·期末)a、五、c是空间向量，其中a⊥6，c与ā、五的夹角都是60°，且团=1， =2,=3.则la+b-c 1.2025商=下上海期末)已知地物线产8r的焦点P为双鱼线r哥若1a>0b>0)的一个焦点。 若工过点(2,3)，则工的标准方程为 2〈2025离二下上奔杨活期木)已知3，是椭圆r号+兮-1的两个生点，点M在精圆r上，则 M'g的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.(2025高二下·上海徐汇·期末)如果事件A与事件B独立，且P(A),P(B)e(0,1),A、B分别是A、 B的对立事件，那么以下等式一定成立的是() A.P(AUB)=P(A)P(B) B.P(A∩B)=P(A)+P(B) c.P(A∩B)=P(A)PB) D.P(AUB)=P(4)+1-P(B) 14.(2025高二下·上海金山期末)等轴双曲线C过点P(3,1),则双曲线C的右焦点F到其中一条渐近线的 距离为（) A.5 B.2 c.2√2 D.25 15.(2025高二下.上海嘉定·期末)对任意正整数n有an+H+2a.=3n-2,且为严格增数列的{a}的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.无穷多 16.(2025高二下·上海奉贤期末)如图，在边长为2的正四面体P-ABC中，N是△ABC的中心，则下列 正确的是() 试题第2页（共4页） 可学科网·上好课 B A.PA.BC=4 B.PA.AB=2 c.m-}P历+}c+8 D.N-B+}c-}证 三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)（2025高二下·上海闵行·期末)设正方体ABCD-AB,C1D的棱长为2，AD,DC的中 点分别为E,F. D F E A B B (1)求直线ED与BF所成角的余弦值； (2)求点B到面DEF的距离. 18.(本题14分)（2025高二下.上海杨浦·期末)已知数列{a}中，4=3，a+a.=3.2”,n∈W. (1)证明数列{a-2”}是等比数列，并求数列{a}的通项公式： (2)在数列{a}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说 明理由. 19.(本题14分)(2025高二下·上海浦东新期末)某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉 线次数测试，得到数据如表所示： A C 8 3 8 6 12 4 试题第3页（共4页） (1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值=0.25的独立性 : O 检验，能否说明网络状况与网络的类型有关？ : (2)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求A,B两个地区同时被选到的概率； (3)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以X表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位 置个数，求随机变量X的分布及数学期望， n(ad-be) 附：x 其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) : 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 已知椭圆r: y =1(a>b>0)的离心率为 : 20.（本题18分)(2025高二下·上海松江期末)如图， a+ 游 该椭圆的左右焦点、乃恰好是双曲线E:x2-y=2的左右顶点，P是双曲线E上异于顶点的任意一点， 游 : 直线PF和PE与椭圆T的交点分别是A,B和C,D. : : E肉 (1)求椭圆Γ的方程： (2)设直线P,PF的斜率分别是k,k,求证：k·k,=1: : (3)是否存在常数，使得AB+CD=ABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. : .: 21.(本题18分)(2025高二下.上海期末)设函数f(x)=ae2x-(a+1)e+x(a∈R). 2 (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)当a>0时，讨论f(x)的单调性： : (3)若f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围. 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 2．（2025高二下·上海·期末）圆的半径为__________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 3．（2025高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 4．（2025高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 【答案】0.8/ 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 5．（2025高二下·上海徐汇·期末）对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 【答案】 【详解】由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为， 所以该班学生中能报专业的最多人数为． 故答案为：20. 6．（2025高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 7．（2025高二下·上海杨浦·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 【答案】 【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 9．（2025高二下·上海·期末）函数在上的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为，则， 又恒成立， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 故答案为：. 10．（2025高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 11．（2025高二下·上海·期末）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 【答案】 【详解】的焦点，； 又双曲线过点，； 由得：或（舍），的标准方程为：. 故答案为：. 12．（2025高二下·上海杨浦·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 【答案】/ 【详解】，是椭圆的两个焦点，所以， 点在椭圆上，则，，所以， 又因为单调递减，单调递增， 则， 则， 当或时，则最大值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高二下·上海徐汇·期末）如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为事件与事件是相互独立事件，则事件与事件也是相互独立事件， 所以，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意. 故选：C 14．（2025高二下·上海金山·期末）等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 15．（2025高二下·上海嘉定·期末）对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 16．（2025高二下·上海奉贤·期末）如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高二下·上海闵行·期末）设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 【答案】(1)(2) 【详解】（1） 在正方体中，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可得：，，，， ∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为.....................................................................................................7分 （2）由（1）知.设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，∴平面的一个法向量为. ∵，∴点到面的距离为.................14分 18．（本题14分）（2025高二下·上海杨浦·期末）已知数列中，，，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，成等差数列. 【详解】（1）因为且， 所以，所以；...................................................................................................6分 （2）设存在满足条件，所以， 所以， 当是奇数时，，解得：，满足条件， 当是偶数时，，此时无解， 所以满足条件，此时.................................................................................................14分 19．（本题14分）（2025高二下·上海浦东新·期末）某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉线次数测试，得到数据如表所示： A B C D E 甲 4 3 8 6 12 乙 5 7 4 4 3 (1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值的独立性检验，能否说明网络状况与网络的类型有关? (2)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求A，B两个地区同时被选到的概率； (3)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以X表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位置个数，求随机变量X的分布及数学期望． 附：其中． α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能(2)(3)分布见解析，数学期望为1.8 【详解】（1）根据题意列出列联表如下： 糟糕 良好 合计 甲 3 2 5 乙 1 4 5 合计 4 6 10 零假设：网络状况与网络类型无关，则， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即网络状况与网络的类型有关．....................7分 （2）在5个地区中任选3个，有种选法， 其中两个地区同时被选到的选法有种， 因此所求概率． （3）随机变量的所有可能取值为1，2，3， ． 故的分布列为： 1 2 3 P .....................................................................................................................14分 20．（本题18分）（2025高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在， 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 .................................................................6分 （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以............................................................................................................10分 （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立..............................................................................................18分 21．（本题18分）（2025高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值(2)答案见解析(3)或 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值．........................................................................................4分 （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数．.....................................10分 （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点．..................................................................................18分 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 2 47 拓 3 0 阳 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15 16题每题5分) 13[A][B][C]D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 2．（2025高二下·上海·期末）圆的半径为__________． 3．（2025高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则________． 4．（2025高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则________． 5．（2025高二下·上海徐汇·期末）对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 6．（2025高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 7．（2025高二下·上海杨浦·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 9．（2025高二下·上海·期末）函数在上的最小值为__________. 10．（2025高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 11．（2025高二下·上海·期末）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 12．（2025高二下·上海杨浦·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高二下·上海徐汇·期末）如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高二下·上海金山·期末）等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 15．（2025高二下·上海嘉定·期末）对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 16．（2025高二下·上海奉贤·期末）如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高二下·上海闵行·期末）设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 18．（本题14分）（2025高二下·上海杨浦·期末）已知数列中，，，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由. 19．（本题14分）（2025高二下·上海浦东新·期末）某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉线次数测试，得到数据如表所示： A B C D E 甲 4 3 8 6 12 乙 5 7 4 4 3 (1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值的独立性检验，能否说明网络状况与网络的类型有关? (2)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求A，B两个地区同时被选到的概率； (3)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以X表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位置个数，求随机变量X的分布及数学期望． 附：其中． α 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．（本题18分）（2025高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 21．（本题18分）（2025高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) 1.(2025高二下·上海崇明·期末)已知点A(0,1)、B(2,3),则线段AB的垂直平分线的一般式方程为 2.(2025高二下·上海期末)圆x+y2+x+2y-1=0的半径为 3.(2025商二下上海期未)已知两个随机率件4,2，若P(④-专P(B)-京PBA)-子，则P(4) 4.(2025高二下·上海浦东新·期末)己知随机变量X服从正态分布N1,o2),且P(X<-1)=0.2,则P(X<3)= 5.(2025高二下·上海徐汇·期末)对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计， 其结果的频率分布直方图如图.若高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考该 专业. 频率 个组距 1.75 1.00 838 0.25 6.30.50.70.91.11.31.5视力 6.(2025高二下·上海嘉定·期末)在(1+2x)的二项展开式中，系数最大的项是 117 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2025高二下·上海杨浦·期末)已知直线1的一个方向向量为=(-3,2，-1)，平面x的一个法向量为 i=(t,t+1,9),若l11a,则t=一 8.(23-24高二下·上海宝山期末)己知向量ā=(0,2,0)，b=(1,-1,0),则ā在6方向上的投影向量坐标为 9.(2025高二下·上海期末)函数f(x)=8x3-血x在(0,3]上的最小值为 10.(2025高二下·上海闵行·期末)ā、b、c是空间向量，其中a上6，c与ā、的夹角都是60°，且同=1， 园=2，=3.则a+i-d= 1.（2025商二下-上海期未)已知酸物线护8m的焦点P为双曲线r音若-1a>06>0的-个斯点。 若了过点(2,3)，则r的标准方程为一 2,(2025高二下上海扬通期未已知R,是椭圆T·。+1的两个焦点，点M在椭圆T上，则 1 1 M网'M的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.(2025高二下·上海徐汇·期末)如果事件A与事件B独立，且P(A),P(B)∈(0,1)，A、B分别是A、B 的对立事件，那么以下等式一定成立的是() A.P(AUB)=P(A)P(B) B.P(A0B)=P(4)+P(B) C.PA∩B)=P(A)P(B) D.P(AUB)=P(A)+1-P(B) 14.(2025高二下·上海金山·期末)等轴双曲线C过点P(3,1),则双曲线C的右焦点耳，到其中一条渐近线的 距离为() A.5 B.2 C.22 D.23 15.(2025高二下·上海嘉定·期末)对任意正整数n有4+1+2a.=3n-2,且为严格增数列的{4}的个数是() A.0 B.1 C.2 D.无穷多 16.(2025高二下·上海奉贤·期末)如图，在边长为2的正四面体P-ABC中，N是△ABC的中心，则下列 正确的是() 2/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P A.PA.BC=4 B.PA.AB=2 c.m-3PB+Bc+ad D.2mP丽+Pcn 三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20ˇ21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)(2025高二下·上海闵行期末)设正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，AD,DC1的中点 分别为E,F D F C E A D以----- B (I)求直线ED与BF所成角的余弦值： (2)求点B到面DEF的距离. 3/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(本题14分)(2025高二下·上海杨浦·期末)己知数列{a}中，4=3,4+1+4.=3.2”，n∈N. (1)证明数列{a-2”}是等比数列，并求数列{a}的通项公式： (2)在数列{4}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项：若不存在，请说明 理由 4/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(本题14分)(2025高二下·上海浦东新·期末)某经销商在某地5个位置对甲乙两种类型的网络进行掉 线次数测试，得到数据如表所示： A B C D E 甲 4 3 8 6 12 乙 5 > 4 4 3 (1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为‘良好”，根据小概率值“=0.25的独立性 检验，能否说明网络状况与网络的类型有关？ (2)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，求A,B两个地区同时被选到的概率； (3)若该经销商要在上述接受测试的甲地5个地区中任选3个，以X表示所选位置中网络状况为“糟糕”的位 置个数，求随机变量X的分布及数学期望， 附：X= n(ad-bc)）2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 Xa 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.（本题18分)(2025高二下上海松江期末)如图，已知椭圆r: `a产+=1ab>。)的离心氣为V2 2 该椭圆的左右焦点耳、乃恰好是双曲线E:x2-y=2的左右顶点，P是双曲线E上异于顶点的任意一点， 直线P和PE与椭圆T的交点分别是A,B和C,D B (1)求椭圆Γ的方程： (2)设直线P,P乃的斜率分别是k,k,求证：k·k=1: (3)是否存在常数，使得AB+CD=ABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 6/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(本题18分)(2025高二下上海期末)设函数f(x)=】ae2x-(a+1)e+x(aeR). 2 (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)当a>0时，讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围. 7/7