学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（上海专用）【测试范围：集合、不等式、函数与导数、排列组合、概率统计、圆锥曲线】

**基本信息** 上海高二数学期末模拟卷，分层设题（A/B组）覆盖必修与选择性必修核心内容，以追星调查、促销策略等现实情境及L函数、稳定点等创新定义，考查数学眼光、思维与表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合、茎叶图、等比数列、正态分布|茎叶图中位数平均数（数据分析）、促销策略函数应用（模型观念）| |选择题|4/18|相关系数、导函数图像、集合新定义|散点图相关系数比较（直观想象）、导函数图像分析单调性（逻辑推理）| |解答题|5/78|分层抽样与方差、概率统计综合、新定义函数|分层抽样计算总体方差（数据观念）、L函数与周期函数证明（创新意识）|

2025-2026学年高二下学期模拟考试B卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试B卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修第一册第2章；沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章； 必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设集合，，则______． 2．已知，则 ． 3．若，则的最小值是 ． 4．已知定义域为的偶函数在上为严格减函数， 则不等式 的解集为______. 5．7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 6．曲线在处的切线方程为__________. 7．设，则函数的极大值点为 ． 8．设（m、n为正整数）对任意实数x都成立， 若，则的最小值为 . 9．某文艺团有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，4人会跳舞.从中选派两人， 一人唱歌，另一人跳舞，则不同的安排方法共有__________种. 10．已知 ，则_____. 11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 12．已知函数有三个不同的零点且，若 则的值为_________．(注：题中为自然对数的底数，即) 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（     ）． A． B． C． D． 14．已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为，若， 其中为常数，则动点M的轨迹不可能是    （　　） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 15．设，利用函数单调性比大小，可得（     ） A． B． C． D． 16．现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （     ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． （1）若，解不等式；（2）在的展开式中，第k项，第项， 第项的系数成等差数列，求n和k的值；（3）设计一道排列组合的应用题，验证下面这个等式成立： . 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数. （1）当时，讨论的单调性；（2）求在上的最小值. 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 （单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1） 求的值；（2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中 共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩： ，已知这10个成绩的平均数，标准差， 若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：（） 经过点，离心率为．过点，的 动直线交椭圆于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相切， 求当时，的长；（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. （1）已知，，求的“优点”坐标； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期模拟考试B卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 1234 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 製 3 5 1! 7 8 10 11 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 ■ 0.005 0.010 001s 0025 9. 0 0/.405000708000100mk 14) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试A卷 （上海专用） 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第8章；必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，则 ． 1．【详解】由可得：，则； 故答案为：. 2．已知集合，集合， 则集合的子集数为 ． 2．1【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 因此，所以集合的子集数为1；故答案为：1. 3．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等， 则 ． 3．/0.375【分析】先得到甲乙的中位数，可得到，再利用平均数相同即可求解 【详解】通过茎叶图可发现甲的中位数为，乙的中位数为，因为两组数据的中位数相同， 则 ，又因为平均数相同，则，∴；故答案为：. 4．正项等比数列中，与是的两个极值点，则 . 4．2【分析】求导后，由题意和韦达定理得到，再根据等比中项的性质得到， 最后根据对数的运算求出结果即可.【详解】， 所以与是方程的两根，所以在正项等比数列中，，所以，故答案为：2. 5．设随机变量的分布，则 . 5．2【分析】由分布列求随机变量的均值，再由均值的性质求. 【详解】由题意，， 所以；故答案为：2. 6．某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数 大约为 ． 6．1200【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求解即可. 【详解】因为总体密度函数为：，则，由得： ，所以超过100分 人数大约为：人，故答案为：1200. 7．在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 7．/【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种；而事件（最小数字是2且和大于5， 即）的基本事件数有种，由条件概率公式；故答案为：. 8．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中 随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的， 女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人． 参考数据及公式如下： 参考公式：，其中． 8．【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式， 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算， 我们令，设男生人数为，依题意可得列联表如下： 根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则， 由，解得， 由题知应为6的整数倍，而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人，故答案为：30. 9．已知函数的定义域，值域， 则函数为增函数的概率是 ． 9．【分析】求出所有函数的个数，再求出增函数的个数，利用古典概型的概率公式可求对应的概率. 【详解】若函数的定义域为，值域为，则不同的函数的个数为， 其中增函数共有3个：（1）；（2）； （3）；故所求概率为，故答案为：. 10．某公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策略， 已知某客户购买件该公司的促销商品，所支付的总金额为万元，其中， 则正数的取值范围为 ． 10．【分析】首先求出的值，由题知，随着的增大，逐渐减小，记单件产品的平均价格为，写出的解析式，根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】易知当购买0件促销商品时，所支付的总金额为0万元，即当时，， 得，所以，因为公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多， 但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策略，所以随着购买件数的增大， 单件产品的平均价格逐渐减小，记单件产品的平均价格为，则， 所以在单调递减，则，解得.故答案为：. 11．已知若对任意都存在使得 则实数m ．     11．或8【分析】求出，结合条件可得， 即，求解不等式即可.【解析】由于在上是单调递增函数， 所以当 时，，若对任意都存在使得则对任意都存在使， 由于，则，所以， 所以，即，令，则，则，即，解得：或， ①当时，，即，此时的定义域为，值域为，满足条件； ②当时，，即，此时的定义域为，值域为，满足条件； 故答案为：或. 12．已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为 ． 12．/4.5【分析】将看作是到的距离的平方，P在曲线上， Q在直线上，利用导数求解函数的单调性，结合点到直线的距离即可求解. 【详解】∵，∴， ，设，，则点P在曲线上，Q在直线上，设曲线上切线斜率 为1的切点为，，当时，，此时函数递增， 当时，，函数递减，故当时，， 直线在曲线上方，由，即，记， 显然在上是增函数，而，∴是的唯一解．，， 点到直线的距离为，∴的最小值为． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．某统计部门对四组数据进行统计分析后获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较， 其中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．C【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关 ，而且对应的相关性比对应的 相关性要强，故；所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知，因此，故选：C． 14．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 14．D【分析】结合二项式定理求除以7的余数即可. 【详解】因为 ，所以可以写成 ，的形式；所以除以7所得的余数为2，故天后为星期日；故选：D. 15．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 15．B【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个 选项.【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误；对于B， 由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确；对于C，由图象知在某个 上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的 极值点，C错误；对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里， 所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误；故选：B. 16．设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x<y，则 S；下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 16．A【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性 即可.【详解】首先利用排除法：若取，则，此时， 包含4个元素，排除选项 C；若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；若取，则， 此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合，且，，则， 且，则，同理，，，，， 若，则，则，故即，又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍去；若，则，故即，又，故，所以，故， 此时；若， 则，故， 故，即，故， 此时，即中有7个元素.故A正确；故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 17．（1）或；（2）或 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况， 当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解；（2）根据条件得到 ，再由，得到或，再利用基本不等式 和的性质，即可求解. 【详解】（1）由得到， 由得到或，……2分， 当时，得到恒成立，所以满足题意，……1分， 当时，得到，解得，不合题意，……1分， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或；……2分； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且，……2分， 得到，又由，且，得到， 即，解得或，……2分， 当时，，所以，令， 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，……2分， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或.……2分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某学校高三年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高三年级学生的身高信息， 采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．高三男生身高样本的频率分布直方图如右下图： 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 高三女生身高样本的频率分布表如左上表. （1）求的值，并利用高三男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；（2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求高三年级学生身高的样本平均数和方差． 18．（1），169；（2）平均数为166，方差为100.8． 【分析】（1）根据频率和为1求，再代入平均数公式，即可求解；（2）首先根据频率公式计算， 再计算女生的平均数，再根据（1）的结果，代入总体平均数公式和总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）可得，……2分， 此时男生身高平均数为；……4分； （2）结合分布表，，因此，进而，……2分， 此时计算得到女生身高平均数为 ，……2分， 因此初二年级身高平均数为，……2分， 方差为．……2分. 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 甲参加（1）项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业 理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局； 面试共有5道问答题，由考官逐（1）提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束． 已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． （1）当时，求；（2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；（3）已知甲通过了 笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 19．（1）；（2）最小值为，相应的；（3）分布列见解析，. 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可；（2）由题意，甲至少答对 3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简 得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可；（3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，……1分， 所以甲笔试满分的概率为，……1分， 则，又，故；……2分； （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，所以甲能够进入面试的概率： ，由（1）知，则，……1分， 则，整理得，……1分， 因为， ，所以，当且仅当， 即时，等号成立，所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为；……2分； 3 4 5 （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束，……2分； 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，，……1分； 当时，，……1分； 当时，，……1分； 所以的分布列为右上表：由期望公式得数学期望为.……1分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数与的定义域均为，若对任意的 都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”， 并说明理由；（2）若函数y = g(x)是y = f(x)在D上的"L函数"，求实数m的取值范围；（3）若，函数y= g(x)是y= f(x)在D上的"L函数"， 满足g(0) = g(1)，设函数y = h(x)是定义在R上周期为1的周期函数，满足当x∈[0，1]时，h(x)=g(x)； 求证:对任意的都有|h( 【详解】（1）已知，……2分； 对于任意 4 ……2分； 因为即 所以函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”；……2分； （2）已知]，因为函数y=g(x)是y=f(x)在D上的“L函数”， 所以对任意有| ……2分； 即 因为 所以 则 根据分子有理化， = ……2分； 所以，因为所以，两边同时除以得：因为 所以 则即解得：又因为在[0，2]上有意义， 所以m≥0，综上，m的取值范围是……2分； （3）已知函数y=g(x)是y=f(x)在D上的“L函数”， 所以对任意有；……2分； 因为g(0)=g(1)，所以对任意 ……2分； 因为函数y=h(x)是定义在R上周期为1的周期函数，当时，h(x)=g(x)； 所以对任意，存在使得 ……2分； 其中则 又因为所以，即……2分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为 稳定点．（1）已知，求的不动点；（2）已知函数在定义域内严格增， 求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）答案见解析. 【详解】（1）设，则恒成立，……1分； 故函数在R上单调递增，又，……1分； 故函数在R上有唯一零点，即有唯一不动点1；……2分； （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则，则， 即为函数的稳定点，充分性成立；……2分； 必要性：设为函数的稳定点，即，假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾；故必有，……2分； 即即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；……2分； （3）①当时，函数在上单调递增，由（2）知的稳定点 与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；令，，则，，则在上单调递减，……1分； 当时，恒成立，即在上单调递增，当x无限接近于0时，趋向于负无穷小， 且，故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点；……2分； ②当时，即时，当x趋向无穷大时，趋近于0， 此时，存在唯一，使得，此时f（x）在上单调递增，在上单调递减，故，……1分； 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大，设， 则在上单调递增，且，又，在时单调递增， 故（i）当时，即，此时，方程有一个解， 即有唯一不动点；……1分； （ii）当时，即，此时，方程无解， 即无不动点；……1分； （iii）当时，即，此时，方程有两个解， 即有两个不动点；……1分； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点；当时，有两个稳定点．……1分. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期模拟考试A卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 1234 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 製 3 5 1! 7 8 10 11 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 C149) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试A卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第8章；必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，则 ． 2．已知集合，集合， 则集合的子集数为 ． 3．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等， 则 ． 4．正项等比数列中，与是的两个极值点，则 . 5．设随机变量的分布，则 . 6．某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数 大约为 ． 7．在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 8．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中 随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的， 女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人． 参考数据及公式如下： 参考公式：，其中． 9．已知函数的定义域，值域， 则函数为增函数的概率是 ． 10．某公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策略， 已知某客户购买件该公司的促销商品，所支付的总金额为万元，其中， 则正数的取值范围为 ． 11．已知若对任意都存在使得 则实数m ．     12．已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．某统计部门对四组数据进行统计分析后获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较， 其中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 15．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 16．设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x<y，则 S；下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某学校高三年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高三年级学生的身高信息， 采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．高三男生身高样本的频率分布直方图如右下图： 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 高三女生身高样本的频率分布表如左上表. （1）求的值，并利用高三男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；（2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求高三年级学生身高的样本平均数和方差． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 甲参加（1）项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业 理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局； 面试共有5道问答题，由考官逐（1）提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束． 已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立．（1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；（3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题 答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数与的定义域均为，若对任意的 都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”， 并说明理由；（2）若函数y = g(x)是y = f(x)在D上的"L函数"，求实数m的取值范围；（3）若，函数y= g(x)是y= f(x)在D上的"L函数"， 满足g(0) = g(1)，设函数y = h(x)是定义在R上周期为1的周期函数，满足当x∈[0，1]时，h(x)=g(x)； 求证:对任意的都有|h( 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为 稳定点．（1）已知，求的不动点；（2）已知函数在定义域内严格增， 求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试A卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第8章；必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，则 ． 2．已知集合，集合， 则集合的子集数为 ． 3．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等， 则 ． 4．正项等比数列中，与是的两个极值点，则 . 5．设随机变量的分布，则 . 6．某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数 大约为 ． 7．在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次 取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”， 则 . 8．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中 随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的， 女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有 人． 参考数据及公式如下： 参考公式：，其中． 9．已知函数的定义域，值域， 则函数为增函数的概率是 ． 10．某公司实施了“客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低”的促销策略， 已知某客户购买件该公司的促销商品，所支付的总金额为万元，其中， 则正数的取值范围为 ． 11．已知若对任意都存在使得 则实数m ．     12．已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．某统计部门对四组数据进行统计分析后获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较， 其中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 15．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 16．设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x<y，则 S；下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某学校高三年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高三年级学生的身高信息， 采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．高三男生身高样本的频率分布直方图如右下图： 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 高三女生身高样本的频率分布表如左上表. （1）求的值，并利用高三男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；（2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求高三年级学生身高的样本平均数和方差． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 甲参加（1）项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业 理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局； 面试共有5道问答题，由考官逐（1）提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束． 已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． （1）当时，求；（2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；（3）已知甲通过了 笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数与的定义域均为，若对任意的 都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”， 并说明理由；（2）若函数y = g(x)是y = f(x)在D上的"L函数"，求实数m的取值范围；（3）若，函数y= g(x)是y= f(x)在D上的"L函数"， 满足g(0) = g(1)，设函数y = h(x)是定义在R上周期为1的周期函数，满足当x∈[0，1]时，h(x)=g(x)； 求证:对任意的都有|h( 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为 稳定点．（1）已知，求的不动点；（2）已知函数在定义域内严格增， 求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末考试B卷 （上海专用） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修第一册第2章；沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章； 必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设集合，，则______． 1．/【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，，所以；故答案为：. 2．已知，则 ． 2．6【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果. 【详解】 . 3．若，则的最小值是 ． 3．5【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵，∴， 当且仅当即时取等号，∴当时，取得最小值5；故答案为：5． 4．已知定义域为的偶函数在上为严格减函数， 则不等式 的解集为______. 4．【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数，由 ， 得到，整理得到，解得或，故答案为：. 5．7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 5．1800【分析】不相邻问题用“插空法”即可.【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法，故7人站成一排， 甲和乙不能相邻有种不同的排法.故答案为：1800. 6．曲线在处的切线方程为__________. 6．【解析】由题可得，由于，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 7．设，则函数的极大值点为 ． 7．【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【详解】由，可得， 令，解得：，，令，解得：或，所以在，上单调递增；令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为；故答案为：. 8．设（m、n为正整数）对任意实数x都成立， 若，则的最小值为 . 8．25【分析】利用组合数公式，表示和，再结合条件转化为二次函数求最值. 【详解】，则 ，，当或6时，的最小值是25；故答案为：25. 9．某文艺团有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，4人会跳舞.从中选派两人， 一人唱歌，另一人跳舞，则不同的安排方法共有__________种. 9．27【分析】按选派两人中有或没有既会唱歌又会跳舞的人分类计算. 【解析】由题意知，10人中有6人只会唱歌，3人只会跳舞，1人既会唱歌又会跳舞， 第一类：选派两人中没有既会唱歌又会跳舞的人：共有种， 第二类：选派两人中有既会唱歌又会跳舞的人：共有：种， 所以不同的安排方法共有种. 10．已知 ，则_____. 10．【分析】对原方程两边求导，然后令求得表达式的值. 【解析】对等式 两边求导，得 ，令，则. 11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交 于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 11．【解析】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示，设椭圆的长半轴长 为，双曲线的实半轴长为，焦距为，设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得：，所以，因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以，所以为等边三角形，所以，在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 12．已知函数有三个不同的零点且，若 则的值为_________．(注：题中为自然对数的底数，即) 12. 【分析】运用分离变量法构造新函数，通过分析新函数的性质，结合函数的图象，确定函数的零点，即可求解.【解析】因为有三个不同的零点且，且， 由，可得，即， 即，其中 令，可得， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增，其中时，； 当且，； 当且，；，所以函数的图象大致如图所示， 令，则或，可得，令，可得， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 则的图象大致如右图：所示， 因为有三个零点，结合和的图象可知： 若时，至多有2个零点； 若时，的解 必有一个为，否则必存在四个零点，所以，又因为， 所以，所以.故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（     ）． A． B． C． D． 13．B【分析】先由题意得到关于轴对称，再根据函数图象的平移变换，即可得出结果. 【详解】由是偶函数，得的图象关于轴对称，而函数的图象可由 的图象向右平移个单位得到，所以函数的图象的对称轴是；故选：B. 14．已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为，若， 其中为常数，则动点M的轨迹不可能是    （　　） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 14．C【详解】以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0）、 B（a，0）；因为，所以y2=λ（x+a）（a-x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆； 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；当λ=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程；故选C． 15．设，利用函数单调性比大小，可得（     ） A． B． C． D． 15．B【详解】令，则，当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立，所以，即，因为， 所以，又，所以，即，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以；故选：B. 16．现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （     ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A．①②都是真命题 B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题 D．①②都是假命题 16．A【分析】将个球的排列等同于分配到个位置上，任意两个位置作为一组放置相同编号的球 共有组，任意编号相同的球均不相邻，故可先求出位置不相邻的组数有组，再依次一组 一组的选出来依次排编号相同的两个小球结合即可求出满足条件的排列个数，进而即可判断①②. 【详解】由题意可知，，当时，则共有个球，不妨设有个位置，则将个球 排成一列就是将这个球排列在这个位置上的排列，任意两个位置作为一组放置相同编号的球， 则这个位置共分成组，其中两个位置相邻的有组，则共有 组位置用来放置这个球可使得任意编号相同的球均不相邻， 接着从组位置选第1组出来排放编号为1的两个球有种排法； 从剩下的组位置选第2组出来排放编号为2的两个球有种排法； 从剩下的组位置选第n组出来排放编号为n的两个球有种排法； 所以这个球排成一列，任意编号相同的球均不相邻的排列个数为： ， 所以，又，故对任意 都是偶数，故①正确； 显然满足，故， 所以当时，， 因为当时，， 所以当时，，且， 故 ，所以，故②正确； 故选：A. 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． （1）若，解不等式；（2）在的展开式中，第k项，第项， 第项的系数成等差数列，求n和k的值；（3）设计一道排列组合的应用题，验证下面这个等式成立： . 17．（1） ；（2） ，；（3）过程见解析. 【分析】（1）利用排列数公式，即可求解；（2）列用二项式展开式的通项公式，即可求解； （3）根据的展开式中项的系数设计题目，即可证明. 【详解】（1） 得，，……2分， 化简得，又，所以；……2分; （2），所以有展开得：， 化简得:，整理得，且， 解得: 或，……2分， 所以只能是一个奇数的平方，令， 所以，，……1分， 此时，……1分， 所以，； （3）题目为: “求的展开式中项的系数为多少? ”， 由题意可得: 展开式中含项为，也可以拆开为，……2分， 故展开式中含项可以按照前面提供个x，后面提供个x， 前面提供个x，后面提供个x，……以此类推，……2分， 即可得展开式中含项为，……2分， 所以，得以证明. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数. （1）当时，讨论的单调性；（2）求在上的最小值. 18．（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2）. 【分析】（1）当时，对函数求导，讨论导数符号，以此确定函数的单调区间； （2）对函数求导，根据导函数零点与区间的位置关系分类讨论，求出函数在区间上的最小值． 【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导： ，……2分， 当 时，，故 ，函数 单调递减；……1分， 当 时，，故 ，函数 单调递增，……1分， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增．……2分； （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ，……2分， 根据的取值范围，分三种情况讨论： ①当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ；……1分， ②当 时：当 时，，，单调递减； 当 时，，， 单调递增，最小值为： ； ……1分， ③当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ；……1分， 综上，最小值函数为：.……1分. 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 （单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1） 求的值；（2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中 共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩： ，已知这10个成绩的平均数，标准差， 若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 19．（1）；（2）；（3）平均数为79，方差为84. 【解析】（1）由题意可得，……2分， 解得；……2分； （2）和的人数之比为，……1分， 故从和抽取的人数分别为2人，3人，3人，……1分， 2人中有来自组的学生的概率为；……2分； （3）剩余8个成绩的平均数为，……2分， ，……2分， 故剩余8个成绩的方差为.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：（） 经过点，离心率为．过点，的 动直线交椭圆于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相切， 求当时，的长；（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 20．（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由题意可得，解得，……3分， 故椭圆的方程为；……1分； （2）由，则，可设，、，……1分， 则由直线与相切，可得，化简得，联立，……1分， 消去可得， ，则，，…2分， 则 ；……2分， （3）设，、，，联立， 消去可得： ， ，……1分， 即，，，……1分， 由点在以为直径的圆上，则， 由，，……1分， 则 ……1分， ， 即，……2分， 故，则有，由，故， 则有，即或，由，故， 即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，且点坐标为.……2分， 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. （1）已知，，求的“优点”坐标； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 21．（1）；（2）证明见解析；；（3）.【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，由两直线垂直得到，从而得到， 利用点斜式求出 切线方程，两条切线方程联立方程组求解，即为“优点”；（2）利用导数的几何意义求出斜率，利用两条 直线垂直条件得到的值， 利用点斜式求出两条切线的方程，这两个切线方程通过联立方程组， 求出，将其代入得到的值，由的值得到，从而得到所有“优点”所在的直线 方程；（3）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令交点为，通过联立两切线方程得到，令，则上式变为 ，由得到， 即，要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，将其视为关于的 二次方程，则有，通过讨论得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，设两条互相垂直的切线的切点横坐标为 ，则它们的斜率分别为，由两直线垂直得， 即，因为，，……2分， 故或， 即或， 当时，，，则两切点为，，……2分， 则切点处的切线方程：，切点处的切线方程： ， 即，当时，结果同上， 联立方程：，解得，即“优点”为 ；……2分， （2）因为，所以，设两切点横坐标为，斜率， 由垂直条件得到，解得，两个切点分别为，……2分， 过的切线方程为，即， 过的切线方程为 ，即，联立，……2分， 两式相减：，因为，所以， 将代入得到，由，故， 因此所有“优点”都在直线上； 故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为；……2分， （3）因为，所以，设两切点横坐标为，则斜率 ，两个切点分别为，，则过的切线方程为 ，过的切线方程为 ，……2分， 联立两切线方程， 令交点为，两式相减，得到， 左边因式分解： ， 右边因式分解： ，……2分， 因为，所以 ， 令，则上式变为，且满足， 由得到 ， 得到 ， 即， 要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，……1分， 将其视为关于的二次方程，则有， 即，即，即， 这说明存在实数使得 ， 即或有解，……1分， 当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式； 当时，， ，两条切线斜率均非负，无法满足乘积为，故不成立， 故实数的取值范围是：.……2分， / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试A卷 （上海专用） 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第8章；必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3．/0.375 4． 5．2 6．1200 7．/ 8．30 9． 10． 11．或8 12．/4.5 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．C 14．D 15． B 16．A 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围. 17．（1）或；（2）或 【分析】（1）根据条件得到，再分和两种情况， 当时，直接代入验证即可，时，利用二次函数的性质即可求解；（2）根据条件得到 ，再由，得到或，再利用基本不等式 和的性质，即可求解. 【详解】（1）由得到， 由得到或，……2分， 当时，得到恒成立，所以满足题意，……1分， 当时，得到，解得，不合题意，……1分， 当时，由题有，解得或， 综上，实数的取值范围为或；……2分； （2）由，得到， 由题知的两根为和，则且，……2分， 得到，又由，且，得到， 即，解得或，……2分， 当时，，所以，令， 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，……2分， 当时，，此时； 综上所述，正实数的取值范围为或.……2分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某学校高三年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高三年级学生的身高信息， 采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）．高三男生身高样本的频率分布直方图如右下图： 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 高三女生身高样本的频率分布表如左上表. （1）求的值，并利用高三男生身高频率分布直方图估计男生样本的平均数；（2）若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求高三年级学生身高的样本平均数和方差． 18．（1），169；（2）平均数为166，方差为100.8． 【分析】（1）根据频率和为1求，再代入平均数公式，即可求解；（2）首先根据频率公式计算， 再计算女生的平均数，再根据（1）的结果，代入总体平均数公式和总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）可得，……2分， 此时男生身高平均数为；……4分； （2）结合分布表，，因此，进而，……2分， 此时计算得到女生身高平均数为 ，……2分， 因此初二年级身高平均数为，……2分， 方差为．……2分. 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 甲参加（1）项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业 理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局； 面试共有5道问答题，由考官逐（1）提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束． 已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． （1）当时，求；（2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；（3）已知甲通过了 笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 19．（1）；（2）最小值为，相应的；（3）分布列见解析，. 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，最后求得即可；（2）由题意，甲至少答对 3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简 得，利用基本不等式求得的最小值及相应的值即可；（3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为，求出对应概率，再得到分布列与数学期望即可. 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，……1分， 所以甲笔试满分的概率为，……1分，则，又，故；……2分； （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，所以甲能够进入面试的概率： ，由（1）知，则，……1分， 则，整理得，……1分， 因为， ，所以，当且仅当， 即时，等号成立，所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为；……2分； 3 4 5 （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束，……2分； 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，，……1分； 当时，，……1分； 当时，，……1分； 所以的分布列为右上表：由期望公式得数学期望为.……1分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数与的定义域均为，若对任意的 都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”， 并说明理由；（2）若函数y = g(x)是y = f(x)在D上的"L函数"，求实数m的取值范围；（3）若，函数y= g(x)是y= f(x)在D上的"L函数"， 满足g(0) = g(1)，设函数y = h(x)是定义在R上周期为1的周期函数，满足当x∈[0，1]时，h(x)=g(x)； 求证:对任意的都有|h( 【详解】（1）已知，……2分； 对于任意 4 ……2分； 因为即 所以函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”；……2分； （2）已知]，因为函数y=g(x)是y=f(x)在D上的“L函数”， 所以对任意有| ……2分； 即 因为 所以 则 根据分子有理化， = ……2分； 所以，因为所以，两边同时除以得：因为 所以 则即解得：又因为在[0，2]上有意义， 所以m≥0，综上，m的取值范围是……2分； （3）已知函数y=g(x)是y=f(x)在D上的“L函数”， 所以对任意有；……2分； 因为g(0)=g(1)，所以对任意 ……2分； 因为函数y=h(x)是定义在R上周期为1的周期函数，当时，h(x)=g(x)； 所以对任意，存在使得 ……2分； 其中则 又因为所以，即……2分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为 稳定点．（1）已知，求的不动点；（2）已知函数在定义域内严格增， 求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）答案见解析. 【详解】（1）设，则恒成立，……1分； 故函数在R上单调递增，又，……1分； 故函数在R上有唯一零点，即有唯一不动点1；……2分； （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则，则， 即为函数的稳定点，充分性成立；……2分； 必要性：设为函数的稳定点，即，假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾；故必有，……2分； 即即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；……2分； （3）①当时，函数在上单调递增，由（2）知的稳定点 与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；令，，则，，则在上单调递减，……1分； 当时，恒成立，即在上单调递增，当x无限接近于0时，趋向于负无穷小， 且，故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点；……2分； ②当时，即时，当x趋向无穷大时，趋近于0， 此时，存在唯一，使得，此时f（x）在上单调递增，在上单调递减，故，……1分； 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大，设， 则在上单调递增，且，又，在时单调递增， 故（i）当时，即，此时，方程有一个解， 即有唯一不动点；……1分； （ii）当时，即，此时，方程无解， 即无不动点；……1分； （iii）当时，即，此时，方程有两个解， 即有两个不动点；……1分； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点；当时，有两个稳定点．……1分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期模拟考试A卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试B卷 （上海专用） 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修第一册第2章；沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章； 必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．/ 2．6 3．5 4． 5．1800 6． 7． 8．25 9．27 10．22 11．1 12．8+e 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．B 14．C 15． B 16．A 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． （1）若，解不等式；（2）在的展开式中，第k项，第项， 第项的系数成等差数列，求n和k的值；（3）设计一道排列组合的应用题，验证下面这个等式成立： . 17．（1） ；（2） ，；（3）过程见解析. 【分析】（1）利用排列数公式，即可求解；（2）列用二项式展开式的通项公式，即可求解； （3）根据的展开式中项的系数设计题目，即可证明. 【详解】（1） 得，，……2分， 化简得，又，所以；……2分; （2），所以有展开得：， 化简得:，整理得，且， 解得: 或，……2分， 所以只能是一个奇数的平方，令， 所以，，……1分， 此时，……1分， 所以，； （3）题目为: “求的展开式中项的系数为多少? ”， 由题意可得: 展开式中含项为，也可以拆开为，……2分， 故展开式中含项可以按照前面提供个x，后面提供个x， 前面提供个x，后面提供个x，……以此类推，……2分， 即可得展开式中含项为，……2分， 所以，得以证明. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数. （1）当时，讨论的单调性；（2）求在上的最小值. 18．（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；（2）. 【分析】（1）当时，对函数求导，讨论导数符号，以此确定函数的单调区间； （2）对函数求导，根据导函数零点与区间的位置关系分类讨论，求出函数在区间上的最小值． 【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导： ，……2分， 当 时，，故 ，函数 单调递减；……1分， 当 时，，故 ，函数 单调递增，……1分， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增．……2分； （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ，……2分， 根据的取值范围，分三种情况讨论： ①当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ；……1分， ②当 时：当 时，，，单调递减； 当 时，，， 单调递增，最小值为： ； ……1分， ③当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ；……1分， 综上，最小值函数为：.……1分. 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 （单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1） 求的值；（2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中 共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩： ，已知这10个成绩的平均数，标准差， 若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 19．（1）；（2）；（3）平均数为79，方差为84. 【解析】（1）由题意可得，……2分， 解得；……2分； （2）和的人数之比为，……1分， 故从和抽取的人数分别为2人，3人，3人，……1分， 2人中有来自组的学生的概率为；……2分； （3）剩余8个成绩的平均数为，……2分， ，……2分， 故剩余8个成绩的方差为.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：（） 经过点，离心率为．过点，的 动直线交椭圆于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相切， 求当时，的长；（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 20．（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由题意可得，解得，……3分， 故椭圆的方程为；……1分； （2）由，则，可设，、，……1分， 则由直线与相切，可得，化简得，联立，……1分， 消去可得， ，则，，…2分， 则 ；……2分， （3）设，、，，联立， 消去可得： ， ，……1分， 即，，，……1分， 由点在以为直径的圆上，则， 由，，……1分， 则 ……1分， ， 即，……2分， 故，则有，由，故， 则有，即或，由，故， 即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，且点坐标为.……2分， 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. （1）已知，，求的“优点”坐标； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 21．（1）；（2）证明见解析；；（3）.【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，由两直线垂直得到，从而得到， 利用点斜式求出 切线方程，两条切线方程联立方程组求解，即为“优点”；（2）利用导数的几何意义求出斜率，利用两条 直线垂直条件得到的值， 利用点斜式求出两条切线的方程，这两个切线方程通过联立方程组， 求出，将其代入得到的值，由的值得到，从而得到所有“优点”所在的直线 方程；（3）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令交点为，通过联立两切线方程得到，令，则上式变为 ，由得到， 即，要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，将其视为关于的 二次方程，则有，通过讨论得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，设两条互相垂直的切线的切点横坐标为 ，则它们的斜率分别为，由两直线垂直得， 即，因为，，……2分， 故或， 即或， 当时，，，则两切点为，，……2分， 则切点处的切线方程：，切点处的切线方程： ， 即，当时，结果同上， 联立方程：，解得，即“优点”为 ；……2分， （2）因为，所以，设两切点横坐标为，斜率， 由垂直条件得到，解得，两个切点分别为，……2分， 过的切线方程为，即， 过的切线方程为 ，即，联立，……2分， 两式相减：，因为，所以， 将代入得到，由，故， 因此所有“优点”都在直线上； 故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为；……2分， （3）因为，所以，设两切点横坐标为，则斜率 ，两个切点分别为，，则过的切线方程为 ，过的切线方程为 ，……2分， 联立两切线方程， 令交点为，两式相减，得到， 左边因式分解： ， 右边因式分解： ，……2分， 因为，所以 ， 令，则上式变为，且满足， 由得到 ， 得到 ， 即， 要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，……1分， 将其视为关于的二次方程，则有， 即，即，即， 这说明存在实数使得 ， 即或有解，……1分， 当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式； 当时，， ，两条切线斜率均非负，无法满足乘积为，故不成立， 故实数的取值范围是：.……2分， / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟考试B卷 （上海专用） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修第一册第2章；沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章； 必修第一册第1章~第5章。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设集合，，则______． 2．已知，则 ． 3．若，则的最小值是 ． 4．已知定义域为的偶函数在上为严格减函数， 则不等式 的解集为______. 5．7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 6．曲线在处的切线方程为__________. 7．设，则函数的极大值点为 ． 8．设（m、n为正整数）对任意实数x都成立， 若，则的最小值为 . 9．某文艺团有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，4人会跳舞.从中选派两人， 一人唱歌，另一人跳舞，则不同的安排方法共有__________种. 10．已知 ，则_____. 11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交 于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 12．已知函数有三个不同的零点且，若 则的值为_________．(注：题中为自然对数的底数，即) 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（     ）． A． B． C． D． 14．已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为，若， 其中为常数，则动点M的轨迹不可能是    （　　） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 15．设，利用函数单调性比大小，可得（     ） A． B． C． D． 16．现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （     ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A．①②都是真命题 B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题 D．①②都是假命题 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． （1）若，解不等式；（2）在的展开式中，第k项，第项， 第项的系数成等差数列，求n和k的值；（3）设计一道排列组合的应用题，验证下面这个等式成立： . 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数. （1）当时，讨论的单调性；（2）求在上的最小值. 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 某校举行了一次“解析几何大赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 （单位：分，为正整数）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1） 求的值；（2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中 共抽取8人，再从8人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩： ，已知这10个成绩的平均数，标准差， 若剔除其中的96和72两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：（） 经过点，离心率为．过点，的 动直线交椭圆于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相切， 求当时，的长；（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. （1）已知，，求的“优点”坐标； （2）已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $