高二数学下学期期末模拟卷01（上海专用，沪教版选修一+选修二全部：直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列+导数+计数原理+概率统计）

**基本信息** 立足沪教版选修内容，以AI大模型使用统计、果圆曲线等真实情境设计问题，梯度覆盖函数、立体几何、概率统计等核心知识，考查数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|椭圆焦点三角形、函数切线垂直|结合小狗跑动视线问题考查曲线应用| |选择题|4题18分|旋转变换、正四面体性质|以广告支出数据考查统计分析能力| |解答题|5题78分|AI使用情况概率分布、果圆面积拟合|设计“等差偏移”函数新定义问题，融合导数与数列证明|

2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 0.8 4. 5. 1 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D B D B 3、 解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即；……（7分） （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）设中点为，连接，， 因为M、N分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 平面，平面，且， 所以平面平面，因为平面，所以平面.……（6分）    （2）设中点为，中点为，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，进而，因为四边形是正方形，所以， 以为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若，，所以， ，，，，为中点，所以. 设平面的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面的法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为.……（14分）    19．（14分） 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立.……（4分） （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故.……（9分） （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为.……（5分） （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为……（11分） （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1），，则切线方程为；……（3分） （2）设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以；……（10分） （3），则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一+选修二全部。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．设，则的值为________． 2．圆的半径为__________． 3．已知随机变量服从正态分布且则________． 4．5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊，排成一排. 若甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则不同的排法有_____种. 5．已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 6．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 7．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 8．如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 9．设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 10．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 11．若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式___________. 12．设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为________ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 销售额y万元 14 21 29 30 37 43 A．广告支出数据的极差为13 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强 14．已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 15．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 16．坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 18．（14分）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 19．（14分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 20．（18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 21．（18分）已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一+选修二全部。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．设，则的值为________． 2．圆的半径为__________． 3．已知随机变量服从正态分布且则________． 4．5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊，排成一排. 若甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则不同的排法有_____种. 5．已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 6．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 7．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 8．如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 9．设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 10．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 11．若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式___________. 12．设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为________ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 销售额y万元 14 21 29 30 37 43 A．广告支出数据的极差为13 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强 14．已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 15．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 16．坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 18．（14分）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 19．（14分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 20．（18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 21．（18分）已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一+选修二全部。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．设，则的值为________． 【答案】 【详解】由二项式定理得， 所以. 故答案为：. 2．圆的半径为__________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 3．已知随机变量服从正态分布且则________． 【答案】0.8 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 4．5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊，排成一排. 若甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则不同的排法有_____种. 【答案】 【详解】甲不能站在排头，乙不能站在排尾，可分为两类： （1）甲在排尾，其他任意排列，共有种不同的排法； （2）甲不在排尾，甲有种，此时乙有种，其他任意排列有种， 所以甲不能站在排头，乙不能站在排尾，共有种不同的排法. 故答案为：. 5．已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 【答案】1 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 6．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 7．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则的最大值为________． 【答案】 【详解】，是椭圆的两个焦点，所以， 点在椭圆上，则，，所以， 又因为单调递减，单调递增， 则， 则， 当或时，则最大值为. 故答案为：. 8．如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：（）寻找小狗．已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段EF：（），曲线SB：（）．小狗沿线段CB：（）以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为________秒．（精确到0.01） 【答案】 【详解】如图，连接并延长交于点，过作于抛物线相切交于点， 由题意，， 则由可得，， 设直线， 则由可得， 则，解得或 即直线或， 当时，由可得切点纵坐标为，符合题意， 当时，由可得切点纵坐标，不符合题意， 故所求切线方程为，令，可得， 故， 所以（秒）. 故答案为： 9．设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______． 【答案】 【详解】由题设有， ， 故，， 故， 因为函数图像上任意一点处的切线为， 总存在函数图像上一点处的切线，使得， 故为的子集， 所以，解得，故实数的最小值是， 故答案为：. 10．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 11．若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式___________. 【答案】 【详解】因为数列是以为公差，为首项的等差数列，则，且， 所以，，，，， 以上等式累加得， 故. 故当时，. 也满足，故对任意的，. 故答案为：. 12．设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为________ 【答案】 【详解】 如图：由题意得，即，设斜率为正的渐近线的倾斜角为，则，，所以该双曲线渐近线的夹角为 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 销售额y万元 14 21 29 30 37 43 A．广告支出数据的极差为13 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强 【答案】D 【详解】对于A，极差为，故A错误； 对于B，销售额数据按照从小到大的顺序排列为共个数据， 因为，所以销售额数据的第百分位数为，故B错误； 对于C，线性回归方程反应之间关系的一种拟合，不具有确定性，故C错误； 对于D，若去掉超市A这一组数据，因为超市的数据偏离其他数据较远，去掉后其他数据更集中，所以相关程度会更高，故D正确. 故选：D. 14．已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 15．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 16．坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即；……（7分） （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为.……（14分） 18．（14分）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）设中点为，连接，， 因为M、N分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 平面，平面，且， 所以平面平面，因为平面，所以平面.……（6分）    （2）设中点为，中点为，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，进而，因为四边形是正方形，所以， 以为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若，，所以， ，，，，为中点，所以. 设平面的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面的法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为.……（14分）    19．（14分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立.……（4分） （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故.……（9分） （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故.……（14分） 20．（18分）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为.……（5分） （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为……（11分） （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意.……（18分） 21．（18分）已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【详解】（1），，则切线方程为；……（3分） （2）设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以；……（10分） （3），则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $