高一数学下学期期末真题重组卷（上海专用，沪教版必修二全部内容+空间直线与平面+数列）

**基本信息** 2025-2026高一下期末数学真题重组卷，精选上海多区期末真题，覆盖复数、三角函数、立体几何、数列等核心知识，通过液压机构现实情境与三角函数方程根综合问题，考查抽象能力、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|复数虚部、扇形弧长、向量投影|分层设分，7-12题如空间四边形异面直线成角，提升空间观念| |选择题|4题/18分|充要条件、复数性质、线面关系|16题多角度考查空间位置关系，培养逻辑推理| |解答题|5题/78分|向量运算、解三角形、立体几何证明、数列求和、三角函数方程|21题结合图像与方程根，考查直观想象；19题立体几何证明与夹角计算，体现数学思维严谨性|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 2．（2025高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为_____. 3．（2025高一下·上海·期末）已知在第二象限，则的值为__________. 4．（2025高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长_____. 5．（2025高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则______________． 6．（2025高一下·上海青浦·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 7．（2025高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 8．（2025高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 9．（2025高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则______________． 10．（2025高一下·上海金山·期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 11．（2025高一下·上海·期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 12．（2025高一下·上海静安·期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．（2025高一下·上海浦东新·期末）下列说法错误的是（   ） A．已知复数，若，则 B．已知复数，若，则 C．若，则与共线 D．若，则 15．（2025高一下·上海宝山·期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 16．（2025高一下·上海浦东新·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 18．（本题14分）（2025高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 19．（本题14分）（2025高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 20．（本题18分）（2025高一下·上海·期末）已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 21．（本题18分）（2025高一下·上海·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) …… 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 : 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) 1.(2025高一下.上海松江期末)复数z=1-i(其中i为虚数单位)的虚部是 2.(2025高一下上海嘉定：期末)已知扇形的弧所对的圆心角为行且半径为6m,则该扇形的弧长为 常 O 3.(2025高一下.上海期末)已知cosa=- ,a在第二象限，则tana的值为 8 4.(2025高一下.上海嘉定期未)在△ABC中，已知BC=5,B=元.且△ABC的面积为5√2，则边长AB= 4 : : 斟 5.(2025高一下·上海青浦·期末)若、B都是锐角，且cosa= v5 : ,simn(a-B)o 则B= 10 6.(2025高一下.上海青浦期末)已知向量五=(1,2)，向量ā在6方向上的投影向量为-1五，则.万= 7.(2025高一下.上海金山期末)已知复数z的实部为1，且z=√5，若z是关于x的方程 : : x2+px+q=0,p,q∈R的根，则p+q= .: 8.(2025高一下.上海浦东新期末)空间四边形ABCD中，AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为70°， K E、F分别为BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成角的大小是一· : 9.(2025高一下·上海青浦·期末)己知等差数列{a}满足4+a4+4=3,43+45+4=9,则4+%= : 10.（2025高一下.上海金山期末)已知点O是△ABC外接圆圆心，角A,B,C所对的边分别为4，b,c,且有 试题第1页（共4页） .: 6学科网·上好课 bcos=G,若AC-西-AB0,则实数元的值为 2 cosC cos B 11.(2025高一下·上海·期末)如图，自动卸货汽车采用液压机构.己知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AC的长为1.4m,BC与过A的水平线交于点D,AD的长为1.75m.则 AB与水平线之间的夹角的大小为 (以角度制表示，精确到0.01°) AQ60 12.(2025高一下·上海静安·期末)已知函数f(x)=sinx cosx+cosxsinx,则下列四个结论正确的是 (填写所有正确结论的序号) 回是y=四的一个周期： ②y=f)的图像关于x=匹对称： 4 ③y=f(x)在闭区间[0，π上恰有3个零点： ④若v=om)(其中常数0>0)在0,5 上是严格增函数，则ω的最大值为。 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.(2025高一下·上海期末)已知x∈R,则“sinx=1"是“c0sx=0”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.(2025高一下·上海浦东新·期末)下列说法错误的是（) A.己知复数，2，若=，则五=2B.己知复数3,22，若=，则z=2 c.若a.balb,则a与i共线D.若aH,则=b 15.(2025高一下.上海宝山期末)复数a、B分别对应复平面内的点P、9,若a2-20+2B2=0,则△P00 (其中O为坐标原点)，是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个锐角为60°的直角三角形 16.(2025高一下.上海浦东新·期末)设m,n是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，下列说法中正 试题第2页（共4页） 可学科网·上好课 确的个数为() ①若c,/a,则m,n为异面直线②若a∥y,B∥y,则a/B ③若⊥B,m⊥，a⊥B,则a&⊥y④若⊥&，n⊥B,/lm,则&⊥B ⑤若1⊥a,nllp,alB,则1⊥n A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)（2025高一下.上海·期末)己知k为实数，向量五=（化，-3），b=(6,3-k). (1)若ā/1b,求k的值： (2)若ā1b,求a-2b的值. 18.(本题14分)(2025高一下.上海静安期末)在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知 tan B tan' D为AB中点，CD=2. (1)证明△ABC为等腰三角形； (2)若A∈0,5，求△ABC周长的最小值. 3 19.（本题14分)(2025高一下.上海杨浦·期末)如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB⊥平面 BCE,BE=√5，EC=1.点F为线段BE的中点. D 试题第3页（共4页） (1)求证：EC⊥平面ABE; (2)求异面直线AF与DE所成的角的大小. : 米 20.(本题18分)(2025高一下·上海期末)已知S是数列{a}的前n项和，且2S=33-4 (1)求证：数列{a}是等比数列； (2)设bn=log3a求数列b}的前n项和Tn. 滞 游 21.(本题18分)(2025高一下-上海：期末)已知函数f()=2(ax+mw>0到· 其图象相邻两条 对称轴之间的距离为 且经过点(0,1) 世 (1)求函数f(x)的解析式： ..0 (2)当x∈ 后方程》=0有解，求实数m的以。 (3)若方程f()-a=0在区间0,7π 6 上恰有三个实数根，x,x,且，<x,<x,求si(+x3+)的取值 @ 范围. 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【答案】-1 【详解】由题可知：的虚部是-1.故答案为：-1 2．（2025高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为_____. 【答案】cm 【详解】，故答案为： 3．（2025高一下·上海·期末）已知在第二象限，则的值为__________. 【答案】 【详解】由在第二象限，得，所以.故答案为：. 4．（2025高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长_____. 【答案】4 【详解】由.故答案为：4. 5．（2025高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则______________． 【答案】 【详解】由题意有，所以，又， 所以，所以 ，又，所以，故答案为：. 6．（2025高一下·上海青浦·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 【答案】 【详解】由向量在方向上的投影向量为，所以，即， 故答案为：. 7．（2025高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【详解】设，则，解得，所以或， 由题意可知，.故答案为：1 8．（2025高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 【答案】或 【详解】如图，设是的中点，分别连接，又因为、分别为和的中点，所以，所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 9．（2025高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则______________． 【答案】4 【详解】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 10．（2025高一下·上海金山·期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 【答案】 【详解】由半角公式可得， 又由余弦定理可得， 则. 设为中点，因为为外接圆的圆心，则有， 因为， 由可得， 即， 可得，即， 即，故. 故答案为：. 11．（2025高一下·上海·期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 【答案】 【详解】中，根据余弦定理， ，则， 中，根据正弦定理，即，得， 则，所以. 故答案为： 12．（2025高一下·上海静安·期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 【答案】②④ 【详解】已知，则， 所以①错误， ，所以②正确， 当时，， 当时，， 所以，在上有无数个零点，所以③错误， 当时，，若，则，在上不严格递增，不符合题意， 于是，，，因此，即，所以的最大值为，则④正确. 故答案为：②④. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】当时，一定等于零；反之当时，， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 14．（2025高一下·上海浦东新·期末）下列说法错误的是（   ） A．已知复数，若，则 B．已知复数，若，则 C．若，则与共线 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，设，，,则，. 若，即，则有，所以，故A正确； 对于B，设，则， 但是， ，故B错误； 对于C，设的夹角为，因为，若， 则，即或，所以与共线，故C正确； 对于D，因为，若，则，故D正确. 故选：B 15．（2025高一下·上海宝山·期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 16．（2025高一下·上海浦东新·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确. 故选：C. 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）若，则， 即 即或；..........................................................7分 （2）因为，则，则， 所以，得.................14分 18．（本题14分）（2025高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形.......................................................7分 （2）解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为........................14分 19．（本题14分）（2025高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又四边形是矩形，，所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面； （2）将四棱锥放到长方体中，如图： 取的中点为，连接，由， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，所以，又， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 又由，所以， 所以，所以， 所以, 由余弦定理有， 所以异面直线与所成的角为. 20．（本题18分）（2025高一下·上海·期末）已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：由数列满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，即， 当时，，即，解得， 所以数列是首项为，公比的等比数列.......................................................7分 （2）解：由（1）可得数列的通项公式为， 则， 令，可得数列的前项和为， 当时，可得； 当时，可得 ， 所以数列的前项和.........................................14分 21．（本题18分）（2025高一下·上海·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． （2）， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． （3），设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) 1.(2025高一下·上海松江·期末)复数z=1-i(其中i为虚数单位)的虚部是 2.(225高一下上海嘉定期末)已知扇形的弧所对的圆心角为且半径为6cm,则该扇形的弧长为 3.(2025高一下：上海期未)己知cosa=号u在第二象限，则ma的值为 4.(2025高一下-上海嘉定期末)在△ABC中，已知BC=5,B=元且△ABC的面积为5V,则边长AB=一 4 5.2025高-下」海有油期未)若a,B都是领角，且casa,ma-)则B 10 6.(2025高一下上海青浦期末)已知向量万=(1,2，向量ā在6方向上的投影向量为-五，则a.6= 2 7.(2025高一下·上海金山期末)已知复数z的实部为1，且z上V3,若z是关于x的方程 x2+x+q=0,p,q∈R的根，则P+q= 8.(2025高一下·上海浦东新·期末)空间四边形ABCD中，AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为70°， E、F分别为BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成角的大小是 9.(2025高一下·上海青浦期末)已知等差数列{a}满足4+a4+=3,4+4+4,=9,则4+4= 10.(2025高一下·上海金山期末)已知点O是△ABC外接圆圆心，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有 115 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 bccos21-d,若AC AB 2 =BO,则实数2的值为 cosC cos B 11.(2025高一下·上海·期末)如图，自动卸货汽车采用液压机构.已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AC的长为1.4m,BC与过A的水平线交于点D,AD的长为1.75m.则AB 与水平线之间的夹角&的大小为 (以角度制表示，精确到0.01°) Q60 D 12.（2025高一下·上海静安·期末)已知函数f(x)=sinx cosx+cosx sinx,则下列四个结论正确的是 (填写所有正确结论的序号) ①号是)=f)的一个周期： ②y=的图像关于X-军对称： ③y=f(x)在闭区间[0，π]上恰有3个零点； @若y=f)(其中常数o>0)在[0引 是严格增函数，则⊙的最大值为子 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.(2025高一下·上海·期末)已知x∈R,则“sinx=1”是“c0sx=0”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.(2025高一下·上海浦东新·期末)下列说法错误的是（) A.已知复数3,32，若z=3,,则z1=z2B.已知复数3,22，若=，则=号 c.若1a.b曰abl,则a与i共线 D.若1ab1,则=五2 15.(2025高一下·上海宝山期末)复数、B分别对应复平面内的点P、2,若a2-2aB+2B2=0,则△P0Q (其中O为坐标原点)，是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个锐角为60°的直角三角形 2/5 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(2025高一下·上海浦东新·期末)设m,n是两条不同的直线，心，B,y是三个不同的平面，下列说法中正 确的个数为() ①若mca,nlWa,则m,n为异面直线②若aly,B1∥y,则alP ③若m⊥P,m⊥Y,a⊥B,则a⊥y④若m⊥&，n⊥B,lln,则a&LB ⑤若l⊥a,/lB,l/B,则1⊥n A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题（本大题共有5题，第1719题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)(2025高一下·上海期末)已知k为实数，向量立=(k,-3),b=(6,3-) (1)若ā/b,求k的值： (2)若a1b,求a-2b1的值. 18.(本题14分)(2025高一下·上海静安·期末)在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知 tanBtan'D为AB中点，cD=2. (1)证明△ABC为等腰三角形： 、π ,求△ABC周长的最小值. 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(本题14分)(2025高一下·上海杨浦·期末)如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB1平面 BCE,BE=√3，EC=1.点F为线段BE的中点. D (I)求证：EC⊥平面ABE; (2)求异面直线AF与DE所成的角的大小. 20.(本题18分)(2025高一下·上海期末)已知S,n是数列{a}的前n项和，且2Sn=33-a. (1)求证：数列{a}是等比数列： (2)设b,.=1og34,求数列b,n}的前n项和Ta 4/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(本题18分)(2025高-下上海期末)已知函数f)=2sin(r+)00引. 其图象相邻两条 对称轴之间的距离为亚，且经过点(0,1). (1)求函数∫(x)的解析式： @消[店哥，方蔻孔-写引-m=0有解，求交数m的束位花： 诺方程f()-a=-0在区间0石上恰有三个实数根，，，且<5<华，求m(%+书*)的取值范 围. 5/5 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数学·参考答案 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1. -1 2. cm 3. 4. 4 5. 6. 7. 1 8. 或 9. 4 10. 11. 12. ②④ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 13 14 15 16 答案 A B C C 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（1）若，则， 即 即或；..........................................................7分 （2）因为，则，则， 所以，得.................14分 18．（本题14分）（1）解：在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形.......................................................7分 （2）解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为........................14分 19．（本题14分）（1）由平面，平面，所以， 又四边形是矩形，，所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面； （2）将四棱锥放到长方体中，如图： 取的中点为，连接，由， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，所以，又， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 又由，所以， 所以，所以， 所以, 由余弦定理有， 所以异面直线与所成的角为. 20．（本题18分）（1）解：由数列满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，即， 当时，，即，解得， 所以数列是首项为，公比的等比数列.......................................................7分 （2）解：由（1）可得数列的通项公式为， 则， 令，可得数列的前项和为， 当时，可得； 当时，可得 ， 所以数列的前项和.........................................14分 21．（本题18分）（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． （2）， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． （3），设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 2 47 拓 3 0 阳 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15 16题每题5分) 13[A][B][C]D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) D C 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 2．（2025高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为_____. 3．（2025高一下·上海·期末）已知在第二象限，则的值为__________. 4．（2025高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长_____. 5．（2025高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则______________． 6．（2025高一下·上海青浦·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 7．（2025高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 8．（2025高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 9．（2025高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则______________． 10．（2025高一下·上海金山·期末）已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 11．（2025高一下·上海·期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 12．（2025高一下·上海静安·期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．（2025高一下·上海浦东新·期末）下列说法错误的是（   ） A．已知复数，若，则 B．已知复数，若，则 C．若，则与共线 D．若，则 15．（2025高一下·上海宝山·期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 16．（2025高一下·上海浦东新·期末）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 18．（本题14分）（2025高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 19．（本题14分）（2025高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 20．（本题18分）（2025高一下·上海·期末）已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 21．（本题18分）（2025高一下·上海·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $