专题04 平面向量期末复习（8大考点突破+50题精练强化）-2025-2026学年高一数学下学期期末高分冲刺（沪教版2020必修第二册）

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题03 平面向量期末复习讲义 考点01：向量的相关概念 1．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 2．下列各选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3. （24-25黄浦区高一下期末）设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（ ） A 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 考点02：向量的线性运算 4. 平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 5. （24-25浦东新区高一下期末检测）在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 6.如图，正六边形ABCDEF中，，，则（　　） A． B． C． D． 7.已知点G为△ABC的重心，若，则λ﹣μ＝______ 考点03：向量共线定理及应用 8.“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.（24-25上海复旦附中高一下期末）如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 10．在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4    11.如图，在中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则____________，的最小值为_____________. 12．已知点G为的重心． (1)求； (2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值． 考点04：向量的数量积 13．已知向量和的夹角为，且，，则 . 14. （24-25上海复旦附中高一下期末）已知，则_________． 15.在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 16.在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 考点05：向量的坐标表示 16．若向量的起点的坐标为，且，则终点的坐标为 . 17.已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 18.已知，，，则点的坐标为 19.已知向量，若，则实数______ 20．已知向量，，向量，，若，则实数 . 21.已知，，则 ． 22.已知向量，，设，，则与的夹角为______ 考点06：向量的投影与数量投影 23．已知向量、满足，，且，则向量在上的投影为 ． 24．已知向量，则在上的投影向量的长度为_______ 25．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 26. 已知向量满足，则在上投影向量为_______ 27.（24-25浦东新区高一下期末检测）已知，，，则在方向上的投影是______． 28.（24-25上师大附中高一下期末）若，则在方向上的投影是_____ 考点07：向量的模与夹角 29．已知向量满足，则 ． 30．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 . 31. 若均是单位向量，且，则_______ 32．已知向量满足，且，则与的夹角为 . 33．若向量、满足，，且，则与夹角的余弦值为 . 34．已知，是平面内两个夹角为120°的单位向量，若 且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是 . 35. （24-25浦东新区高一下期末检测）设向量满足，，且，则______． 36. （24-25华师大二附中高一下期中）已知向量，，若，则实数的取值范围是_____． 37. （24-25黄浦区高一下期末）设的顶点的坐标分别为，，． （1）若，求点的坐标； （2）过点作，垂足为，求的坐标． 38. 已知点、. （1）求的单位向量； （2）求向量与夹角的余弦值. 考点08：向量的平行与垂直 39.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知向量，满足，则______. 40．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 . 41. （2021上海理工大学附属中学期末）已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________． 42. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知，向量，，当取到最大值时，的值是______． 43. （24-25静安区高一下期末）已知向量，． （1）若，，，求证：、、三点共线． （2）已知，若，且，求的值； 44．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 45．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 46.设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 47.（24-25浦东新区高一下期末检测）已知中三点的坐标分别是， （1）求； （2）求证：直角三角形． 考点09：平面向量中的最值与范围 48. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 49.在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50.已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 51.（24-25华师大二附中高一下期中）正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 52. 如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 53. 在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54.已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 55.如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C． D． 56. 已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 考点10：综合压轴 57.已知向量，，设． (1)，求当取最小值时实数的值； (2)若 ①求； ②当向量与向量的夹角为，求出实数的值． 58．已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 59.如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 60. （24-25南洋模范中学高一下期末）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $