24.2数据的离散程度（第1课时 方差）（大单元教学课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦“方差”核心知识点，通过国家卫健委体重管理计划中某校学生BMI数据、农业科学院甜玉米产量稳定性问题导入，衔接平均数知识，引导学生从数据波动直观认识过渡到方差概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以真实情境为载体，通过合作探究（如甜玉米产量对比）和典例精析（如合唱身高方差计算、麦苗长势比较），培养数据意识和运算能力，帮助学生用数学语言表达数据离散程度。学生能提升数据分析能力，教师可借助结构化资源高效教学。

第二十四章 数据的分析 人教版(新教材) 八年级下册 24.2(第1课时) 方差 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”,普及健康生活方式，加强慢性病防治.目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为BMI体质指数(以下简称BMI),其换算公式为： BMI=(单位：kg/m²),并规定： BMI<18.5:偏瘦；18.5≤BMI<24:正常；24≤BMI<28:超重；BMI≥28:肥胖. 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各10人，测量他们的身高，体重，计算相应的BMI值，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.10名男生的身高(单位：m),体重(单位：kg)及BMI(保留一位小数)数据如下表： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 b.10名女生的身高(单位：m)如下： 1.59 1.62 1.64 1.64 1.64 1.66 1.67 1.68 1.70 1.73 c.10名女生的BMI指数条形图如下： 思考：男生和女生的BMI体质指数总体上没有什么差异呢？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子，选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题，为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如下表所示. 甲 乙 7.56 7.55 7.50 7.56 7.62 7.53 7.59 7.44 7.65 7.49 7.64 7.52 7.50 7.58 7.40 7.46 7.41 7.53 7.41 7.49 你能由由样本平均数估计总体平均数吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 甲 乙 7.56 7.55 7.50 7.56 7.62 7.53 7.59 7.44 7.65 7.49 7.64 7.52 7.50 7.58 7.40 7.46 7.41 7.53 7.41 7.49 上面两组数据的平均数分别是 =7.537,=7.515. 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 甲 乙 7.56 7.55 7.50 7.56 7.62 7.53 7.59 7.44 7.65 7.49 7.64 7.52 7.50 7.58 7.40 7.46 7.41 7.53 7.41 7.49 为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，你能把表中的两组数据分别用图形进行描述吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度. 正如图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 离差与方差 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由(x1)+(x2)+…+( xn)=x₁+x₂+…+xn=0可知，一组数据的离差和总是0,因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.叫作这n个数据关于平均数的离差平方和(sum of squares of deviations),记作“d 2”.把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差（variance），记作“s2”. 一般地，有n个数据x₁,x₂,…,xn,用表示它们的平均数，我们把 xi (i=1,2,…,n)叫作 xi 关于平均数的离差(deviation). 用方差刻画数据的离散程度 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. TIPS 根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差. 思考:用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足? 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某女子合唱组合的身高分别是164cm,166cm,159cm,160cm和166cm，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为163cm，新的组合身高的方差为___________． 解:平均数为： ， 离差平方和为： ； 当新增一人的身高为163cm时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是44cm2； 方差为： ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知一组数据的方差 ．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 解：∵方差的计算公式为 ， 其中n是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差 ， 可得数据个数n=4，这组数据的平均数=8， ∴这组数据的总和为 ． 理解并记住方差表达式 以及期中每个字母的含义 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 求一组数据方差的算式为： ， 对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 解：∵方差算式中共有5个平方项，∴n=5，∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ，∴B正确； 将平均数x=7代入 ： =4 ∴离差平方和为4，不是5∴C选项说法错误，符合题意． ，∴D选项正确； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 平均数 方差 甲 206 4.6 乙 217 4.6 丙 208 6.9 丁 217 9.6 跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示.根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择哪名同学参赛？ 解：∵乙和丁的平均数为217，大于甲206的和丙的208， ∴乙和丁的平均成绩更好， 又∵乙的方差为4.6，小于丁的方差9.6， ∴乙的发挥比丁更稳定， ∴应选择乙参加比赛． 解题技巧 一般来说，选择平均成绩更好，方差更小的选手. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株麦苗， 测得高度(单位：cm)如下： 哪种麦苗长势整齐？ 甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15； 乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ＝×(15＋15＋…＋15)＝13.9(cm)， s甲2＝×[(15－13.9)2＋(15－13.9)2＋…＋(15－13.9)2]＝2.09， ＝ ×(17＋14＋…＋11)＝14(cm)， s乙2＝×[(17－14)2＋(14－14)2＋…＋(11－14)2]＝2.8, 因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐． 解： 甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15； 乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 检查人员从两家的食品加工厂的原料包中各随机抽取15 袋，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为食品公司应该选购哪家加工厂的原料包？ 样本平均数相同， 估计这批原料包的平均质量相近． 甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 　解：样本数据的方差分别是：　　　 由 　　　可知，两家加工厂的原料包质量大致相等； 由 可知，甲加工厂的原料包质量更稳定，大小更均匀． 因此，食品公司应该选购甲加工厂生产的原料包． 甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 组别 A组 B组 平均数/cm 166 166 中位数/cm a 165 众数/cm 165 b 方差/cm m 13 为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队．指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（cm）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（cm）：166  172  164  168  164  160  164  170 数据整理： 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：a=_____，b=_____，m=_____，两组同学中身高更整齐的是_____组（填“A”或“B”）； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A组同学的身高（cm）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（cm）：166  172  164  168  164  160  164  170 (1)解：把表示A组同学的身高的数据从小到大排列为163，165，165，165，166，167，168，169，位于正中间的两个数为165，166， ∴中位数 表示B组同学的身高的数据中164出现的次数最多，∴众数b=164， ∵两组同学中身高的平均数相同，且A组同学中身高的方差小于B组同学中身高的方差，∴两组同学中身高更整齐的是A组； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是167cm,165cm．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． (2)解：人数增加后A组所有同学身高的平均数为 ， 所以人数增加后A组所有同学身高的平均数不变； 人数增加后A组所有同学身高的方差为 ， 所以人数增加后A组所有同学身高的方差发生变化，且方差变小． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 离差平方和 应用 方差 是刻画数据离散程度最常用的统计量，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. 方差 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在一次科技作品制作比赛中，八年级八件作品的成绩（单位：分）分别是8,10,9,8,7,9,9,8，对这组数据，下列说法正确的是（     ） A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8.5 D．方差是1 解：将数据从小到大排列得7,8,8,8,9,9,9,10，数据共8个， A、中位数为第4个和第5个数的平均数，即 ，选项说法错误； B、8和9都出现了3次，出现次数最多，则众数为8和9，选项说法错误； C、 ，选项说法正确； D、 =0.75≠1，选项说法错误． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（     ） A．该组数据的个数和方差 B．该组数据的个数和平均数 C．该组数据的方差和个数 D．该组数据的平均数和个数 解：方差的标准计算公式为 ， ∵公式中n表示该组数据的个数，表示该组数据的平均数， ∴对比题目给出的方差公式，可得2026对应公式中的n，是该组数据的个数，25对应公式中的，是该组数据的平均数，故选B符合题意． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某校在“阅读之星”的评选活动中，5位评委给小王同学的综合表现打分，分别是：9.2，9.3，8.9，9.3，9.1．如果每位评委的打分都提高0.1，那么比较前后两组数据，统计量一定不会发生改变的是（     ） A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数 解：∵ 每位评委的打分都提高0.1，即新数据的每个数都等于原数据对应数加0.1， ∴ 平均数会比原平均数增大0.1，发生改变，排除D； 将原数据从小到大排序得：8.9,9.1,9.2,9.3,9.3,得原中位数为9.2，原众数为9.3； 将新数据从小到大排序得：9.0,9.2,9.3,9.4,9.4,得新中位数为9.3，新众数为9.4，因此中位数和众数都发生改变，排除A、B； ∵ 方差反映数据的波动程度，每个数据同时增加相同常数，数据间的差距不变，波动程度不变 ∴ 方差不会发生改变． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：∵总人数为50人，表格中给出的其他成绩人数之和为44， ∴x+y=6． 该组数据共50个，按顺序排列后，中位数为第25和第26个数的平均数．从高分到低分累加人数，到7分时累计有24人，到6分时累计有人34，故第25和第26个数均为6，中位数为6，不随x， y的变化而变化； 众数：6分的人数为10人，x+y=6<10，所以众数始终是6分，不随x， y的变化而变化： 平均数：因为x，y的值会变化，所以平均数随x， y的变化而变化： 方差：因为x，y的值会变化，所以平均数也会改变，方差也随x， y的变化而变化． 成绩/分 人数/人 0 x 1 y 2 1 3 2 4 3 5 4 6 10 7 8 8 7 9 5 10 4 为了解某年级男生引体向上的成绩情况，随机抽取50名男生引体向上的成绩（满分10分）绘制成表如下： 关于引体向上的成绩统计量中，一定不随x，y的变化而变化的是（     ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 解：由题意得， ， ∴x=8， ∴这组数据的方差为 ． 2 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 解：乙的平均数为： ； 乙的方差为： ； ∵15>6.8, ∴， ∴成绩较为稳定的是乙． 乙 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 随着科学技术的发展，人工智能得到了广泛的应用．经市场调研，小明决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小明通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价得分，并整理、描述、分析如下： 对A，B两个人工智能产品的评价得分 得分统计表 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________，________2.45（填“>”或“<”）． (2)请写出小明选择A产品的两个理由． 产品 A B 平均数 a 7.5 中位数 8 b 众数 c 8 方差 2.45 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解： ， 根据A的评价得分，可知8分出现的次数最多，故c=8， 将B的得分进行排序：5、6、6、7、7、8、8、8、10、10， ∴ ， ． (2)选A的理由：A、B的平均数都为7.5分，在平均数相同的情况下，A的中位数8大于B的中位数7.5，且A的方差1.25小于B的方差2.45，A较为稳定，所以小明选择A产品． 详解 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图，其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表 甲、乙两个家庭月用水量折线图 (1)求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； (2)求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； 甲 乙 四月 7.2 五月 8.8 5 六月 8 6.4 平均数 8 5.8 方差 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：设乙家庭四月份的用水量为x吨， 由题意得， ， 解得x=6， ∴乙家庭四月份的用水量为6吨，如右图所示； (2)解： ， ∵ ， ∴ ， ∴乙家庭的月用水量波动小. 详解