精品解析：2026年吉林长春市第一0四中学校中考一模数学试卷

九年级第三次练习 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 全民阅读有助于提升国家和民族的精神力量．上海各区和高校都有开放型图书馆提供给市民，以下是其中四个图书馆标志，其图案（忽略文字部分）不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某文创馆设计的礼盒表面展开图，把它折叠成正方体后，则“欢”字对面的字是（ ） A. 期 B. 午 C. 端 D. 假 3. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，且点P到y轴的距离是4，到x轴的距离是5，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的图案是位似图形，原点O是位似中心，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点A的坐标是，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接，．则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 3 D. 27 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 化简： ______ 10. 截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（桩）总数达到2069.8万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的5倍还多4个，则该小区安装了______个充电桩（用含n的代数式表示）． 11. 如图，在数轴上表示的点可能是点______． 12. 点在直线上，则的大小关系是_____ 13. 共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 14. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 学校举办校园足球超级联赛，九年级准备从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选队员． （1）“挑选到甲同学”是______事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）： （2）若先随机选取1名同学担任前锋，再从剩下的同学中随机选取1名担任后卫，请用列表或画树状图的方法，求选出的两人中均没有甲同学的概率， 17. 如图，，点E，F分别在上，平分 交于点G，平分交于点H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当　　时，四边形是菱形． 18. 随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加，某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元．求A、B两型智能开关的单价各是多少元． 19. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） （1）在图1中作锐角，使点在格点上； （2）在图2中的线段上作点，使最短； （3）在图3中的线段上画出点，使的值最小． 20. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”、设置的选项有：A：偶尔、B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息、解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是______，请补全条形统计图： （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中______，选项“偶尔”对应的圆心角是______； （3）若该校共3000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 21. 小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点D的坐标为______； （2）求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； （3）当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 22. 【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． （1）如图①，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则______； 【数学理解】 （2）如图②，在中，已知是弦，、是半径，过点O作，交于点D、C，连结．求证：四边形是垂等四边形； 【问题解决】 （3）如图③，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（点A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，直接写出弦的长度． 23. 如图①，在平行四边形中，，，于点E，且．点P从点E出发，沿向终点C运动．设点P在该折线上运动的路径长为x（）．连结． （1）的长为______，当点P在上运动时，的最小值为______； （2）点F是的中点，如图②．请用无刻度的直尺和圆规过点F作的垂线．垂足为G（保留作图痕迹，不写作法）； （3）延长到点M，使得，以，为邻边作平行四边形． ①当点P在上，平行四边形的对角线所在的直线恰好经过点D时，如图③，求x的值； ②当点A落在平行四边形的边上或内部时，直接写出x的取值范围． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次练习 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 全民阅读有助于提升国家和民族的精神力量．上海各区和高校都有开放型图书馆提供给市民，以下是其中四个图书馆标志，其图案（忽略文字部分）不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 2. 如图是某文创馆设计的礼盒表面展开图，把它折叠成正方体后，则“欢”字对面的字是（ ） A. 期 B. 午 C. 端 D. 假 【答案】A 【解析】 【详解】解：“欢”字对面的字是“期”． 3. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，且点P到y轴的距离是4，到x轴的距离是5，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点P在第二象限判断横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的含义求出点P的坐标． 【详解】解：∵点P在第二象限内， ∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∵点P到y轴的距离是4，到x轴的距离是5， ∴点P横坐标的绝对值为4，纵坐标的绝对值为5， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， 即点P的坐标为． 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，然后解不等式即可． 【详解】解∶∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且． 5. 如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的图案是位似图形，原点O是位似中心，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点A的坐标是，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵两个大小不一的图案是位似图形，， ∴两个大小不一图案的相似比为， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标为，即． 6. 如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解； 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接，．则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 3 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】设点坐标为，根据反比例函数的几何意义得，表示出矩形及、的面积，利用面积和差关系求解． 【详解】解：设点坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 轴，轴， 四边形为矩形，，，，， ， ，， ，， ，， ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 化简： ______ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（桩）总数达到2069.8万个．某小区2026年安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的5倍还多4个，则该小区安装了______个充电桩（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先用含的代数式表示出快充桩的数量，再将慢充桩和快充桩的数量相加即可得出该小区安装充电桩的总数． 【详解】解：由题意可知，慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，即快充桩有个， 则该小区安装的充电桩总数为：个． 11. 如图，在数轴上表示的点可能是点______． 【答案】 【解析】 【分析】利用夹逼法估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，结合数轴上各点的位置即可求解． 【详解】解：∵，  ∴， 即， 观察数轴可知，点P表示的数在2和3之间，点Q表示的数在3和4之间，点M表示的数在4和5之间，点N表示的数在5和6之间 ， ∴在数轴上表示的点可能是点M ． 12. 点在直线上，则的大小关系是_____ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小， 结合增减性判断纵坐标的大小关系. 【详解】解：直线是一次函数，其中一次项系数， 随的增大而减小. 点，的横坐标满足. . 13. 共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 【答案】65 【解析】 【分析】结合两直线平行，同旁内角互补得，又因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形， 故①②正确， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴，故⑤正确， 如图1中，当M与C重合时， 设．则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确， 如图2中， 当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先对括号内的式子通分计算，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简结果，代入a的取值即可求出最终值； 【详解】解：        ， 当时，原式． 16. 学校举办校园足球超级联赛，九年级准备从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选队员． （1）“挑选到甲同学”是______事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）： （2）若先随机选取1名同学担任前锋，再从剩下的同学中随机选取1名担任后卫，请用列表或画树状图的方法，求选出的两人中均没有甲同学的概率， 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类解答即可； （2）先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的两人中均没有甲同学的情况数，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵甲、乙、丙、丁四名同学， ∴“挑选到甲同学”是随机事件； 【小问2详解】 解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，一共有12种等可能的结果，其中选出两人中均没有甲同学的有6种． ∴P（选出两人中均没有甲同学）． 17. 如图，，点E，F分别在上，平分 交于点G，平分交于点H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当　　时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，因为，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，得，而，所以，则，当∠AEF=120°，则，可证明是等边三角形，所以，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【小问1详解】 证明：， ， 平分平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：当 时，四边形是菱形， 理由：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故答案为：120． 18. 随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加，某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元．求A、B两型智能开关的单价各是多少元． 【答案】A型智能开关单价为75元，B型智能开关单价为30元． 【解析】 【分析】本题为二元一次方程组的实际应用题，解题思路为设出A、B两型智能开关的单价，根据题干给出的两种购买方案的总花费列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种开关的单价． 【详解】解：设A型智能开关单价为x元，B型智能开关单价为y元．根据题意可得 解得， 答：A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元． 19. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） （1）在图1中作锐角，使点在格点上； （2）在图2中的线段上作点，使最短； （3）在图3中的线段上画出点，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图1中，即为所求（答案不唯一）， （2） 解∶ 如图2中，线段即为所求， （3） 解：如图3中，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据锐角三角形的定义画出图形（答案不唯一）； （2）取格点，连接，延长交一点，线段即为所求； （3）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”、设置的选项有：A：偶尔、B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息、解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是______，请补全条形统计图： （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中______，选项“偶尔”对应的圆心角是______； （3）若该校共3000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）60；补全条形统计图见详解 （2）25； （3）1050名 【解析】 【分析】（1）用“偶尔”的人数除以其人数占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出其占比，用乘以“偶尔”的人数占比可求出对应的圆心角； （3）用 3000 乘以样本中“一直”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ， “偶尔”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有1050名． 21. 小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点D的坐标为______； （2）求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； （3）当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 【答案】（1）200；100； （2） （3）4分钟或分钟 【解析】 【分析】（1）从图象中得出小明跑步的速度，步行的速度；从图象中得出家与图书馆之间的路程为6000米 ，即可得出点的坐标； （2）利用待定系数法可求解； （3）分三种情况讨论，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：由图象可得， 小明跑步的速度为：（米／分）， 步行的速度为：（米／分）， 点的横坐标为：， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：设爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即爸爸离家的路程关于的函数表达式是； 【小问3详解】 解：设经过分钟后，两人相距4000 米， 当时，， 解得：， 当时，小明步行：， 则， 解得：（超范围）， 当时，爸爸已到家：，， 即， 解得，符合范围； 答：经过4分钟或25分钟后，两人相距4000米． 22. 【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． （1）如图①，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则______； 【数学理解】 （2）如图②，在中，已知是弦，、是半径，过点O作，交于点D、C，连结．求证：四边形是垂等四边形； 【问题解决】 （3）如图③，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（点A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，直接写出弦的长度． 【答案】（1）5 （2）见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可； （2）连接并相交于点，证明，得到，证明，即可得到结果； （3）连接，根据已知条件求出，再根据相似三角形的性质列式计算即可； 【小问1详解】 解：由垂等四边形的定义得， 又 ∵， ， ． 【小问2详解】 证明：如图 1，连接并相交于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ∴四边形是垂等四边形． 【小问3详解】 解：连接，由（2）可得等腰， ∵的半径为， ∴， ， 作， ∵点E到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则，即， 解得：（如图2），（如图3）， 或， 作，连接， ∴， ， ， 或， （如图2）或（如图3）． 23. 如图①，在平行四边形中，，，于点E，且．点P从点E出发，沿向终点C运动．设点P在该折线上运动的路径长为x（）．连结． （1）的长为______，当点P在上运动时，的最小值为______； （2）点F是的中点，如图②．请用无刻度的直尺和圆规过点F作的垂线．垂足为G（保留作图痕迹，不写作法）； （3）延长到点M，使得，以，为邻边作平行四边形． ①当点P在上，平行四边形的对角线所在的直线恰好经过点D时，如图③，求x的值； ②当点A落在平行四边形的边上或内部时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）解：所作图形如图． （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的定义求得，当时，取得最小值，利用等积法即可求解； （2）利用尺规作图的方法作出图形即可； （3）①分别用表示出和的值，过作于，设与直线交于，证明，求出，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； ②分两种情况讨论，当在上时，当时，点落在的边上，即可求出的范围；当在上时，当且时，点落在的边上或内部，进而求出的范围即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 当时，取得最小值， ，即， ，即的最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①落在对角线上，如图， 过作于，设与直线交于， 由题意得， ， ， ， ∵在中， ， ， ， ， ， ∵平行四边形中，， ∴， ， ∵，， ∴, ∴， ∴，， ∵， ， ， ， ， ， 解得； ②当在上时，如图， ， ， 当时，点落在的边上， ∵， ， 解得：， ； 当在上，则时，如图，过作于，设与直线交于， 根据（3）①可得， 当且时，点落在的边上或内部， ， 解得：， 则 综上所述，当时，点A落在的边上或内部． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $