精品解析：2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考一模数学试卷

初三年级数学学科综合练习 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（　　） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，由减法法则得，即可求解；掌握有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：D． 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，确定的整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：万， ， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，同类项，熟记幂的运算法则和乘法公式是解答本题的关键．分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，同类项合并，完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、和不是同类项，不能进行减法运算，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 4. 小亮学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为m，n，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，由图得，即可求解；能得出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设▲为， 由甲、乙图得：， 解得：， 故选：C． 5. 如图，直线l与正五边形的边、相交于点M、N，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边的定义，多边形的内角和及正多边的定义得，由四边形的内角和为，即可求解；理解正多边的定义，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 6. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知：，也垂直于水平面， ∵水杯底面与水平面的夹角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 7. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由尺规作图可知：平分， ∴， ∴； 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、在坐标轴上，且，顶点、在反比例函数的图象上，在的延长线上取一点，使，过点作交轴于点，当时，的值为（　　） A. 8 B. 12 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得，然后可得，则有，根据是等腰直角三角形可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点D作于点H，如图示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 多项式的次数是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的次数的概念，确定多项式中各单项式的次数是解答此题的关键．根据多项式次数的定义进行求解即可． 【详解】解：多项式中，的次数是2，的次数是3，的次数是0， 多项式的次数是3． 故答案为：3． 10. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解． 【详解】解： ； 故答案为． 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 12. 将直线：向右平移3个单位得到直线，直线对应的函数关系式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线的平移，可得直线经过，此点向右平移3个单位得，由待定系数法，即可求解；掌握直线的平移的前后的值不变是解题的关键． 【详解】解：当时，， 直线经过， 此点向右平移3个单位得， 设直线对应的函数关系式为：， ， 解得：， 直线对应的函数关系式为； 故答案为：． 13. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；由题意易得重物上升的高度即为定滑轮所转动的弧长，进而可根据弧长公式进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴重物上升了； 故答案为． 14. 如图，分别以的三边为边向外作三个正方形、、，过作的垂线，垂足为，分别交、于点和点，记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，下列结论：①当时，；②当时，为钝角；③；④当时，．其中正确的是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可判断①②；利用全等三角形的性质与判定可判断③④，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形、、是正方形， ∴， ∴， ①当时，则根据勾股定理可得：， ∵， ∴；故①正确； ②假设是钝角三角形，过点A作于点J，如图示： 设，则有： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，与②题干矛盾，故不正确； ③分别过点E、A作，垂足分别为R、P，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④当时，则有， ∵过作的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有①③④； 故答案为①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号内的分式，通分相加，然后把除法转化为乘法，约分，即可化简式子，最后把代入计算即可，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 16. 学校为培养学生的艺术素养，在学期初专门开设了三门美术类校本课程：A（素描）、B（丙烯画）、C（橡皮章）．小欣和小宇两位同学决定从这三门课程中各自随机选择一门进行学习（每门课程被选中的可能性相同）．请通过画树状图（或列表）的方法，求出他们恰好选择了同一门美术课程的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能结果，他们恰好选择了同一门美术课程的结果有种， ， 答：他们恰好选择了同一门美术课程的概率为． 17. 我校为庆祝国际数学日举办了“跑”活动，老师和学生一同参与跑步，活动规定每人需跑完两圈（共480米）．活动开始后，小明和王老师同时从起点出发，小明每秒比王老师多跑1米，当小明跑完全程时，王老师距离终点还有120米，求王老师的跑步速度． 【答案】王老师的跑步速度为每秒米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：小明跑480米所用的时间王老师跑米所用的时间，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设王老师的跑步速度为每秒米，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 答：王老师的跑步速度为每秒米． 18. 如图，在中，，平分交于点，过点分别作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则长为___________． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、菱形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得四边形是平行四边形，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可知：四边形是菱形，则有，然后可得，则可求出，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，由勾股定理得：， 即， ∴（负根舍去）， ∴， ∴， ∴． 19. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图表，已知乙学校测试班级有10人的成绩是级． 学校 平均数 中位数 众数 甲校测试班级 9 10 乙校测试班级 9 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将甲校测试班级的成绩统计图补充完整； （2） __________， ___________， ___________； （3）从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，若新数据的中位数大于原甲校数据的中位数，则的最小值为___________． 【答案】（1）补充的统计图如下图： （2）32，9，9 （3）5 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、条形统计图与扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）先求得乙校测试班级总人数，从而得到甲校班级人数，从而算得等级人数，然后补充统计图即可； （2）根据甲校班级人数为25人，可知中位数为第13人成绩，从而求得中位数， 由扇形统计图可知，乙校等级人数占比最多，从而求得众数，并求得； （3）甲校原来的中位数为9，那么需要从乙校最少抽取5个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲校数据的中位数． 【小问1详解】 解：已知乙学校测试班级有10人的成绩是级，占比， 那么乙学校抽查班级人数为：（人） 因为甲、乙两校被抽查班级人数相同，所以甲学校被抽查班级总人数为25人， 等级人数为：（人） 图略； 【小问2详解】 解：32，9，9，理由如下： 甲校班级人数为25人，那么成绩按低到高排列后，中位数为第13人成绩，所以中位数为：9； 由扇形统计图可知，乙校等级人数占比最多，那么乙校测试班级众数为9； ，故； 故答案为：32，9，9； 【小问3详解】 解：5，理由如下： 甲校班级分数如下：10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，8，8，8，8，7，甲校原来的中位数为9，从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，那么需要从乙校最少抽取个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲校数据的中位数． 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为，符合题意； 故答案为：5． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①中点、均为格点；图②中点是格点，点在格线上；图③中，点、、均是格点，点、分别为线段、与格线的交点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中作出线段的中点． 【答案】如图①，连接对角线，， 交于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 如图②，连接，交中间竖格线于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 如图③，连接，，交于点，连接并延长交于点，交于点，则点即为线段的中点（作法不唯一）， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，矩形的性质，三角形的中线，无刻度的直尺作图，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．图①中，利用矩形对角线互相平分即可作图：连接对角线，， 交于点；图②中，利用平行线分线段成比例即可作图：连接，交中间竖格线于点；图③中，利用相似可知只需作出中点，再与点连接即可交于点，再由连接，，交于点，连接并延长交于点，即为线段的中点． 【详解】解：如图①，连接对角线，， 交于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 理由如下： 由四边形是矩形， 则， 则点即为线段的中点； 如图②，连接，交中间竖格线于点，点即为线段的中点（作法不唯一）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， 则点即为线段的中点； 如图③，连接，，交于点，连接并延长交于点，交于点，则点即为线段的中点（作法不唯一）， 理由如下： 由矩形对角线性质可得为中点， ∴为中线， 由，， ∴， ∴， 即为中点，为中线， ∴为中线， ∴， ∵由， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 则点即为线段的中点． 21. 某校航模社团进行无人机表演训练，甲无人机以米/秒的速度从地面起飞，同时，乙无人机以米/秒的速度从距离地面21米的位置起飞，6秒时甲无人机到达指定高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行，当甲、乙无人机同时到达距离地面72米高度时，进行了一段联合表演，表演结束后同时以6米/秒的速度返回地面．甲、乙两架无人机距离地面的高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数图象如图所示． （1）___________，___________，___________； （2）求线段所在直线的函数关系式； （3）当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，直接写出的值． 【答案】（1）6，3，57 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、路程、时间之间的关系是解题的关键． （1）甲秒钟飞行了36米，乙秒飞行了米，可求得甲、乙的速度，再求得表演结束后返回地面需要的时间，得到； （2）根据点到点的飞行速度与秒的飞行速度相同，先求出点的坐标，再利用待定系数法求线段所在直线的函数解析式即可； （3）先求得那么秒甲的表达式为：，再秒乙的表达式为，分别求出在秒， 秒，秒，由甲、乙两函数差为18，可列出方程，最后算得答案． 【小问1详解】 解：6，3，57，理由如下： 甲秒钟飞行了36米，那么甲的速度为：（米/秒），故； 乙秒飞行了（米），那么乙的速度为：（米/秒），故； 表演结束后同时以6米/秒的速度返回地面，那么需要的时间为：（秒），所以（秒），故； 故答案为：6，3，57； 【小问2详解】 解：观察图象可知，点到点，甲飞行了（米）， 根据题意，点到点的飞行速度与秒的飞行速度相同，那么从点飞到点需要的时间为（秒）， 点横坐标为， ， 设直线为，代入，，得到 ， 解得， ； 线段所在直线的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：设秒乙的表达式为：，代入和，得到 ，解得， ； 设秒甲的表达式为：，代入， 可得，解得， 那么秒甲的表达式为：， 当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：， 当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：， 当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：， 答：当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，或． 22. 【问题呈现】我们在学习完“圆”这一章内容后发现有一些数学问题，如果添加辅助圆，运用圆的有关知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，点是外一点，，求的度数．根据到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，以点为圆心，长为半径构造辅助圆，利用圆周角定理，从而很容易得到． 【问题解决】如图2，在四边形中，点是边的中点，连结、，若，，，求的度数． 【问题拓展】如图3，在四边形中，，，，直接写出线段的长． 【答案】[问题呈现]35；[问题解决] ；[问题拓展] 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： [问题呈现]判断点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可； [问题解决]根据直角三角形斜边上的中线性质求出，则可判断点A、B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上，证明是等边三角形，得出，然后根据圆周角定理求解即可； [问题拓展] 过C作于G，过A作于N，过D作于M，在和中，根据勾股定理可得出，求出，进而求出，可证明四边形、都是矩形，，，在中，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：[问题呈现] 如图， ∵， ∴点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， 故答案为：35； [问题解决] 如图，连接， ∵，，点O是的中点， ∴， 又， ∴点A、B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； [问题拓展] 如图，过C作于G，过A作于N，过D作于M， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴四边形、都是矩形， ∴，， ∴ ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，当点不与，重合时，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）直接写出线段的长___________； （2）当时，求正方形的面积； （3）当正方形与重叠部分是四边形且为轴对称图形时，直接写出的取值范围； （4）当与的边所在直线有交点时，记交点为，连结；当将正方形的面积分为两部分时，直接写出的长．（写出两个即可） 【答案】（1）10 （2） （3）或． （4）2或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）作于，证明求出根据勾股定理求出的值即可求出正方形的面积； （3）设交于点，根据题意可知，当正方形与重叠部分是四边形且为轴对称图形时，当重叠部分是正方形或时，四边形是轴对称图形； （4）当是中点时将正方形的面积分为两部，分两种情况讨论：过的中点；过的中点；的延长线过于点． 【小问1详解】 解：，，， ∴. 故答案为：10； 【小问2详解】 解：如图，作于H， ∵点是边的中点，， ∴. ∵，， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积； 【小问3详解】 当点在上时，正方形与重叠部分是四边形是正方形且为轴对称图形，如图， ， ， ， ， ， 当点在上时，正方形与重叠部分是四边形是正方形且为轴对称图形，如图， ， ， ， ， 若点从向运动，在这一运动过程中，从点在上到点在上这个过程中，正方形与重叠部分是四边形都是正方形且为轴对称图形， ， 设交于点，当时， ， ， 在和中， ， ， 四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形， 由得， ， ， 综上可知， 或． 【小问4详解】 分情况讨论： 当过的中点时，将正方形的面积分为两部分， 过点作于点，在中，， 在中，， ， 设，则， ， ， ， ，即：， ， ， 当过的中点时，将正方形的面积分为两部分， 如图，作矩形，使点在上，过点作于点， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 中，， ， 又， ， ， ， ， 令，则，， ，， ， 解得，； 当的延长线过的中点时，将正方形的面积分为两部分，则， 过点于点， ， ， ， ， ，， ， 设， ， ， ， 解得，， ， ， 综上所述，或6或8． 【点睛】本题综合考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的图形的性质，正方形的性质，三角函数及分类讨论思想，解题的关键是灵活构造辅助线，数形结合简化问题． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）在该抛物线上、两点之间的部分任取一点，在、两点之间的部分任取一点（点、均不与端点重合），若点的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________； （3）过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 当的面积是的面积的倍时，求的值； 连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2）； （3）；当或时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）把点和代入二次函数解析式进行求解即可； （）由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，设点，由题意可知：当时，总有，然后由，可得点离对称轴更近； （）由题意可知：，则有，，，然后可建立方程进行求解；由题意可分当时，当时，当时，然后画出函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线， 设点，由题意可知：当时，总有， 如图， 要想保证，则，即点离对称轴更近， ∴， 解得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可知： ， ∴，， ， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 解得：； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当时，点在四边形内部，如图所示： 符合题意； 当时，点在四边形外部，如图所示： 不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示： 符合题意； 综上所述：当或时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科综合练习 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（　　） A. 2 B. C. 8 D. 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 4. 小亮学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为m，n，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线l与正五边形的边、相交于点M、N，则的大小为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、在坐标轴上，且，顶点、在反比例函数的图象上，在的延长线上取一点，使，过点作交轴于点，当时，的值为（　　） A. 8 B. 12 C. D. 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 多项式的次数是___________． 10. 计算：___________． 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 12. 将直线：向右平移3个单位得到直线，直线对应的函数关系式为___________． 13. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________cm．（结果保留） 14. 如图，分别以 的三边为边向外作三个正方形、、，过作的垂线，垂足为，分别交、于点和点，记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，下列结论：①当时，；②当时，为钝角；③；④当时，．其中正确的是___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 学校为培养学生的艺术素养，在学期初专门开设了三门美术类校本课程：A（素描）、B（丙烯画）、C（橡皮章）．小欣和小宇两位同学决定从这三门课程中各自随机选择一门进行学习（每门课程被选中的可能性相同）．请通过画树状图（或列表）的方法，求出他们恰好选择了同一门美术课程的概率． 17. 我校为庆祝国际数学日举办了“跑”活动，老师和学生一同参与跑步，活动规定每人需跑完两圈（共480米）．活动开始后，小明和王老师同时从起点出发，小明每秒比王老师多跑1米，当小明跑完全程时，王老师距离终点还有120米，求王老师的跑步速度． 18. 如图，在中，，平分交于点，过点分别作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则长为___________． 19. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图表，已知乙学校测试班级有10人的成绩是级． 学校 平均数 中位数 众数 甲校测试班级 9 10 乙校测试班级 9 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将甲校测试班级的成绩统计图补充完整； （2） __________， ___________， ___________； （3）从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，若新数据的中位数大于原甲校数据的中位数，则的最小值为___________． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①中点、均为格点；图②中点是格点，点在格线上；图③中，点、、均是格点，点、分别为线段、与格线的交点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中作出线段的中点． 21. 某校航模社团进行无人机表演训练，甲无人机以米/秒的速度从地面起飞，同时，乙无人机以米/秒的速度从距离地面21米的位置起飞，6秒时甲无人机到达指定高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行，当甲、乙无人机同时到达距离地面72米高度时，进行了一段联合表演，表演结束后同时以6米/秒的速度返回地面．甲、乙两架无人机距离地面的高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数图象如图所示． （1）___________，___________，___________； （2）求线段所在直线的函数关系式； （3）当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，直接写出的值． 22. 【问题呈现】我们在学习完“圆”这一章内容后发现有一些数学问题，如果添加辅助圆，运用圆的有关知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在 中，，，点是 外一点，，求的度数．根据到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，以点为圆心，长为半径构造辅助圆，利用圆周角定理，从而很容易得到． 【问题解决】如图2，在四边形中，点是边的中点，连结、，若，，，求的度数． 【问题拓展】如图3，在四边形中，，，，直接写出线段的长． 23. 如图，在 中，，，，点是边的中点，点是边上一点，当点不与，重合时，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）直接写出线段的长___________； （2）当时，求正方形的面积； （3）当正方形与 重叠部分是四边形且为轴对称图形时，直接写出的取值范围； （4）当与 的边所在直线有交点时，记交点为，连结；当将正方形的面积分为两部分时，直接写出的长．（写出两个即可） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于点和．点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）在该抛物线上、两点之间的部分任取一点，在、两点之间的部分任取一点（点、均不与端点重合），若点的纵坐标总大于点的纵坐标，则的取值范围是___________； （3）过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 当的面积是的面积的倍时，求的值； 连结、，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $