宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试复习卷（三）数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年高二期末数学复习卷，涵盖集合、函数、概率、统计等模块，解答题以线性回归分析（数据意识）、病毒治疗概率应用（模型观念）为情境，体现数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、二项式定理、线性回归系数|基础概念辨析，如第3题完全负相关系数判断| |多选题|3/18|残差分析、正态分布、函数单调性|选项分层，如第9题考查统计基本概念辨析| |填空题|3/15|导数几何意义、函数奇偶性与周期|小综合，如第14题奇函数周期性应用| |解答题|5/77|线性回归（第15题）、函数证明（第16题）、概率应用（第19题）|情境真实，如第19题病毒治疗方案决策，考查模型构建与数据分析|

2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（三） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．在的展开式中的二项式系数之和为32，则“”是“的系数为10”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 5．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（    ） A． B． C． D． 6．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（     ） A．144 B．114 C．94 D．78 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法正确的是（   ） A．残差是预测值减去观测值 B．由列联表计算得到卡方值越大，则判断两个变量有关的把握就越大 C．残差的带状区域越窄，拟合效果越好 D．相关系数r越大，两个变量的相关性越强 10．已知，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数的图象在处的切线过点，则_____． 13．若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，________． 14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 （脂肪含量/\%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 (1)计算样本相关系数（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若关于的线性回归方程为，求关于的线性回归方程（精确到0.01）.并回答以下问题： （i）计算当年龄为60岁时的残差； （ii）计算决定系数，并说明线性回归方程的拟合效果. 附：参考数据：. 参考公式：样本相关系数，在经验回归方程中，. 16．(本小题15分) 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 17．(本小题15分) 在锐角三角形ABC中，，，分别为内角，，的对边，满足． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 18．(本小题17分) 已知函数，（为自然对数的底数，）．若，为方程的两个实数根，其中． (1)求实数的取值范围； (2)证明：为定值； (3)若，证明：． 19．(本小题17分) 现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； (2)对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立． （i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率； （ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短? 试卷第4页，共4页 高二期末复习数学试卷 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（三） 数学试卷答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B A D B C B BC AC ABD 1．A 解：分式不等式等价于，解得，又因为，因此，所以. 2．A 解：由题意得，解得， 二项式的展开式通项为，其中， 令，得，则项的系数为. 充分性验证：当时，系数为，充分性成立； 必要性验证：若的系数为10，则， 解得，无法推出，必要性不成立； 故“”是“的系数为10”的充分不必要条件. 3．B 解：所有样本点都在直线上，是完全线性相关. 斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数. 4．A 解：因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 5．D 解：设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，. 由贝叶斯公式有. 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 6．B 解：将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法， 所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法. 7．C 解：，，则. 8．B 解：因为，，所以 ，所以，又， 所以，所以． 9．BC 解：A，残差 = ，不是预测值减观测值，A错误. B，（卡方）数值越大，偏离独立假设程度越高， 两个变量有关联的置信度、把握程度越大，B正确. C，残差带状区域越窄，残差波动越小，模型对原始数据的拟合效果越好，C正确. D，相关系数越接近，相关性越强； 仅数值大（如是很大的负数），代表强负相关，只说越大越强表述错误，D错误. 10．AC 解：A选项，由可得，所以A选项正确； B选项，由可得，所以B选项错误； C选项，利用正态曲线的对称性可知，， 故 ，所以C选项正确； D选项，利用正态曲线的对称性可知，， 而，故，所以D选项错误. 11．ABD 解：函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 12． 解：由，则，且，， 则在处的切线方程为，即， 又切线过点，则，解得． 13．4 解：是偶函数，故， 则，即， ， ， ，， 由于对恒成立，故， 所以，，由于，故的最小正周期为， 故当时，取得最小值，最小值为，此时最大，满足要求， 故， 所以. 14． 解：由题设可得， 由是奇函数，所以， 用代替，则，故，所以，即是周期为6的函数，所以. 15． 解：（1）， 1分 ， 2分 3分 ， 4分 由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强； 5分 （2）因为回归方程为，即， 6分 所以； 7分 所以y关于x的线性回归方程为， 8分 （i）将代入线性回归方程得， 9分 年龄为60岁时的残差； 10分 （ii）， 12分 因为决定系数，所以线性回归方程的拟合效果很好. 13分 16． 解：（1）函数的定义域为，求导可得， 1分 令，解得，即， 2分 当时，，在上单调递减； 3分 当时，，在上单调递增， 4分 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 5分 (2)由（1）知， 6分 依题意，即证，即证， 7分 设，求导可得， 8分 令，解得， 10分 所以当时，，单调递减； 11分 当时，，在上单调递增， 12分 所以是的极小值点， 13分 因为，， 所以当时，， 14分 故当时，． 15分 17． 解：（1）在三角形ABC中，因为， 由正弦定理得 2分 ， 3分 即，而，则，又， 5分 所以． 6分 （2）由（1）得，由锐角三角形ABC，得，解得， 9分 因此 11分 ， 12分 由，得，即， 14分 所以的范围是． 15分 18． 解：（1）由，可得， 1分 令，则方程在上有两个不相等的实数根， 2分 即函数与在上有两个不同的交点， 3分 根据对勾函数的性质可知，即. 4分 (2)由（1）可知，和为方程的两个不相等的实数根， 即方程的两个不相等的实数根， 5分 由韦达定理可知，，即， 6分 所以 7分 ， 8分 因此为定值. 9分 (3)由（2）可知，， 10分 记，则，，且， 11分 所以， 12分 易知函数在上单调递增， 13分 所以要证明，即证明，等价于证明， 即证明， 15分 因为，所以，即， 16分 所以. 17分 19． 解：（1）设使用治疗方案C治愈疾病为事件，使用治疗C方案能杀灭致病菌为事件， 1分 则. 2分 因为事件发生则事件必发生，故, 3分 . 4分 （2）（i）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率，则有，． 6分 （ii）设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为，则， 8分 ， 9分 所以      10分 ． 11分 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为 12分 同理得， 13分 ， 14分 则有 15分 ， 16分 从而有，故需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短． 17分 答案第8页，共9页 高二期末复习数学试卷答案 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $