宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试复习卷（一）数学试卷

**基本信息** 本卷聚焦高二数学核心知识，通过《最强大脑》调查、足球点球比赛等真实情境，融合函数、概率、统计、导数等模块，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、统计、导数|散点图分析结合相关性判断，基础概念与逻辑推理并重| |多选题|3/18|函数极值、二项式定理|结合“谢尔宾斯基三角形”考二项式系数性质，多维度辨析| |填空题|3/15|切线方程、概率|切线问题融合导数与最值求解，礼盒礼物分配考离散型随机变量| |解答题|5/77|统计案例、概率分布、导数应用|《最强大脑》调查考独立性检验与分布列，足球点球赛综合概率与期望计算，体现真实情境下的综合应用能力|

2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（一） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．，，则（    ） A． B． C． D． 2．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 3．命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8 5．已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 8．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．某工厂生产一种产品，其成本（万元）与产品x（百件）满足，收入，利润，则下列结论错误的是（    ） A．在处取得极大值 B．在上的最小值为10 C．当时，边际利润 D．存在使得 10．已知函数（），则下列说法正确的是（     ） A．若，则在上无极值点 B．若，，则在上单调递减 C．当，时，若关于x的方程有三个实根，则实数 D．当，时，若在上最大值为，则实数 11．将按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则下列说法正确的是（    ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第n（）行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆少一个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求 的最大值为______. 13．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 14．把4个不同的礼物等可能地放入编号为1，2，3，4的四个礼盒中，表示有礼物的礼盒数量，记放入1号，2号，3号，4号礼盒中的礼物的个数分别为，，，．设函数，记，则时的概率_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4． (1)请将上述列联表补充完整； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； (3)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题15分） 在二项式，的展开式中，若第4项的系数与倒数第4项的系数之比为． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若将展开式中所有的项随机排成一列，求有理项不相邻的概率P和有理项的系数和Q． 17．（本小题15分） 已知，在处的切线方程为． (1)求、的值； (2)判断的零点个数． 18．（本小题17分） 甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立． (1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； (2)求甲、乙最终平局的概率； (3)记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 19．（本小题17分） 已知函数． (1)若为单调递增函数，求实数a的取值范围； (2)设、为的两个极值点，证明：． 高二期末复习数学试卷 第2页，共4页 高二期末复习数学试卷 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（一） 数学试卷答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A B D B D B ABD ACD ABC 1．B 【解：】因为，， 故在中不在中的元素为；故． 2．C 【解：】对于BD，散点图分布总体是斜向上，故BD中对应的两个变量之间是正相关； 对于AC，散点图分布总体是斜向下，但C中散点分布较为集中， 而A中散点分布较为分散，故C中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 3．A 【解：】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立； 反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立，所以命题是命题成立的充分不必要条件. 4．B 【解：】因为，，所以. 由对称性可知. 5．D 【解：】图像如图． 设 则．所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ．所以时，． 6．B 【解：】由题可知，，， ，， 则 7．D 【解：】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 8．B 【解：】由，得，即，所以函数关于直线对称，所以，且. 又，所以，且，. 所以， 所以是周期为的函数，所以. 9．ABD 【解：】由题意可知利润函数， 对其求导，可得，令，解得或.故当时，，单调递增； 当或时，，单调递减， 所以在处取得极小值，故A错误； 所以在处取得极大值，故当时，边际利润，故C正确； 因为， ，， 所以在上的最大值为10，最小值为6，故B错误； 因为在上的最大值是在极大值点处取得，且， 且当时，，所以在时的最大值为10， 故不存在使得，故D错误. 10．ACD 【解：】因为，所以，判别式为，对A，，则，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点， 当时，恒成立，函数在上单调递减，无极值点，故A正确； 对B，当时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 又，所以在上恒成立，故在上单调递增，故B错误；对C，当时，，， 当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以时，有极大值为，当时，有极小值为0， 当时，；当时，，如图所示， 所以关于的方程有三个实根，则，故C正确； 对D，由C选项知，有极大值为，所以方程有一解， 则有， 设另外两解为，则， 整理得， 所以，， 解方程，解得或， 所以由函数的单调性及极值可知，若在区间上最大值为，则，故D正确. 11．ABC 【解：】第n行的所有数字之和为，A正确， ，所以，B正确， 通过观察规律归纳可知：第0，1，3，7，15，…行数字都是奇数， 因此可以归纳出第（，2，…）行全行都是奇数，故都为黑色圆，C正确， 由C可知第127行全行为奇数，则由奇数+偶数=奇数，结合， 则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D错误. 12． 【解：】因为，（当且仅当时取等号），所以(*)，要想此式为定值则分子分母对应系数成比例，即，解得， 将代入(*)式，得：，（当且仅当时取等号）.故 的最大值为. 13． 【解：】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 14．/ 【解：】所有可能数为种； 将从四个礼盒中选出三个，将四个礼物分成2个，1个，1个三组， 将三组放入选出的三个礼盒中，则时共有种不同可能； 故. 15． 【解：】（1） 3分 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 （2）零假设喜欢《最强大脑》与性别无关. 4分 . 6分 故有充分的证据认为不成立，即依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关. 7分 （3）由题意，可取. 8分 , 9分 , 10分 ， 11分 的分布列如下： 12分 0 1 2 . 13分 16． 【解：】（1）二项展开式的通项为：． 2分 由题可得：解得， 4分 所以当二项式系数最大时，或. 5分 所以，；故二项式系数最大的项分别为和． 6分 （2）因为，， 7分 当时，为有理项，即有理项有4项， 9分 故有理项不相邻的概率为：． 12分 有理项系数和. 15分 17． 【解：】（1）由，求导得. 1分 ，切线斜率为，则. 2分 ，切点代入切线得. 3分 故，. 4分 （2），. 5分 设，. 7分 当时，，单调递减， 8分 当时，，单调递增， 9分 所以， 11分 所以恒成立，在上单调递增. 12分 又，， 13分 所以使得 14分 故只有一个零点． 15分 18． 【解：】（1）记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为， 1分 由两人的进球数相同可以是或， 2分 则. 3分 （2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为，． 5分 因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况： ①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为． 6分 ②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球，其概率为． 8分 ③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2轮比对方多进一个球，其概率为0.0064. 10分 故甲、乙两人最终平局的概率为. 11分 （3）的所有可能取值为2，3，4． 12分 ， 13分 ， 14分 . 15分 的分布列为 16分 2 3 4 0.17 0.17 0.66 . 17分 19． 【解：】（1）定义域为，求导得， 已知为单调递增函数，则在上恒成立， 1分 两边同时乘以正数得，即对任意恒成立， 令，求导得， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 3分 故在处取得最小值，故，即实数a的取值范围为． 4分 (2)由（1）知，是的极值点， 即，由，则，故， 5分 ， ， ， 6分 已知三次方程有两个正根，设第三个根是， 则，7分 故，故，则， 9分 令，则，， 由基本不等式，， 代入得，化简得， ， 10分 ， 11分 令， 求导得， 12分 令，求导得， 13分 当时， ， 14分 故在上单调递减，故 ， 15分 故 ，则在上单调递减， ， 16分 即，命题得证． 17分 答案 第10页，共10页 答案 第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $