专题02 勾股定理4大考点（期末真题汇编，新疆专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 汇集新疆多地区期末真题，系统覆盖勾股定理、逆定理、实际应用及几何综合四大考点，基础题与综合题梯度分布，适配八年级期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|勾股定理基本计算（如直角边求斜边）、逆定理判断（如5,12,13）、勾股数识别|结合《周髀算经》文化素材，设置折叠（矩形沿对角线折叠）、数轴表示无理数（√5）等情境| |填空|5题|折叠问题（直角三角形纸片折叠）、动点距离（P,Q运动形成直角三角形）|融入“垂美”四边形新定义，考查对角线垂直性质应用| |解答|10题|实际应用（芦苇、梯子、蚂蚁爬行最短路径）、几何综合（等边三角形中点动点最值）|设计项目化学习任务（利用勾股定理求面积），结合无人机测距、消防云梯等真实场景|

专题02 勾股定理 高频考点概览 考点01勾股定理 考点02勾股定理的逆定理 考点03勾股定理的实际应用 考点04勾股定理与几何综合 考点01 勾股定理 1.（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）在中， 分别表示的对边，则下列不正确的式子是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的知识，关键是掌握勾股定理的内容．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，由此可得出答案． 【详解】解：∵ 分别表示的对边 ∴c为斜边， ∴，即，或 ∴B、C、D正确． 故选：A． 2.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边的长为（    ） A． B．9 C． D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12， ∴第三边的长为， 故选：D． 3.（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（   ） A．5 B．5或 C． D．5或7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，分当边长为4的边是斜边时，当边长为4的边为直角边时，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：当边长为4的边是斜边时，则第三边的长为， 当边长为4的边为直角边时，则第三边的长为； 综上所述，第三边长为5或， 故选B． 4.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，6，7 D．6，8，9 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 5.（24-25八年级下·新疆·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及勾股数，熟知勾股定理及勾股数的定义是正确解答此题的关键． 根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是整数，故，，不是勾股数，不符合题意； D、，且都是整数，故是勾股数，符合题意， 故选：D． 6.（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列各组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．1，1， C．2，2，3 D． 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义：满足的正整数是勾股数． 【详解】A选项，因为，符合勾股数的定义，A正确； B选项，因为不是正整数，不符合勾股数的定义，B错误； C选项，因为，不符合勾股数的定义，C错误； D选项，因为不是正整数，不符合勾股数的定义，D错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握勾股数的定义． 7.（23-24八年级下·新疆巴音郭楞蒙古·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（    ）    A．15 B．61 C．69 D．72 【答案】B 【分析】根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积． 【详解】解：如下图：    由勾股定理可知：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 8.（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理，得：，再根据圆面积公式，可以证明：即． 【详解】解：，； ； ； ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和圆的面积的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 9.（23-24八年级下·新疆·期末）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，，，利用勾股定理列式求出，从而求出，设，表示出，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，. 在中，， ∴， ∴. 设，则. 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴． ∴. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 10.（21-22八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 11.（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）如图，将矩形沿折叠，使点D与点B重合，已知，求的长(   ) A．3 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及翻折变换的性质，根据已知得出的长是解题关键．首先根据则进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设则 在中，， 则， 解得：． ∴的长为5． 故选：C 12.（23-24八年级下·新疆·期末）如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴点所表示的实数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，数轴与无理数的关系，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 13.（21-22八年级下·新疆·期末）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为______．    【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可解答． 【详解】解：如图， ∵，， 设点表示的数是， ∴， ∴， ∴或， ∵点在原点的左侧， ∴点表示的数为， 故答案为；    【点睛】本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键． 14.（21-22八年级下·新疆喀什·期末）若第一象限的点到原点的距离为5，则______． 【答案】3 【分析】由勾股定理列出方程，根据第一象限内点的坐标特征求出a的值． 【详解】解：∵点到原点的距离是5， ∴， ∴． ∵点在第一象限， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了勾股定理，两点间距离公式的运用，第一象限内点的坐标特征，熟练解方程是解题的关键. 15.（21-22八年级下·新疆·期末）△ABC中，，，高，则△ABC的面积为（   ） A．66 B．126 C．54或44 D．126或66 【答案】D 【分析】把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况，如图1，2，利用勾股定理求出BC的长，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况求解： ①如图1，在内部 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴； ②如图2，在外部 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴； 综上所述，的面积为66或126； 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况． 16.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，，是边上的中线，那么点到直线的距离是_____． 【答案】// 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的计算，同时也利用了三角形的面积．如图，过作的延长线于，首先可以证明，然后可以三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作的延长线于， ，，是边上的中线， ，， ， ， ， 点到直线的距离是． 故答案为： 17.（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，是的中点，是上的一个动点，连接，，则周长的最小值为______ ． 【答案】/ 【分析】连接，，由将军饮马模型可知的最小值即为的长，因此求出的长即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接，，   是的中点，， ， 是的中点， 等边三角形关于直线对称， ， 周长， 周长的最小值为， 是等边三角形的中线， ，， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理，利用将军饮马模型确定出两线段和的最小值是解题的关键． 18.（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，当时，线段的和最小，最小值为． 【详解】解：∵在等腰中，，是的中线， ∴，故点B关于的对称点是点C， 连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度， 故的最小值是． 故选：B． 19.（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为_________ 【答案】，或4.8 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵ ∴ 解得：； ②如图（2），当时， ∵， ∴， ∴ 若则， 解得，， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 20（21-22八年级下·新疆·期末）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 21.（24-25八年级下·新疆喀什·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用勾股定理画图． （1）借助格点，根据勾股定理构长为的线段即可； （2）利用勾股定理进行证明即可． 【详解】（1）解：线段即为边长为的线段； （2）解：∵为直角三角形，，， ∴． 22.（22-23八年级下·新疆·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______． (2)如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系为______． (3)如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）通过整体和部分求和两种方法对该正方形面积求解可得此题结果； （2）先根据正方形的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得； （3）先根据半圆的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得． 【详解】（1）解：从整体看，正方形的面积为， 从部分看，正方形的面积为， ∴； 故答案为：； （2）解：在中，， ∴， 由题意得，，， ∴； 故答案为：； （3）解：成立， 在中，， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解． 考点02 勾股定理的逆定理 1.（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（   ） A．4，5，6 B．5，12，13 C．60，80，100 D．15，8，17 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：若三角形三边长满足较小两边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形，否则不是．根据勾股定理的逆定理依次判断即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解： A、，而 ． ∵ ， ∴ 不满足勾股定理，不能构成直角三角形． B、，而 ． ∵ ， ∴ 满足勾股定理，是直角三角形． C、，而 ． ∵ ， ∴ 满足勾股定理，是直角三角形． D、，而 ． ∵ ， ∴ 满足勾股定理，是直角三角形． 故选：A． 2.（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可. 【详解】解：、∵， ∴，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 、∵， ∴，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 、∵， ∴，，能构成直角三角形，故选项符合题意； 、∵， ∴，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 3.（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）已知三角形的三边长为a、b、c,如果，那么是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了绝对值，偶次方和算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据绝对值，偶次方和算术平方根的非负性，可得从而求出的值，然后利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴一定是直角三角形， 故答案为：直角 4.（22-23八年级下·新疆巴州·期末）如图，平行四边形中，与交于点O，点E是边上的中点，连接，，，．有下列结论：①是等边三角形；②的周长是20，③的边上的高是，④是菱形，⑤的面积是48．其中正确的是（    ）    A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据中位线定理求出，根据已知线段求出，即可证明，得到是菱形，再根据菱形的性质求出面积和周长，利用等积法求出边上的高，分别算出的三边，可证明不是等边三角形． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵点E是中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是菱形，故④正确； ∴的周长是，故②正确， ∵， 故⑤错误； ∴， 即边上的高是，故③正确； ∵，，， ∴不是等边三角形，故①错误； ∴正确的有②③④， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线的性质，四边形的面积，解题的关键是根据特殊四边形的性质求相应线段的长度，掌握面积法的应用． 5．（23-24八年级下·新疆·期末）如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明，此题根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进一步得出四边形为矩形，则有，当时，最小，即可解答 【详解】解：连接，如图所示， ， ， 为直角三角形， 则， 又于点，于点， 四边形为矩形， ， 当时，最小，即此时有最小值， ， 即， ， 故选：C 6．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）如图所示，在四边形中，，，，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)为直角三角形；理由见解析 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理：解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先求出，再根据，得出结论即可； （2）代入数据计算即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴根据勾股定理得：， 在中，， ∴为直角三角形． （2）解： ． 7.（23-24八年级下·新疆喀什·期末）已知的三边分别为a，b，c，且满足，， ，求证为直角三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用完全平方公式可得，进而可得，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵ ∴， ∴，． ∴是直角三角形． 8.（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）作线段，使其长度为； （2）通过计算说明是直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据网格特点和勾勾定理作图即可； （2）根据勾股定理及其逆定理解答即可； 【详解】解：（1）如图， AD=； （2）∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．反之亦成立． 9.（22-23八年级下·新疆伊犁·期末）如图，已知四边形中，，点E是的中点，求的长．    【答案】 【分析】如图，连接，，由勾股定理得，由，可得，则，由E是的中点，可得，计算求解即可， 【详解】解：如图，连接，，    ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 10.（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，一架无人机悬停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离，点A与地面上点C（点A，B，C在同一平面上）之间的距离，且．求证：是直角． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行证明即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 根据勾股定理逆定理，是直角三角形，且是直角． 11.（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，说明见解析 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键． （1）先根据股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答． （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求得x即可． 【详解】（1），即，              是直角三角形，即， 是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）； （2）设，则， 在中， ， 即， 解得， 原来的路线的长为千米 12.（20-21八年级下·新疆·期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间； (2)求岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为小时； (2)岛在港的北偏西． 【分析】（）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度； （）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答； 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意， 中，，得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； （2）∵，， ∴． ∴， ∴ ∴岛在港的北偏西． 考点03 勾股定理的实际应用 1.（21-22八年级下·新疆塔城·期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（    ）尺． A．6 B．5 C．13 D．12 【答案】C 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，芦苇与水池边的原距离为水池边的一半，即为尺，如图， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度为：（尺， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 2.（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）如图示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树在折断前的高度为(   ) A．5米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．在中，根据勾股定理可求得的长，而树的高度为，的长已知，由此得解． 【详解】解：中，米，米； 由勾股定理，得：米； ∴树的高度为：米； 故选：D． 3.（21-22八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，正方体的盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点蚂蚁爬行的最短距离是______． 【答案】 【分析】根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解． 【详解】解：将正方体展开，连接、， 根据两点之间线段最短， ， ． 如图， ， ， 最短距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 4.（20-21八年级下·新疆·期末）如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A．4cm B．5cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图： ∵底面圆周长为8cm， ∴AD=BC=4cm， 又∵AB=3cm， ∴在Rt△ABC中，AC=(cm)， ∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开图---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 5.（21-22八年级下·新疆·期末）如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理在实际生活中的应用，把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．将楼梯表面向下和向右平移，则地毯的总长等于两直角边的和，已知斜边和一条直角边，据勾股定理可求另一直角边． 【详解】解：如图： （米），（米）， （米）， ∴地毯长（米）． 故答案为：7． 6.（24-25八年级下·新疆伊犁·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？ 【答案】0.4米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论． 【详解】解在中，， 在中，， ． 答：梯子底端向外移了0.4米 7.（24-25八年级下·新疆巴州·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 8.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）小明同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝离地面的高度（如图），他进行了如下操作： ①测得的长度为（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长度为； ③牵线放风筝的小明同学的身高为． 求风筝离地面的高度（结果保留两位小数，）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴风筝离地面的高度为． 9.（22-23八年级下·新疆·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【分析】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题关键． 10.（21-22八年级下·新疆·期末）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 11.（22-23九年级上·新疆·期末）如图，铁路和公路在点处交会，．在点处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪音影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？    【答案】是， 【分析】过点作于点，由含有角的直角三角形的性质可得，即可判断是否受影响，以为圆心为半径作圆，交于点，由勾股定理可得，从而可得，由时间＝路程÷速度，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，   ，，， ， 居民楼会受到噪声影响， 以为圆心为半径作圆，交于点， 由勾股定理，得（）， ，， ， （）， （）， 答：居民楼受噪音影响的时间约为． 【点睛】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握含有角的直角三角形的性质，是解题的关键． 考点04 勾股定理与几何综合 1．（25-26八年级下·新疆·期末）学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）过点作，由等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式计算即可； （2）过点作于点，由勾股定理先求出的长，由三角形内角和求出的度数，根据等角对等边，求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （3）连接，由勾股定理先求出的长，由勾股定理的逆定理先求出，分别求出、，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 是等边三角形，， ， ， ； （2）解：如图2，过点C作于点D， ， 在中，， ， ∴ ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 在中，， ∴， 在中，， ， ， ，， ． 2.（24-25八年级下·新疆昌吉回族自治州奇台县·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．    (1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． (2)应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2)7.5m 【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴点C表示的数是； 故答案为：． （2）解：设秋千绳索的长度为xm， 由题意可得xm， 四边形为矩形，， ∴， 在中，， 即 解得； 即的长度为7.5m； 答：绳索的长为7.5m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3.（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】（1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】（2）的大小为___________度； （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 【答案】[解决问题]见解析；[实践应用]（2）135，（3）27 【分析】（1）证明，后等量代换解答即可． （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】（1）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 4.（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中m、n满足． (1)直接写出的形状； (2)如图②，设点D是线段OB上一点，过点O作于E，过点B作于F． （ⅰ）求证：； （ⅱ）如图③，延长BF交OA于点M，若BM平分，求的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)（ⅰ）证明解解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用二次根式，被开方数大于等于0，得到：，从而求出，分别求出三边长度，再进行判断即可； （2）（ⅰ）证明，即可得证；（ⅱ）如图，取的中点，连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到：，利用角平分线和外角的性质，得到：为等腰直角三角形，进而得到：，即可得解． 【详解】（1）解：， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）（ⅰ）证明：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）解：如图，取的中点，连接． ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零，以及全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题02 勾股定理 ☆高频考点概览 考点01勾股定理 考点02勾股定理的逆定理 考点03勾股定理的实际应用 考点04勾股定理与几何综合 目目 考点01 勾股定理 1.(22-23八年级上·新疆伊犁期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别表示LA,∠B,∠C的对边， 则下列不正确的式子是() A.a2-b2=c2 B.c2-a2=b2 C.a=vc2-b2 D.a2+b2=c2 2.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边的 长为() A.√3 B.9 C.V119 D.13 3.(22-23八年级下·新疆阿克苏期末)若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（) A.5 B.5或√万 c.万 D.5或7 4.(23-24八年级下·新疆乌鲁木齐期末)在下列四组数中，属于勾股数的是() A.2,3,4 B.3,4,5 C.4,6,7 D.6,8,9 5.(2425八年级下·新疆期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著 作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() A.1,2,3 B.4,5,6 C.2,5,5D.5,12,13 6.(20-21八年级下·新疆乌鲁木齐期末)下列各组数中是勾股数的是() A.5,12,13B.1,1,√2 C.2,2,3 D.312 3'4'5 7.（23-24八年级下·新疆巴音郭楞蒙古期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积 是() 1/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B D E A.15 B.61 C.69 D.72 8.(22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，以Rt△ABC为直径分别向外作半圆，若S,=10,S:=8,则 S2=() A S S2 B C S3 A.2 B.3 C.4 D.5 9.(23-24八年级下新疆期末)如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直 角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为() E D B A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm 10.(21-22八年级下·新疆克拉玛依·期末)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处， BC'交AD于点E.若AB=4,AD=8,则线段BE= 11.(22-23八年级上·新疆伊犁期末)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知 2/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AB=3,AD=9,求BE的长() E A A.3 B.4.5 C.5 D.6 12.(23-24八年级下·新疆期末)如图，在数轴上，过表示数2的点A作数轴的垂线，以点A为圆心，1长 为半径画弧，交垂线于点B,再以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的数为() 0 A.2.1 B.2.2 C.5 D.万 13.(21-22八年级下·新疆期末)如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为 A 0 14.(21-22八年级下·新疆喀什期末)若第一象限的点Aa,4)到原点的距离为5，则a= 15.(21-22八年级下·新疆期末)△ABC中，AB=20,AC=13,高AD=12,则△ABC的面积为() A.66 B.126 C.54或44 D.126或66 16.(23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)己知ABC,AB=AC=5,BC=8,AD是BC边上的中线，那 么点C到直线AB的距离是 17.(22-23八年级下·新疆乌鲁木齐期末)如图，ABC是等边三角形，N是AB的中点，AB=4,D是 BC的中点，M是AD上的一个动点，连接BM,MN,则△BMN周长的最小值为· D 3/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 18.(25-26八年级上·新疆吐鲁番期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13,CD,AE分别是 4BC的高和中线，CDO,4E=12,F是4E上的一个动点，则BF+DF的最小值是() B A.130 B.120 C.13 D.12 12 13 19.(22-23八年级上新疆乌鲁木齐期末)如图.在Rt△ABC中.∠C=90°，∠A=30°，BC=6.若点P是边 AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A-B-A运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C 运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若BPQ为 直角三角形，则t的值为 B 20(21-22八年级下·新疆·期末)对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形ABCD为垂美”四 边形，对角线AC、BD交于点O,若AD=2,BC=4,则AB2+CD2等于() A.12 B.16 C.20 D.28 21.(24-25八年级下·新疆喀什期末)正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格 点，以格点为顶点 (1)在网格中画一个长为√20的线段； 4/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明你画的线段为√20 22.（22-23八年级下·新疆·期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象 的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几 何图形积的方法进行直观推导和解释. B A S3 S3 b S2 S ◇ S S2 图1 图2 图3 ()如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式 (②)如图2，在Rt△ABC中，LACB=90,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的 面积分别为S,S2,S,试猜想S,S2,S,之间存在的等量关系为 (3)如图3，如果以Rt△ABC的三边长a,b,C为直径向外作半圆，那么第(2)问的结论是否成立？请说 明理由 目目 考点02 勾股定理的逆定理 1.(24-25八年级下·新疆阿克苏期末)下列各组数不能作为直角三角形三边长的是() A.4,5,6 B.5,12,13 C.60,80,100 D.15,8,17 2.(23-24八年级下·新疆昌吉·期末)下列各组数中，能构成直角三角形的是() A.1,1,5 B.6,8,11 C.4,5,41 D.5,12,15 3.(22-23八年级上新疆伊犁期末)己知三角形的三边长为a、b、c,如果√a-3+b-4+(c-5)2=0,那么 ABC是 三角形 4.(22-23八年级下·新疆巴州期末)如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,点E是AB边上的 中点，连接OE,OE=2.5,AC=8,BD=6.有下列结论：①△ABD是等边三角形；②▣ABCD的周长 是20，③口ABCD的BC边上的高是4.8，④。ABCD是菱形，⑤。ABCD的面积是48.其中正确的是() 5/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B C A.②③④ B.②④⑤ C.①②③④ D.②③④⑤ 5.(23-24八年级下·新疆期末)如图，在ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，且 PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则线段EF的最小值为() E C A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 6.(22-23八年级上新疆伊犁期末)如图所示，在四边形ABCD中，∠D=90°，CB=12,CD=3, AD=4,AB=13. D B (I)试判断ABC的形状，并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积. 7.(23-24八年级下，新疆喀什期末)己知ABC的三边分别为a,b,c,且满足a+b=4,，ab=1,c=√14 ,求证ABC为直角三角形. 8.(20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均 在格点上，请按要求完成下列各题： (1)作线段AD,使其长度为√3； (2)通过计算说明△ABC是直角三角形 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(22-23八年级下·新疆伊犁期末)如图，已知四边形ABCD中， ∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,点E是AD的中点，求CE的长. 10.(24-25八年级下·新疆巴州期末)如图，一架无人机悬停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离 AB=15m,点A与地面上点C(点A,B,C在同一平面上)之间的距离AC=17m,且BC=8m·求证： ∠B是直角， B 11.(22-23八年级下·新疆阿克苏期末)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B, 其中AB=AC,由于种种原因，由C到A的路现在己经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个 取水点H(A,H,B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得BC=2.6千米，CH=2.4千米，HB=1千米 --- (①)问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长 12.(20-21八年级下·新疆·期末)一艘轮船从A港向南偏西51°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方 向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km. 7/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 北 AN →东 B (I)若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间； (2)求C岛在A港的什么方向？ 目目 考点03 勾股定理的实际应用 1.(21-22八年级下新疆塔城期末)如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根 芦苇，它高出水面1尺.若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为() 尺. A.6 B.5 C.13 D.12 2.(22-23八年级上新疆伊犁·期末)如图示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的C点处 折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=3米，则树在折断前的高度为() B A.5米 B.（N5+2米 C.3米 D.(3+2米 3.(21-22八年级下·新疆克拉玛依期末)如图，正方体的盒子的棱长为2，BC的中点为M,一只蚂蚁从点 M沿正方体的表面爬到点D妈蚁爬行的最短距离是 8/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A B D B 4.(20-21八年级下·新疆期末)如图，圆柱体的底面圆周长为8cm,高AB为3cm,BC是上底面的直径.一 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则爬行的最短路程为() B A.4cm B.5cm C.√73cm D.√7cm 5.(21-22八年级下新疆期末)如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米 3米 6.(24-25八年级下·新疆伊犁·期末)勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的 应用.请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2长的梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0为 1.6m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m,那么梯子底端B向外移了多少米？ B D 7.(24-25八年级下·新疆巴州期末)某校在一次消防演练中，消防车按如图1所示的方式停放，20m长的云 梯AB需要到21m高的宿舍楼OM的点M处，其示意图如图2，己知云梯的底端A到地面的距离AA'是3m, 与宿舍楼OM的水平距离AC是6m.云梯的长度够吗？请说明理由. 9/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 Br B M A 图1 图2 8.(23-24八年级下，新疆阿克苏期末)小明同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝离地面的高度CE (如图)，他进行了如下操作： ①测得BD的长度为5m(注：BD⊥CE); ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长度为15m; ③牵线放风筝的小明同学的身高为1.6m. 求风筝离地面的高度CE(结果保留两位小数，√2≈1.414). B D A人 9.(22-23八年级下·新疆·期末)如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.7米， 当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.5米的学生CD正对门，缓慢走到离 门1.6米的地方时(BC=1.6米)，感应门自动打开，AD为多少米？ 感应器1A DO B 10.(21-22八年级下·新疆期末)交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一 辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测 得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗？ 10/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 小汽车常 C9小汽车 检测仪 11.(22-23九年级上新疆·期末)如图，铁路MN和公路P9在点0处交会，∠QON=30°.在点A处有一栋 居民楼，AO=200m,如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方 向行驶时，居民楼是否会受到噪音的影响？如果火车行驶的速度为20s,居民楼受噪音影响的时间约为多 少秒（结果保留小数点后一位）？ A 目目 考点04 勾股定理与几何综合 1. (25-26八年级下·新疆期末)学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出 各种不同的美丽图案，还可以用于计算.某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目 化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； A (图1) (图2) (图3) 活动任务一： (1)如图1，等边ABC的边长为4，则它的面积是_； 活动任务二： (2)如图2，ABC中，∠B=60°，∠C=75°，BC=4,求ABC的面积： (3)如图3，四边形ABCD中，AB=AD=2,BC=3,DC=1,∠A=90°，求四边形ABCD的面积 2.(24-25八年级下·新疆昌吉回族自治州奇台县期末)勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解 决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带. 11/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 (①)应用场景一在数轴上画出表示无理数的点. 如图1，在数轴上找出表示3的点A,过点A作直线L垂直于OA,在L上取点B,使AB=2,以原点O为 圆心，OB为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数 (2)应用场景2—解决实际问题. 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将它往前推6m至C处时，水平距离CD=6m,踏板 离地的垂直高度CF=4m,它的绳索始终拉直，求绳索AC的长 3.(24-25八年级下·新疆吐鲁番期末)【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在 ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,以BC为斜边作直角三角形BCD,点D,A在边BC同侧，BD与AC交 于点O,连接AD,过A作AE⊥BD于点E,求证：BE=CD+DE(请根据下面的要求完成证明)， 【解决问题】(1)如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取 BF=CD,连接AF,将线段BE、CD、DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系.请根据 上述解题思路写出证明BE=CD+DE的完整过程 【实践应用】(2)∠ADC的大小为 度； (3)若O是AC的中点，且CD=3,求四边形ABCD的面积. D D 图① 图② 4.(22-23八年级下·新疆乌鲁木齐期末)如图①，在平面直角坐标系中，O0,0),Am,3),B(0,n),其 中m、n满足n=√m-3+√3-m+6. 12/13 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y y A M F E D >x B B 图② 图③ 图① (1)直接写出△0AB的形状： (2)如图②，设点D是线段OB上一点，过点O作OE⊥AD于E,过点B作BF⊥AD于F. (i)求证：FE=OE-BF: (i)如图③，延长BF交OA于点M.若平分∠0B4,求的值 13/13