期末培优卷2025-2026学年八年级数学下学期人教版

**基本信息** 这份八年级数学期末培优卷覆盖下册全册核心知识，通过直角三角形多解、正方形折叠动点等问题考查几何直观与推理能力，融入机器人购买、环保竞赛等真实情境体现应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|直角三角形边长、二次根式有意义条件、平行四边形性质|基础巩固，注重概念辨析| |填空|6|同类二次根式、数轴化简、四边形对角线计算|能力提升，渗透数形结合| |解答|9|统计分析（环保竞赛）、应用题（机器人购买）、几何综合（正方形折叠最值）|创新应用，融合跨学科情境与逻辑推理|

2025-2026学年八年级数学下学期期末培优卷 【新教材人教版】 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版八年级下册全册。 第Ⅰ卷 1、 单选题 1．已知直角三角形的两条边长分别是4和5，那么这个三角形的第三条边的长为（   ） A．4 B．3 C．3或 D．4或 【答案】C 【分析】本题未说明已知的两条边是否均为直角边，需分情况讨论，利用勾股定理计算第三边长度． 【详解】解：∵直角三角形已知两条边长为4和5，未明确哪条边是斜边， ∴分两种情况计算： ①当5为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得，第三边长为； ②当5为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长为； 因此，第三边长为3或． 2．使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴  ，， 解得，， ∴ 的取值范围是且． 3．若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的对角线条数为（     ） A．36 B．18 C．12 D．9 【答案】D 【分析】先利用多边形外角和为定值的性质，结合题目条件求出内角和，再根据内角和公式求出多边形边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形内角和为 ， 设该多边形边数为，由多边形内角和公式可得， 解得，即该多边形为六边形， ∵从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，共有条对角线， 这样所有的对角线重复计算一次， ∴边形对角线条数公式为， 将代入得： 即该多边形对角线条数为． 4．若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1且系数不为零． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得， 或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， 的值为． 故选：B． 5．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 6．在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，计算各选项的角度或边长关系，即可求解． 【详解】解：∵三角形内角和为， 对选项A，设，由， 得，， 则， 解得 ，则，，，三个内角均不为，故△ABC不是直角三角形； 对选项B，，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 对选项C，设三个角分别为，，，则， 解得，得最大角， 是直角三角形； 对选项D，由移项得，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 综上，不能判断为直角三角形的是A选项． 7．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 8．一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 9．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 10．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 第II卷 2、 填空题 11．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【答案】8 【分析】先把化简为，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式建立方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 12．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】 【分析】先根据数轴判断与的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 13．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 15．如图，在中，，平分，平分，，分别为射线上的动点．若，则的最小值为__________． 【答案】4 【分析】确定是的角平分线，根据角平分线的对称性，将进行转化，将转化为点到射线的最短路径问题，利用“垂线段最短”的性质，可知的最小值等于点到所在直线的垂线段长度，结合是等腰直角三角形，是的角平分线的条件，通过三角形等面积法建立方程，可求出上述垂线段的长度． 【详解】过点作交于点，作点关于的对称点， ∵平分， 且，， ∴， 且，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵平分，根据角平分线的对称性， ∴一定落在上， ∴， ∴， ∴时，取得最小值， 如图所示，交延长线于点， ∴， 即， 解得， ∴的最小值为． 16．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或．． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对，分母有理化，然后得到，，对所求代数式提公因式因式分解，再代入，的值求解即可； （2）先通分，再利用完全平方公式进行变形，然后代入，的值求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ； （2）解： ． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式． (3)的面积为______． (4)当时，x的取值范围是______ 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【分析】（1）把代入进行求解即可； （2）由（1）可把点C、D的坐标代入进行求解即可； （3）由（2）得出点A的坐标，然后根据三角形面积公式进行求解即可； （4）根据图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：把代入得：， ∴； （2）解：∵点，在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：由（2）可知：一次函数的解析式为， 令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴； （4）解：由图象可知：当时，x的取值范围是． 20．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 84 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)学校准备对环保知识薄弱的年级开展环保专题讲座，根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生应该参加此次讲座？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生800人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】(1)，87，10 (2)解：七年级学生的环保知识较薄弱，应参加此次讲座，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数84，众数87均大于七年级的中位数83.5，众数84，所以七年级学生的环保知识较薄弱，应参加此次讲座． (3)390人 【分析】（1）根据中位数及众数的定义进行求解即可； （2）根据平均数，中位数及众数进行求解即可； （3）根据题意可列式直接求解． 【详解】（1）解：由题意得：七年级组的人数为人，组的人数为人， ∴七年级的中位数为按从大到小数，第10和第11个数据之和的平均数，即为 ， 根据众数是一组数据出现次数最多的，所以； ，即； （2）略 （3）解：由题意得： （人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是390人． 21．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，已知每个种机器人比A种机器人贵万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． (1)求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过种机器人数量的倍，据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大． 【答案】(1)购买一个A种机器人需要60万元，购买一个B种机器人需要65万元 (2)购进A种机器人60个，B种机器人40个时，获得的利润最大 【分析】（1）设购买一个A种机器人需要万元，购买一个B种机器人需要万元，列出分式方程即可得到答案； （2）设购进A种机器人个，则购进B种机器人，求出，再设总利润为，得到随的增大而减小，当时，最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种机器人需要万元，购买一个B种机器人需要万元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， B种机器人的单价为：（万元）， 答：购买一个A种机器人需要60万元，购买一个B种机器人需要65万元； （2）解：设购进A种机器人个，则购进B种机器人， ， 解得， A种机器人的单个利润：（万元）， B种机器人单个利润：（万元）， 设总利润为， ， 即， ，随的增大而减小， 当时，最大， 此时B种机器人的数量为（个）． 答：购进A种机器人60个，B种机器人40个时，获得的利润最大． 22．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，﹣8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF． (1)求直线AB的函数表达式； (2)当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积； (3)是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)yx﹣8 (2)192 (3)存在，m＝7或4 【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b，即可求解； （2）证明△EDC≌△EOF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝CD＝18，求出AG＝AF＝24，过点C作CH⊥x轴于点H，由三角形面积公式可得出答案； （3）①当∠FGC＝90°时，AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC＝20，故点F（﹣14，0），即可求解；②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0），则AF＝AG＝12，故点F（﹣6，0），即可求解． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b， ， 解得：， ∴直线的表达式为：yx﹣8； （2）当y＝16时，x﹣8＝16， 解得x＝18， ∴点C的坐标为（18，16）， ∴CD＝18， ∵E是OD中点， ∴DE＝OE， ∵∠CDE＝∠FOE，∠DEC＝∠OEF， ∴△EDC≌△EOF（ASA）， ∴OF＝CD＝18， ∴AG＝AF＝OF+OA＝24， 过点C作CH⊥x轴于点H， ∴S△ACG24×16＝192； （3）①当∠FCG＝90°时， AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC20， 故点F（﹣14，0）， 由点C、F的坐标可得：直线CF的表达式为：yx+7， 故点E（0，7），则m＝7； ②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0）， 则AF＝AG＝12， 故点F（﹣6，0）， 同理直线CF的表达式为：yx+4，   故m＝4； 综上可得，m＝7或4． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，直角三角形的存在性问题，灵活运用一次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键． 24．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 25．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末培优卷 【新教材人教版】 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材人教版八年级下册全册。 第Ⅰ卷 1、 单选题 1．已知直角三角形的两条边长分别是4和5，那么这个三角形的第三条边的长为（   ） A．4 B．3 C．3或 D．4或 2．使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的对角线条数为（     ） A．36 B．18 C．12 D．9 4．若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 5．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 6．在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 7．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 8．一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 第II卷 2、 填空题 11．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 12．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 13．已知，则的值为_________． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 15．如图，在中，，平分，平分，，分别为射线上的动点．若，则的最小值为__________． 16．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式． (3)的面积为______． (4)当时，x的取值范围是______ 20．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 84 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)学校准备对环保知识薄弱的年级开展环保专题讲座，根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生应该参加此次讲座？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生800人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 21．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，已知每个种机器人比A种机器人贵万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． (1)求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过种机器人数量的倍，据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大． 22．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，﹣8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF． (1)求直线AB的函数表达式； (2)当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积； (3)是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 24．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3) 计算，请直接写出最后的化简结果． 25．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $