2025--2026学年学年八年级第二学期期末复习 专题 ：平行四边形之面积问题

**基本信息** 聚焦平行四边形及特殊四边形面积问题，通过典例与变式构建从基础计算到综合推理的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|例1+变式1-3|含内点/中点的面积计算|以平行四边形面积公式为核心，结合平行线性质实现等积转化| |综合拓展|变式4-13|特殊四边形面积关系判断、动态问题|从一般到特殊（矩形/菱形/正方形），融合对角线性质、分割法与面积守恒思想，强化空间观念与运算能力|

2025学年八年级第二学期期末复习专题 ： 平行四边形之面积问题 【例】如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若，则为 （ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【变式练习】 1.如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（ ） A. 9 B. C. 12 D. 18 3.如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4.如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.如图，在平行四边形中，是平行四边形内任意一点，的面积分别为，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6.如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 7.如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（ ） A. B. C. D. 8.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 9.如图，点P是矩形ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，记∠PAB＝θ1，∠PBC＝θ2，∠PCD＝θ3，∠PDA＝θ4，则下列结论正确的是（　　） ①S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD； ②若∠APB＝80°，∠DPC＝50°，则θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝50°； ③PA2+PC2＝PB2+PD2； ④S△ABP＝S△ADP，则P在对角线AC上． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10.如图，已知在中，，点O是和的角平分线的交点，过点O作，分别交、于E、F两点，连接、．则下列结论正确的有________． ①；②点O是的中点；③；④ 11.如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在、上，且，，连接，图中阴影部分的面积为________． 12.在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连结，作交的边于点G． （1）如图1，若G点在边上，，则的面积是__________． （2）如图2，若G点在边上，，则的面积是__________． 13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．设＝k（0＜k＜1），连接OE；若k＝，AC＝，则平行四边形ABCD的面积为 　 　；设＝n，则n与k满足的关系式为 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年八年级第二学期期末复习专题 ： 平行四边形之面积问题 【例】如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若，则为 （ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：显然EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形， ∴S△DEP=S△DGP=S平行四边形DEPG， ∴S△PHB=S△PBF=S平行四边形PHBF， 又S△ADB=S△EPD+S平行四边形AHPE+S△PHB+S△PDB① S△BCD=S△PDG+S平行四边形PFCG+S△PFB−S△PDB② ①−②得0=S平行四边形AHPE−S平行四边形PFCG+2S△PDB， 即2S△PBD=5−3=2 ∴S△PBD=1. 故答案为1. 【变式练习】 1.如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边中线性质以及梯形中位线性质，熟练掌握“平行四边形对边相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半、梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半”是解题的关键．先利用直角三角形斜边中线性质求出的长度，再结合平行四边形性质与的条件，得出是梯形的中位线，进而求出的长度，最后根据平行四边形对边相等求出． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴ ． ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴是梯形的中位线． ∴， ∵，， ∴， 解得 ． ∵四边形是平行四边形，， ∴ ． 故选：C ． 2.如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（ ） A. 9 B. C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积，可以求得行四边形的面积，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 四边形是平行四边形，四边形、四边形，四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ，（与平行四边形等高） ， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，明确题意，利用数形结合的思想解题，是解答本题的关键． 3.如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据全等得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 4.如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，根据矩形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点P分别作于点F，于点E， ∵以底边，以为底边， ∴此时两三角形的高的和为，即可得出矩形面积； 同理可得出矩形面积； ∴②正确； 当点P在矩形的两条对角线的交点时，． 但P是矩形内的任意一点，所以该等式不一定成立． 故①不一定正确； ③若，只能得出与高度之比，不一定等于； 故此选项错误； ∵；若，则， ∴④正确． 故选：B． 5.如图，在平行四边形中，是平行四边形内任意一点，的面积分别为，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据题意可得为平行四边形面积的一半，也为平行四边形面积的一半，进而得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形 为平行四边形面积的一半 也为平行四边形面积的一半 ． 故选：C． 6.如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，等积变换等；连接、，由平行四边形的性质得，由菱形的判定方法得四边形是菱形，菱形的性质及三角形的面积得，，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意连接辅助线构建两个等积三角形是解题的关键. 【详解】解：如图，连接、， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B. 7.如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【专题】推理填空题；推理能力． 【分析】由正方形ABCD，BF⊥CE，得△ABF≌△BCE（ASA），得S1+S5＝S1+S4，得S4＝S5，由S1+S2+S5＝S3+S4，即可得S1+S2＝S3． 【解答】解：由正方形ABCD，BF⊥CE， 得△ABF≌△BCE（ASA）， 得S1+S5＝S1+S4， 得S4＝S5， 由S1+S2+S5＝S3+S4， 得S1+S2＝S3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是面积关系的正确变形． 9.如图，点P是矩形ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，记∠PAB＝θ1，∠PBC＝θ2，∠PCD＝θ3，∠PDA＝θ4，则下列结论正确的是（　　） ①S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD； ②若∠APB＝80°，∠DPC＝50°，则θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝50°； ③PA2+PC2＝PB2+PD2； ④S△ABP＝S△ADP，则P在对角线AC上． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】过点P作EF⊥AB于点E，交CD于点F，连接AC，则∠BEF＝∠BAD＝90°，可证明EF∥AD，EF＝AD，进而推导出S矩形ABCD，则S△PAB+S△PCDS△PAB+S△PCD，可判断①正确；由∠APB＝80°，∠DPC＝50°，得∠PAB+∠PBA＝100°，∠PCD+∠PDC＝130°，而∠PBC＝90°﹣∠PBA，则θ1﹣θ2＝∠PAB﹣（90°﹣∠PBA）＝10°；因为∠PDA＝90°﹣∠PDC，所以θ3﹣θ4＝∠PCD﹣（90°﹣∠PDC）＝40°，则θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝10°+40°＝50°，可判断②正确；由PA2＝AE2+PE2＝DF2+PE2＝AE2+PE2＝AE2+PE2＝AE2，PC2＝CF2+PF2＝BE2+PF2，得PA2+PC2＝PE2+BE2+PF2+DF2 由 PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，得PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2，则 PA2+PC2＝PB2+PD2，可判断③正确；由 S△ABP＝S△ADP，S△ADP+S△PBC＝S△ABP+S△PCD，得 S△PBC＝S△PCD，则S△ABP+S△PBC＝S△ADP+S△PCDS矩形ABCD＝S△ABC，所以点P在对角线AC上，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：过点P作EF⊥AB于点E，交CD于点F，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BEF＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴EF∥AD， ∴EF＝AD，∠PFC＝∠ADC＝90°， ∴PF⊥CD， ∴S矩形ABCD， ∴S△PAD+S△PBC＝S矩形ABCD﹣（S△PAB+S△PCD ， ∴S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD，故①正确； ∴∠APB＝80°，∠DPC＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴．∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝100°，∠∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC＝130°， ∵∠PBC＝90°﹣∠PBA， ∴θ1﹣θ2＝∠PAB﹣∠PBC＝∠PAB﹣（ 90°﹣∠PBA）＝∠PAB+∠PBA﹣90°＝10°， ∵PDA＝90°﹣∠PDC， ∴θ3﹣θ4＝∠PCD﹣∠PDA＝∠PCD﹣（ 90°﹣∠PDC）＝∠PCD+∠PDC﹣90°＝40°， ∴θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝10°+40°＝50°，故②正确； ∴EF∥AD∥BC，AE⊥AD，DF⊥AD，BE⊥BC，CF⊥BC， ∴AE＝DF，BE＝CF， ∵PA2＝AE2+PE2＝DF2+PE2，FC2＝CF2+PF2＝BE2+PF2， ∴PA2+PC2＝PE2+BE2+PF2+DF2， ∵PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2， ∴PA2+PC2＝PB2+PD2，故③正确； ∵S△ABP＝S△ADP，S△ADP+S△PBC＝S△ABP+S△PCD， ∴S△PBC＝S△PCD， ∴S矩形ABCD， ∴S△ABP+S△PBC＝S△ABC， ∴点P在对角线AC上，故④正确， 故选：D． 【点评】本题重点考查矩形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积公式、矩形的面积公式、勾股定理等知识，正确地作出所要的辅助线是解题的关键． 10.如图，已知在中，，点O是和的角平分线的交点，过点O作，分别交、于E、F两点，连接、．则下列结论正确的有________． ①；②点O是的中点；③；④ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知，结合角平分线得，即，进而可判断①正确；设，，根据，得，则，可知，同理，再证四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形，得，，即可判断②正确；进而求得，得，，可判断③错误；根据平行四边形的性质可知，，且，即，即可判断④正确． 【详解】解：在中，，，，， ∴， 又∵点O是和的角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，设，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，同理， 又∵， ∴四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形， ∴，， 则点是的中点，故②正确； ∴，则， ∴，，故③错误； ∵四边形，四边形是平行四边形， ∴，， 则， 又∵点是的中点， ∴，且， 即：，故④正确； 综上，结论正确的有①②④； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 11.如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在、上，且，，连接，图中阴影部分的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，可得四边形是平行四边形，故，进一步得到． 【详解】， 四边形是平行四边形 的面积为4 故答案为：2 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，这两个三角形的面积相等． 12.在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连结，作交的边于点G． （1）如图1，若G点在边上，，则的面积是__________． （2）如图2，若G点在边上，，则的面积是__________． 【答案】 ①. ②. 10 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质得出，过点F作于K，利用等腰三角形的判定和性质及勾股定理得出为等腰直角三角形，，过点A作于点M，则，继续利用勾股定理得出，即可求解； （2）过点F作于K，结合（1）中方法得出，，，，再由勾股定理确定，利用相似三角形的判定和性质及勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 过点F作于K， ∴， ∵， ∴， ∵，点E是边上的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点G作， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点A作于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：； 故答案为：； （2）过点F作于K， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作得延长线于点L， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为：；， 故答案为：10． 13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．设＝k（0＜k＜1），连接OE；若k＝，AC＝，则平行四边形ABCD的面积为 　　；设＝n，则n与k满足的关系式为 　n+k＝2　． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边，∠ADC＝60°， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°，AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝＝60°， ∴∠BEA＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴AB＝BE＝CE， 若＝k＝，AC＝， 则BC＝2AB， ∴CE＝BE＝AB＝AE， ∴∠CAE＝∠ACE， ∵∠BEA＝∠CAE+∠ACE＝60°， ∴∠CAE＝∠ACE＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝90°， 设AB＝x，则BC＝2x， 在Rt△ABC中，AC＝，AB2+AC2＝BC2， ∴， 解得：x＝1或﹣1（舍去）， ∴AB＝1，AC＝2， ∴S▱ABCD＝AB•AC＝1×＝； ∵AB＝BE，＝k， ∴＝k， ∴＝k， ∴S△BOE＝kS△BOC， ∴S△COE＝S△BOC﹣S△BOE＝S△BOC﹣kS△BOC＝（1﹣k）S△BOC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S△AOD＝S△BOC＝S△COD， ∵＝n， ∴S四边形OECD＝nS△AOD， ∴S四边形OECD＝nS△BOC， ∴S△COE＝S四边形OECD﹣S△COD＝nS△BOC﹣S△BOC＝（n﹣1）S△BOC， ∴（1﹣k）S△BOC＝（n﹣1）S△BOC， ∴1﹣k＝n﹣1， ∴n+k＝2． 故答案为：；n+k＝2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $