精品解析：山东菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二下学期第五次定时训练数学试题

2024级高二第五次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 2. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 4. 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 48种 D. 60种 5. 袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ） A. B. C. D. 6. 某过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为，，．已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（　　） A. B. C. 的展开式中一共有项 D. 10. 随机变量且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 假设某市场供应的蓝牙耳机中，市场占有率和优质率的信息如下： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一个蓝牙耳机，用，，分别表示买到的蓝牙耳机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，表示可买到的优质品，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 13. 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为___________. 14. 如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程. （计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 参考数据 5215 17713 714 27 81.3 3.6 17. 甲乙丙丁戊五个同学 （1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ （2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 18. 2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. （3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 19. 紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为． （1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； （2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率； （注：贝叶斯公式） （3）小明为了更好的通关，现有两种方案： 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第五次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】对于非负整数，当时， 若，则有或， 已知，显然，因此满足，解得， 此时，符合组合数的定义要求，故． 2. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，. 3. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 由回归方程必过样本中心，得，解得， 所以在样本点处的残差为. 4. 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 48种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，利用组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点， 要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步， 则爬行的路径共有：不同的路径. 故选：D. 5. 袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 6. 某过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为，，．已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即可． 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则，，， 而，，， 由全概率公式得． 7. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 8. 某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（　　） A. B. C. 的展开式中一共有项 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据排列和组合数的计算公式以及性质即可求解ABD，根据二项式展开式的性质即可求解C. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C, 的展开式中一共有项，C错误， 对于D，，D正确， 故选：AD 10. 随机变量且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，根据正态分布的期望方差性质可判断；对于C，根据及二项分布期望公式可求出p；对于D，根据二项分布方差的计算公式可求出，进而求得. 【详解】对AB，因为且，所以， 故，，选项A正确，选项B错误； 对C，因为，所以，所以，解得，选项C正确； 对D，，选项D错误， 故选：AC. 11. 假设某市场供应的蓝牙耳机中，市场占有率和优质率的信息如下： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一个蓝牙耳机，用，，分别表示买到的蓝牙耳机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，表示可买到的优质品，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式与条件概率公式求解可判断每个选项的正误． 【详解】由题意得，，， ，，， 对于A，因为与互斥，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，结合选项C，得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理展开，根据整除性即可确定. 【详解】因 ， 因是整数，恰能被13整除， 则，故的最大负整数取值为. 13. 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题是一个古典概型，先求得从10把钥匙中任取2的种数，再求得任取2把能将该锁打开的种数，代入公式求解. 【详解】解：从10把钥匙中任取2把有种取法， 从中任取2把能将该锁打开有种取法， 所以从中任取2把能将该锁打开的概率为， 故答案为： 14. 如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】我们按区域顺序分步计算涂色方案，根据相邻区域不同色的要求，每一步的选择数如下： 涂区域A：共4种颜色可选，有种方案。 涂区域B：B与A相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域C：C与A、B都相邻，颜色都不同，有种方案。 涂区域D：D与B、C都相邻，颜色都不同，B、C异色，因此有种方案。 涂区域E：E仅与D相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域F：F与D、E都相邻，D、E异色，因此有种方案。 涂区域G：G仅与E、F都相邻，E、F异色，因此有种方案。 根据分步乘法计数原理，总方案数为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2）243 【解析】 【小问1详解】 令，得，即， 令，得， 则. 【小问2详解】 令，得， 则 . 16. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程. （计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 参考数据 5215 17713 714 27 81.3 3.6 【答案】（1）更适宜 （2） 【解析】 【分析】（1）通过观察散点图的增长趋势，判断指数型模型比线性模型更贴合数据分布； （2）先对指数型模型取对数进行线性转换，再利用线性回归的方法计算系数，最后还原得到原模型的回归方程. 【小问1详解】 由散点图可以判断，随温度升高，平均产卵数增长速度越变越快，符合指数函数模型的增长， 所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型. 【小问2详解】 将两边同时取自然对数，可得， 令，则得到直线方程， 由题中的数据可得，， 所以， 则， 所以关于的线性回归方程为， 故关于的回归方程为. 17. 甲乙丙丁戊五个同学 （1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ （2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 【答案】（1）243 （2）78 （3）150 【解析】 【分析】（1）根据乘法计数原理即可求解， （2）用全部情况去掉甲不在首位，乙不在末位，即可求解， （3）利用分组分配，结合排列组合即可求解. 【小问1详解】 去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. 【小问2详解】 排成一排，无限制条件的排列有， 甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）. 【小问3详解】 分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市， 则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 18. 2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. （3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 【小问3详解】 用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 19. 紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为． （1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； （2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率； （注：贝叶斯公式） （3）小明为了更好的通关，现有两种方案： 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大． 【答案】（1） （2） （3）方案二 【解析】 【分析】（1）把“首次抓取抓到良品”拆分成两个互斥事件，分别求出对应机器及相应机器抓取良品的概率，再利用全概率公式计算求解； （2）先计算总的通关概率，再计算首次选乙机器且通过的概率，再代入贝叶斯公式得出条件概率； （3）分别计算方案一和方案二的概率，再通过比较得出结论． 【小问1详解】 设选取甲机器为事件，则，选取乙机器为事件，则， 抓到良品娃娃为事件，则，， 由全概率公式． 【小问2详解】 两次选机器、抓取均互相独立，则两次抓取良品概率相同： ； 首次选乙，第一次抓到良品，第二次独立选机器抓良品的概率为： ； 由贝叶斯公式计算条件概率得：． 【小问3详解】 方案一：两次选取同一机器，抓取相互独立，概率为： ， 方案二：两次选取不同机器，抓取相互独立，概率为： ， ， ，故方案二的通关概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $