精品解析：黑龙江省实验中学2025-2026学年高三下学期第4次模拟考试数学试题

黑龙江省实验中学2025-2026学年度高三学年第四次模拟考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线经过抛物线的焦点，则（ ） A. 6 B. 12 C. -6 D. -12 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图所示，图中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，，，，，是其中四个圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题错误的是（ ） A. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C. 若随机变量，且，，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，（），则 7. 现代科技前沿的五大热门研究领域是：人工智能、量子计算、脑机接口、可控核聚变、深空探测．甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取其中一个不同的领域作为课外科研研读主题，若甲、乙都没有选人工智能，乙也没有选深空探测，则5名同学所有可能的选择有（ ）种 A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A. 的最大值为1 B. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C. 在单调递增 D. 图象的对称中心为 10. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 三、填空题：本小题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递减，则___________. 13. 与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包括边界），若平面AEF，则线段长度的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面. （1）证明：； （2），当与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面的夹角的余弦值. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. （1）求角C的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 17. 某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． （1）当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； （2）记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； （3）若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 18. 已知函数的定义域为，为其导函数． （1）若，，则称为上的“导优函数”．判断是否是上的“导优函数”，说明理由； （2）若，，则称为上的“优导函数”．已知为上的“优导函数”，求实数的取值范围． 19. 已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，. （ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ⅱ）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2025-2026学年度高三学年第四次模拟考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，其中为偶数， ，其中为奇数， 则，即为奇数集，所以为偶数集， 又集合表示奇数集合，集合表示偶数集合， 集合表示4的整数倍数加2对应的数组成的集合， 集合表示4的整数倍数对应的数组成的集合. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 3. 若直线经过抛物线的焦点，则（ ） A. 6 B. 12 C. -6 D. -12 【答案】D 【解析】 【分析】 直线与轴交点即为抛物线的焦点. 【详解】因为直线与轴的交点为， 所以，即. 故选: D 【点睛】此题考查抛物线的标准方程，属于基础题. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由． 因为，，所以，， 所以，又， 所以，故． 5. 已知图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图所示，图中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，，，，，是其中四个圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量和均可以用表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解. 【详解】解：如图所示,建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60°, ∴,, ∴. 故选：A. 6. 下列命题错误的是（ ） A. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C. 若随机变量，且，，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，（），则 【答案】B 【解析】 【分析】逐一验证各选项对应的统计知识点，结合残差定义、相关系数性质、二项分布的期望与方差公式、方差的运算性质，判断命题正误. 【详解】对A：当时，， 故样本点的残差为，故A正确； 对B：两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近于， 正相关时接近，负相关时接近，故B错误； 对C：若，则，故，即， 又，则，故，故C正确； 对D：由，则，因， 即，故D正确. 7. 现代科技前沿的五大热门研究领域是：人工智能、量子计算、脑机接口、可控核聚变、深空探测．甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取其中一个不同的领域作为课外科研研读主题，若甲、乙都没有选人工智能，乙也没有选深空探测，则5名同学所有可能的选择有（ ）种 A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】优先安排约束最多的乙，再安排有约束的甲，最后对剩余3人全排列，结合分步乘法计数原理计算总情况数. 【详解】第一步：安排乙，由题意乙不能选人工智能、深空探测， 故可从剩余3个领域中任选1个，共种选法； 第二步：安排甲，甲不能选人工智能，且不能与乙选择的领域重复， 此时剩余可选领域共种选择，即种选法； 第三步：安排剩余3名同学，剩余3个不同领域进行全排列，即种排法， 根据分步乘法计数原理，总选择种数为. 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导后可知在上单调递减，由得，不等式等价于，从而得解． 【详解】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A. 的最大值为1 B. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C. 在单调递增 D. 图象的对称中心为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，根据正弦函数的性质可判断ACD，根据图象的变换可判断B. 【详解】 ， 所以当，即时，取得最大值，最大值为，故A正确； 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 ，故B错误； 当时，，函数在上单调递增， 所以在单调递增，故C正确； 令，解得， 所以图象的对称中心为，故D错误. 10. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，利用空间中的一组基底表示其他向量，利用向量的线性运算和数量积运算计算结果，判断A，B，C选项；利用棱锥的共斜边特点可以找到球心计算半径，根据等体积法计算球心到平面的距离，得到截面的圆半径，进而计算面积即可判断D选项． 【详解】 由图可知：，故A正确； 因为底面是正方形，且， 所以，， ； 所以 ，故B正确 因为， 故； ， 故，故C错误； 外接圆的圆心为的中点， 因为，， 故，故； 故外接圆的圆心也为的中点， 故外接球的圆心为的中点，半径为； 设圆心到平面的距离为d， 由， ； 设到底面的距离为， ， 如图所示，设在平面中的投影为，则在底面的投影向量为； 因为， 故 ， 故，四棱锥为正四棱锥， 故，， 故； 所以， 故，解得， 故截面半径为：， 故截面面积为，故D正确． 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可． 【详解】初始数列：1，4； 第一次成长：1，4，4，乘积,； 第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：， ；故A正确 记次“美好成长”后的数列有项，则，即， 又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列， 故，， 所以，故B正确 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 故 ； 故， 则，故C错误， 由此， 因此数列为等比数列，首项为，公比为3； 故，解得，故D正确． 三、填空题：本小题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递减，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论． 【详解】由题意，解得或， 若，则函数为，在上递增，不合题意． 若，则函数为，满足题意． 故答案为：． 13. 与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【解析】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包括边界），若平面AEF，则线段长度的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明平面平面，结合平面确定的位置，并根据各边长度得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】分别取的中点，连接， 因为E，F分别是棱BC，的中点，故，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面， 所以平面平面， 故当点在线段上时，平面，所以平面， 其中，由勾股定理可得， ， 故当为的中点时，最短，此时，， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以线段长度的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面. （1）证明：； （2），当与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质，可证、，根据线面垂直的判定及性质定理，即可得证. （2）由条件得即为与平面所成角，根据条件，可求出DP，建系，求出各点坐标和所需向量坐标，分别求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案. 【小问1详解】 如图，过点作，垂足为. 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为平面，且平面，所以. 又因为， 平面，所以平面. 又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，故四边形为矩形. 因为平面，所以即为与平面所成角， 设，则，解得，即. 以为坐标原点，分别以为轴正方向建系，如图所示， 则， 所以. 由（1）可知，平面，记平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，即， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. （1）求角C的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）解法一：根据余弦定理结合可求得，进而根据三角形的面积公式求解即可；解法二：根据结合平面向量的数量积的运算律可得，再根据余弦定理求得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）利用等面积法可得，再根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由 根据正弦定理，得， 则， 因为，所以，则，故. 【小问2详解】 解法一：因为，N为的中点，则， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，解得， 故的面积为； 解法二：因为N为的中点，则， 所以， 即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. 【小问3详解】 因为，角C的角平分线交于D点， 所以，又， 则由，得， 所以，由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故面积的最小值为. 17. 某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． （1）当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； （2）记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； （3）若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（1） （2） （3）应选方案一． 【解析】 【分析】（1）根据题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备，利用二项分布求概率； （2）由题意得，，分别得出所需检测次数及其概率，即可得分布列及数学期望； （3）分别计算两种方案期望，即可做出决策. 【小问1详解】 由题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备， 所以机器人无需进行第二轮巡检的概率为 【小问2详解】 由题意得，， ， 所以， 所以． 【小问3详解】 应选方案一，理由如下： 记为机器人巡检的检测总费用，为人工巡检的检测总费用， 由题意得，， 令， 则， 因为，所以，即在上单调递减， 所以， 所以， 故选用智能机器人巡检的检测平均总费用更低，应选方案一． 18. 已知函数的定义域为，为其导函数． （1）若，，则称为上的“导优函数”．判断是否是上的“导优函数”，说明理由； （2）若，，则称为上的“优导函数”．已知为上的“优导函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）是，理由如下： 由导优函数定义，需证. ，求导得. ，设，. 令，. 易知在单调递减，在单调递增. 所以在单调递减. ，，由零点存在定理，，， 单调递增， 单调递减， 因此， 因为，，区间内最小值大于. 即在恒成立，所以，即， 故是上的导优函数. （2） 【解析】 【分析】（1）依托导优函数定义转化为证，求导化简后换元构造三角函数，借助导数判定单调性并比较区间端点函数值，由两端均为正证得恒成立. （2）依据优导函数条件列式整理，分离参数后构造分式函数，求导确定单调区间求出最小值，利用恒成立得到小于该最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，所以. 由为上的“优导函数”， 所以在上恒成立. 所以恒成立. 因为，所以恒成立. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，即实数的取值范围是. 19. 已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，. （ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ⅱ）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）是，1 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解； （2）（ⅰ）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解；（ⅱ）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解， 当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解. 【小问1详解】 双曲线的右焦点，渐近线方程为， 由题意可得， 又因为，所以，， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得： ， 则由得：， 化简得：， 则，为上述方程的两个根，故， 而，所以 （ⅱ）为定值1. 证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知， 此时，即； 当，都存在时，设，，的中点为， 由，即， 由于切点弦所在的直线方程为，所以， 因此，即，，三点共线， 又由（ⅰ）可知与均为直角三角形，故，， 则，，而， 所以，故，， 所以，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $