精品解析：黑龙江省实验中学2026届高三下学期联合模拟考试数学试题

黑龙江省实验中学2026届高三学年联合模拟考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（ ） A. 81 B. 72 C. 36 D. 12 4. 三棱锥中，平面， 是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（ ） A. 40000km B. 41000km C. 42000km D. 43000km 7. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一条对称轴为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ） A. 若，则点P的坐标为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 11. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1nm工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，假设试产期共有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件／天） 甲 200 乙 500 丙 300 试产期检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．则下列选项中正确的是（ ） A. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 B. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自乙生产线的概率为 C. 若计算机4次生成的数字之和为，则 D. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为________． 13. 如图，已知正方形 的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 14. 草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 四、解答题（共77分） 15. 数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； （1）分别求出数列与的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，， 为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为2的等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱 上，，求二面角的大小． 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 19. 已知离心率相同的椭圆与椭圆分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆 （1）求， （2）设直线l与椭圆相交于两点，与椭圆相交于两点，且A在线段BD上 （ⅰ）求证： （ⅱ）若，恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线l距离的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2026届高三学年联合模拟考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合 ，进而求得. 【详解】，解得， 所以，所以. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数运算法则计算即可得. 【详解】. 3. 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（ ） A. 81 B. 72 C. 36 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 4. 三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，， 是的中点，则直线与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与 所成角，求出、、 的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与 所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与 所成角的余弦值为. 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数中得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】由，即，得， 所以，则． 故选：D. 6. 古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（ ） A. 40000km B. 41000km C. 42000km D. 43000km 【答案】B 【解析】 【分析】根据整个圆周为，利用两地的弧长占地球周长的比例求解即可. 【详解】由平行线内错角相等，得， 由题意可知，两地距离大约800km则弧长， 所以圆周长， 所以估算得出的地球周长最接近的为41000km． 7. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 故选：C 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， ，的对称轴为，，， 所以函数的值域为， 又，且，在上单调递减， 要使方程有唯一解，则的取值集合为， 所以，记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得， 所以实数 的取值范围是． 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一条对称轴为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得图象的一条对称轴为，B正确； 对于C，由，得，则函数在上不单调，C错误； 对于D，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度得的图象， 而函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，D错误. 10. 已知抛物线的焦点为 ，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ） A. 若，则点P的坐标为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值. 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 11. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1nm工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，假设试产期共有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件／天） 甲 200 乙 500 丙 300 试产期检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．则下列选项中正确的是（ ） A. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 B. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自乙生产线的概率为 C. 若计算机4次生成的数字之和为，则 D. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用全概率公式计算可判断A的真假；利用条件概率公式进行计算可判断B的真假；利用二项分布的有关计算可判断C的真假；先探索的递推公式，再根据递推公式求通项公式可判断D的真假. 【详解】对于A：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B， 这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件，，， 则由 ，故A正确； 对于B：由A选项的解析可知，故B正确． 对于C：因为，， 所以，故C错误； 对于D：由， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以，故D正确； 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 13. 如图，已知正方形 的边长为2，且F为AD边中点，与交于点 ，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形 中，因为 为AD中点，所以，且， 则， 则 . 14. 草坪上有一个带有围栏的边长为6m的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】通过正弦定理、割补法计算平面几何图形面积，基本不等式求解. 【详解】依题意，要使手电筒在内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过边，如图，在正中，，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，最大值为． 若，，， 若，，， 所以，最大值为． 四、解答题（共77分） 15. 数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ① ，； ② ，，，成等差数列； ③，； （1）分别求出数列与的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】（1）选择任一条件都有， （2） 【解析】 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【小问1详解】 若选①，设的公比为 ，则，且， 解得， ，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为 ，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为 ，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 【小问2详解】 数列满足，则， 所以 ． 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为2的等边三角形，三棱锥的体积为，点 在棱上，，求二面角的大小． 【答案】（1） 因为，是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再由平面与平面垂直的性质定理进行求解； （2）法一，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；法2，过E作交BD于H，过H作于G，连.则为二面角的平面角，进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， ， 由（1）知平面，三棱锥的体积为， 所以． 法1：，，，，， 所以，， 设为平面的法向量， 则由，， 得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以， 由观察知二面角为锐角，所以二面角大小为45°， 法2： 过E作交BD于H，过H作于G，连， 因为平面BCD，所以平面BCD． 因为平面BCD，所以． 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，， 得， 得， 由，得，而， 得，得，而， 得，得， 在中，， 所以， 所以二面角的大小为 ． 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【答案】（1）当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当 时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【小问1详解】 由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当 时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问2详解】 略 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； （3）已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 （3）【解析】 【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算. （2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12人样本中第一组和第二组的人数，进而得到的可能取值，求其概率，可得的分布列. （3）先得到答对3题的概率，设，分析函数的单调性，求最大值的值. 【小问1详解】 估计平均年龄为. 【小问2详解】 由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 【小问3详解】 从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以． 19. 已知离心率相同的椭圆与椭圆分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆 （1）求 ， （2）设直线l与椭圆相交于两点，与椭圆相交于两点，且A在线段BD上 （ⅰ）求证： （ⅱ）若 ，恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线l距离的取值范围 【答案】（1）， （2）（ⅰ）由（1）知，， 当斜率k不存在时，显然成立； 当斜率k存在时，设直线l为，，，，， 联立得，， ， 韦达定理， 设中点为，则，， ， 联立得，， ， 韦达定理， 设中点为，则，， ， 和Q重合， ， ， （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由点及两椭圆离心率相同进行列式求解即可； （2）（ⅰ）当斜率k不存在时，显然成立；当斜率k存在时，设直线l为，，，，，联立方程得到根与系数的关系，设中点为，得，得和Q重合，则进行证明； （ⅱ）分直线斜率k存在与不存在进行求解． 【小问1详解】 由题知点， ， 又因为两椭圆离心率相同， 因此，即， ，． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）①当斜率k不存在时，， 联立得，， 联立得，， 所以，计算得，所以． ②当斜率k存在时，，，， ， 平方化简得，， 直线， 所以原点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 综上，坐标原点O到直线距离的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $