精品解析：广东省江门市新会区正雅学校2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

江门市新会区正雅学校2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 （时间；120分钟，满分；120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A. B. 0 C. π D. 7 2. 半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（ ） A. 常量是2；变量是C，π，r B. 常量是2π；变量是C，r C. 常量是2π；变量是r D. 常量是2；变量是C，r 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点都在直线上，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 关于的方程的解为 C. 当时， D. ， 8. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线一定相等 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 9. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 10. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移4个单位长度后，所得图象对应的解析式为__________． 13. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： （1）线段的长为_____，的长为______； （2）请连接，判断的形状，并说明理由． 18. 一次函数的图象过，两点． （1）求函数的表达式． （2）试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，且，求线段的长． 20. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 21. 【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． （1）化简： ； （2）【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 探究下列问题： 【问题提出】 （1）如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，求四边形的周长． 【问题解决】 （4）如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）请直接写出当时，的解集； （3）若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； （4）为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市新会区正雅学校2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 （时间；120分钟，满分；120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A. B. 0 C. π D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件求出，再验证选项即可． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数，解得． 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，不符合； 选项D：，符合条件； 故选：D． 2. 半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（ ） A. 常量是2；变量是C，π，r B. 常量是2π；变量是C，r C. 常量是2π；变量是r D. 常量是2；变量是C，r 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，理解常量，变量的定义是解题的关键． 根据变量和常量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量． 在圆的周长公式中，周长随半径的变化而变化，而和是固定值． 【详解】解：圆的周长公式为，其中表示周长，表示半径． 当半径变化时，周长也随之变化，因此和是变量． 公式中的和是固定不变的常数，属于常量． 故选：B． 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 在中，是的中线， ， 故选：A． 4. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，依次判断各选项中的三角形是否为直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：A：，，，则，由勾股定理逆定理得是直角三角形，不符合要求； B：设三边长为，，（），则，由勾股定理逆定理得是直角三角形，不符合要求； C：，且，是直角三角形，不符合要求； D：设三个内角为，，，则，解得， 三个内角分别为，，，没有直角，不是直角三角形，符合要求． 5. 已知点都在直线上，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，y的值随x的值增大而减小． 由可知y随x的增大而减小，结合可得结论． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在直线上，且． ∴． 故选D． 6. 如图，五边形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 7. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 关于的方程的解为 C. 当时， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故A、D错误； 又∵图象与x轴交于（-2，0）， ∴kx+b=0的解为x=-2，故B正确； 当x＞-2时，图象在x轴上方，y＞0，故C错误； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线一定相等 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质逐一分析选项． 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等．矩形的对角线才相等，故A错误． B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（菱形的定义），故B正确． C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形．正方形需满足对角线垂直且相等，故C错误． D. 矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当其为正方形时成立，故D错误． 故选：B． 9. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 10. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移4个单位长度后，所得图象对应的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 本题考查了一次函数平移问题，掌握一次函数平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将函数的图象向下平移4个单位长度后，所得图象对应的解析式为 ． 故答案为：． 13. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，再根据菱形面积计算公式可得，据此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先算乘法，再化简各个二次根式，最后合并同类二次根式的顺序计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： （1）线段的长为_____，的长为______； （2）请连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）是直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据网格与勾股定理计算即可； （2）运用勾股定理逆定理计算即可． 【小问1详解】 解：，， ∴长为，的长为， 故答案为：， 【小问2详解】 解：是直角三角形， 理由如下：连接， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴为直角三角形． 18. 一次函数的图象过，两点． （1）求函数的表达式． （2）试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在函数的图象上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可. 【小问1详解】 解：设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得， 即； 【小问2详解】 解：在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，且，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由即可证明结论成立； （2）求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 20. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】（1）消防车距离着火楼距离是15米 （2）消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 21. 【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． （1）化简： ； （2）【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）矩形是黄金矩形．证明见解析 【解析】 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． 【小问3详解】 解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 探究下列问题： 【问题提出】 （1）如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，求四边形的周长． 【问题解决】 （4）如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质求解，证明四边形是平行四边形即可得到答案． （2）证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （3）由（2）得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解． （4）如图，取的中点，的中点为F，证明在与的距离为的线段上运动，当时最小，此时四边形为矩形，四边形是矩形，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：①∵菱形的边长为10，对角线的长为16，记对角线的交点为， ∴，，，，， ∴，， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由（2）得：，，四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长． 【小问4详解】 解：∵矩形，， ∴，，， 如图，取的中点，的中点为F，取的中点，的中点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在与的距离为的线段上运动， ∴当时最小，此时， 此时四边形为矩形，四边形是矩形， ∴，共线，， ∴，， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）请直接写出当时，的解集； （3）若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； （4）为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）的解集为 （3）符合条件的点或 （4）存在，或，求解过程见解析 【解析】 【分析】（1）先将代入，得出，进而求得，，根据题意得出，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象直接写出解集即可； （3）根据，，得出，分两种情况讨论，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，，分三种情况讨论，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，根据中点坐标公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 由题意可得出当时，满足. 故x的解集为； 【小问3详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； 【小问4详解】 解：存在，或 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴，解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $