解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦圆与解直角三角形、相似的综合计算，以典型例题和变式题构建知识网络，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解直角三角形与圆|例3+变式3|圆的性质（直径、切线等）与三角函数、勾股定理综合证明计算|以圆的性质为基础，通过构造直角三角形实现边角转化，培养空间观念| |相似的性质与圆|例3+变式3|圆中相似三角形判定与性质的综合应用|利用圆的圆周角、切线等性质构建相似模型，通过比例线段解决计算问题，发展推理能力|

解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 考点目录 解直角三角形与圆中的计算问题 相似的性质与圆中的计算问题 考点一 解直角三角形与圆中的计算问题 例1.(2026上海虹口三模)如图1，已知AC是半圆O的直径，点D为OA延长线上一点，点B为AC上一点， 连接BD交半圆O于点E,点P为半径OA上一点，连接PE B 图1 图2 A (备用图) (备用图) (1)如果OA2=OP.OD,求证：△DEP∽△D0B; 2如图2，∠40B=90°，BE:ED=2:3,如果△EPA是以AE为腰的等腰三角形，求的值 (3)当cos∠B0C=时，如果B0∥AE，AP=3,AE平分∠PED,求CD的长. 【答案】()证明：连接BP、OE,如图， B P A 根据圆的半径相等可知：OA=OB=OE, OA2=OP.OD, :OE2=OB2=OA2 OP.OD, OB _OD OE _OD OP OB'OP OE' ∠BOP=∠DOB,∠EOP=∠DOE, △BOP∽△DOB,△EOP∽△DOE, ∴∠OBP=∠ODB,∠OEP=LODE, ∠OBP=∠ODB=∠OEP, 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 ∴点B、E、O、P四点共圆， ∠BEO=∠BPO, ×LB0D=180°-∠0BP-∠BP0,∠PED=180°-∠BE0-∠0EP, ∠BOD=∠PED, ∠BDO=∠PDE, .△DEPn△D0B ②，或5-10 3 5 (3)18 【分析】(1)通过己知的线段之间的关系证明△B0P∽△DOB,△EOP∽△DOE,据此证明点B、E、O、P四点共 圆，再利用三角形内角和为180°以及平角为180°，证明∠B0D=∠PED,问题随之得证； (2)连接BC,过点E作EM⊥OD于点M,设BE=2k,ED=3k,即BD=5k,K>0,设圆的半径为r,即 OC=OB=OA=r,r>0,根据四边形AEBC内接于圆O,证明∠AED=∠BCD,进而证明△EDAn△CDB,由此可 根据线段之间的比例用k、r表示出AD,进而可以表示出OD,再在△DOB也表示出OD,两个式子相等，即可求 出k、r之间的数量关系；根据△EPA是以AE为腰的等腰三角形，分类讨论：当AE=PE时，过点B作BG⊥CD于 点G,再根据平行线分线段成比例，可以用k表示OM、AM、OP,即可求解；当AE=AP时，直接利用已经证 明的△EDAACDB,表示出AE,即有AP,则OP=OA-AP,问题得解； (3)连接BC,根据已知的余弦值表示出G0、BO之间的关系，设G0=1,B0=3t,进而可表示出CO、BG、 BC、BG,结合四边形AEBC内接于圆O,证明∠OBD=LBCD,进而证明△ODB△BDC,，可得BD、DA之间的 关系式，再在Rt△BGD中，又可得到一个BD、DA之间的关系式，进而可用t表示出DA,则可表示出BD,再根 据平行线分线段成比例，可以用t示DE，再证明△PDE∽△BDO,即可求出t值，问题随之得解. 【详解】(1)略 (2)解：连接BC,如图， B P BE:ED=2:3, 设BE=2k,ED=3k,即BD=5k,k>0, 设圆的半径为r,即0C=OB=0A=r,r>0, LA0B=90°， BC=2r, 2 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 :.CD=AC+AD=2r+AD,OD=0A+AD=r+AD, 四边形AEBC内接于圆O, ∴∠BCA+LAEB=180°， ∠AED+∠AEB=180°， ∴LAED=∠BCD, ∠EDA=∠CDB, ∴△EDA∽△CDB, .CD BC BD DE=F=2r+AD=2r-5k 3k AE AD (2r+AD)AD =15k2, 解得：AD=V15k2+r2-r(负值舍去)， 六0D=AD+r=V15k2+r2，即0D2=15k2+2, LA0B=90°， ∴∠D0B=90°，即△DOB是直角三角形， ∴0D2=BD2-B02,即0D2=25k2-r2, 15k2+r2=25k2-r2,解得r=5k, 即0D=V15k2+r2=25k, 根据△EPA是以AE为腰的等腰三角形，分情况讨论： 当AE=PE时，过点E作EM⊥OD于点M,如图， B O PMA 1 ∴PM=MA=5PA, 2 EM⊥OD,B0⊥OD EM∥B0, 品器总益 DM OM' 2k .OM=于 (DM+OM)-20D, 2k+3k 5 OM=20D=45k, 5 5 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 ÷4M=OA-OM=5k, *PM=AM=5 5 OP=0A-PM-4M=356, 5 3W ∴.OP 35k 5 k3; 一= BO 5k 5 当AE=AP时， △EDA∽△CDB, BC BD 即② 5k AEV15k2+2- 解得：AE=√2k, ·AP=AE=√2k, ∴0P=0A-AP=V5k-V2k, OPV5k-√2k_5-10 BO 5k 5 综上： 的为我-， BO 5 (3)解：连接BC,过点B作BG⊥CD于点G,如图， B E GOP A D BG⊥CD, ∴cos∠BOC= GO B0, :cs∠B0C= 1 cos∠BOC= G01 B03' 设G0=1,B0=31, ∴C0=0A=B0=31,CG=21,BG=VB02-G02=2V21, ÷BC=VBG2+GC2=2V5t, BO∥AE, 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 ·∠AED=LOBD, 四边形AEBC内接于圆O, ∴∠BCA+LAEB=180°， ∠AED+∠AEB=180°， ∠AED=∠BCD, LOBD=∠BCD, ∠ODB=∠BDC, AODB∽△BDC, OD BD OB 31+AD BD 3t BD CD-BC 即 BD 6t+AD2√3i' :.BD2=(6t+AD)(3t+AD)=AD2+9tAD+1812, BG⊥CD, ∴在Rt△BGD中，BD2=GD2+BG2, 即BD2=(G0+0A+AD)2+2V21=(4+AD2+22, AD2+9AD+18r2=(4+AD)2+2W2, 解得AD=6t, 即BD=V41+AD)2+2W2=65, BO∥AE, DOD,即DE DE AD 6t6t2 BD OA+AD 9t 3' D 6t 6t2 BD OA+AD93' :DE=2BD=45, 3 B0=C0, ∠CBO=∠BC0, ∠B0D=∠CB0+∠BC0=2LBC0, AE平分∠PED, ∠PED=2∠AED, 又∠AED=∠BCD, ∠PED=∠BOD, 又LPDE=LBDO, U 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 APDE∽△BDO, BD-DOPD-DExBDx6 PD DE -=81, DO 9t AP=3,AP+AD=PD 3+61=8t, 3 CD=C0+0A+AD=121=18· 例2.(2026天津南开·三模)AB,AC分别与⊙0相切于B,C两点，BD是O0的直径.过点C作CF∥AB交 BD于点E,交OO于点F.连接OC,BF. B E B 图1 图2 (I)如图1，若LBAC=66°，求∠CED和∠BFC的大小： (2)如图2，连接AE,若∠BAC=120°，且⊙0的半径为6，求线段AE的长. 【答案】(1)∠CED=90°，∠BFC=57 (2)√21 【分析】(1)根据圆的切线的性质以及四边形内角和定理求出∠BOC,再由圆周角定理以及平行线的性质求解； (2)连接40，由圆的切线的性质以及切线长定理得到∠B0A=∠C0A=∠B0C,求出∠B0C=60°，再解 2 Rt△ABO和Rt△CEO,最后运用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：AB,AC分别与OO相切于B,C两点， ∠AB0=∠AC0=90°， ∠A+∠B0C=360°-∠AB0+∠AC0=180°， ∠BAC=66°， ∠B0C=114°， ∠BFC=∠B0C=57°： 2 CF∥AB, ∴∠CED=∠AB0=90°； 6 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 (2)解：如图2，连接A0, 图2 ~AB,AC分别与⊙0相切于B,C两点， ÷LAB0=LAC0=90°，∠B0A=∠C0A=∠B0C, ∠A+∠B0C=360°-∠AB0+∠AC0）=180°， ∠BAC=120°， .∠B0C=60°， 在R1△AB0中，AB=B0an∠B04=6x5 =25, 在Rt△CE0中，OE=OC×cos∠BOC=6×二=3， ..BE=BO-OE=3, ·AE=VAB2+BE2=√21· 例3.(2026辽宁葫芦岛一模)如图，BC是⊙0的直径，点A、E在O0上，过点A作AD1BC于点D,且 AB=AE,连接BE分别交AD,AC于点F,G. A E G (I)求证：FA=FB: (2)若BD=D0=1,求EC的长度. 【答案】(I)证明：~BC是O0的直径， ∠BAC=90°， ∠BAD+∠CAD=90°； 又AD⊥BC, ∴∠ADC=90°， 7 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 ∠C+∠CAD=90, ∠C=∠BAD: 又“AB=AE, ·∠C=∠ABE(等弧所对的圆周角相等)， ∠BAD=∠ABE, FA=FB(等角对等边). @e号 【分析】(1)利用AB=AE得到等弧所对圆周角相等，再结合直径所对的圆周角为直角、AD⊥BC的条件，通过 角的互余关系证明∠BAD=∠ABE,从而得到FA=FB; (2)先根据BD=D0=1求出圆的半径和相关线段长度，再通过三角函数求出圆心角，最后代入弧长公式计算EC 的长度。 【详解】(1)略 (2)解：连接A0,EO,如图所示： BD=D0=1, B0=2, A0=B0=2; AD⊥BC, ∴.∠ADO=90°： 在Rt△AD0中，0D=1,A0=2, cos∠AOD=), ∠AOD=60°，即∠AOB=60°； 又~AB=AE, ∠AOE=∠AOB=60°， ∴.∠E0C=180°-60°-60°=60°， .nπr_60°π×22元 lc=180=1803 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 变式1.(2026·四川成都模拟预测)如图，ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，∠ACB的平分线分别交AB, OO于点D,E,过点E作EG⊥CB交OO于点F,交CB的延长线于点G,连接CF. E (I)求证：BC=EF; (2)若AC=4,BC=2,求CF及CD的长. 【答案】(1)证明：：AB是⊙O的直径， LACB=90°， 又EG⊥BC, ∠G=90°=∠ACB, ..ACI EF, ∠ACE=∠CEF, AE=CF, :CE平分∠ACB,∠ACB=90°， LACE=∠BCE=45°， .AE BE, .BE CF' BE-BF=CF-BF,即BC=EF. BC=EF CF=0,CD-42 3 【分析】(1)突破口是AB为直径，根据圆周角定理，可得LACB=90°，结合EG⊥CB,可推出AC川EF,因此可 得弧AE等于弧CF.因为CE是∠ACB的角平分线，所以可得到弧AE等于弧BE,进而推导弧BC等于弧EF,根 据同圆中等弧对等弦即可证明结论， (2)由(1)的结论可知EF=BC,先利用勾股定理求出AB的长，再结合角平分线得到E点位置，计算出CE的 长，通过证明aCEF为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解CF.过点C作CH⊥AB,过点D作 DM⊥AC,DN⊥CB,利用角平分线的性质得到AD与DB的比值，结合AB的长度求出AD、DB的长，再通过相 似关系求出CH,BH的长，最后利用勾股定理求解CD. 0 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 【详解】(1)略 (2)解：：AC=4,BC=2,∠ACB=90°， 由勾股定理得直径AB=√AC2+BC2=V4+22=25,O0半径为√5. 由(1)知BC=EF=2,且AE一=BE一，AB为直径， ∴△AEB是等腰直角三角形， .AE=BE=AB·sin∠ABE=VI0. 又AE=CF, ..CF=AE=10. 如图，连接AE,BE,过点C作CH⊥AB,过点D作DM⊥AC,DN⊥CB, M BCE是LACB的平分线， E :DM DN 1 1 S.4CD=2 D.CH AC.DM DB.CH BC.DN 2 AD AC 4 DB BC2=2, AD+DB=AB=25, AD=45 DB-2 3 3, ∴.∠CHA=∠ACB=90°，∠A=∠A, △ACH∽△ABC, AC CH AH AB-CB-AC' B25=芳，Ah=4C-168w5 CH=4C·BC-4×24V5 AB 25 5 HD=AH-AD=85_4545 5315 10 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 在R1aCHD中，由勾股定理：CD=√CH+HD2= - 变式2.(2026广东江门二模)如图，Rt△AEF中，∠AEF=90°，点O为边AF上一点，以O为圆心，OA为半径 的圆与AE交于点C,与EF相切于D,点P为OO上一点， B (1)求证：BD=CD. 1 ②)若sin∠APC=写'BF=2,求AE的长. 【答案】(1)证明：连接BC,OD,如图， B ,EF是⊙O的切线， 0D⊥EF, AB是OO的直径， ∠ACB=90°， ∠AEF=90°， BC∥EF, 0D⊥BC, ∴BD=CD, :.BD=CD. a 【分析】(1)结合切线的性质得OD⊥EF,根据圆周角定理，得LACB=90°，则BC∥EF,最后由垂径定理进行 解答即可； (2)根据圆周角定理，得LAPC=∠ABC,得∠APC=∠F,把数值代入sinF=OD =sin∠APC,解得r=l.则 OF AP=BF+2r=4,再把数值代入进行计算，则4E=· 4 11 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 【详解】(1)略 (2)解：“AC=AC,BC∥EF, ∴∠APC=∠ABC,∠F=∠ABC, ∠APC=LF, 设00的半径为， ∴0F=BF+r=2+r, ".sin F= D-y=sin∠aPc=; OF r+2 r=1, ∴AF=BF+2r=4, ∴sinF=AE=AE1 AF-431 AB=4 变式3.(2026陕西·模拟预测)如图，AB为O0的直径，OE⊥AB,BE与⊙0相交于点C,点D在OE上，且 CD与⊙0相切. E (I)求证：ED=CD. (2)连接AD,交O0于点F,连接BF,已知LE=22.5°，DE=6,求弦BF的长 【答案】(1)证明过程见解析： (2)弦BF的长为4V6 【分析】(1)连接0C,由切线的性质，可得∠0CD=90°，可得∠DCE+∠0CB=90°，由直角三角形的两个锐角 互余，可得∠E+∠OBE=90°，由等边对等角，结合等角的余角相等，可得∠E=∠DCE,由等角对等边，即可证 得结论； (2)由三角形外角的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得∠CD0=∠COD,可得C0=CD,根据勾股定 理，可得0D,AD,可得sin∠A=D,由直径所对的圆周角是直角，可得∠4FB=90°，可得sn∠A-BF AD B，即可 得弦BF的长 【详解】(1)证明：连接0C, 2 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 CD与O0相切， CD⊥0C, ∠0CD=90°， .∠DCE+∠0CB=180°-90°=90°， OE⊥AB, ∠B0E=90°， ∠E+∠OBE=90°， 0B=0C, L0BC=∠OCB, ∠E=LDCE, .ED =CD (2)解：LE=∠DCE,∠E=22.5°， ∠DCE=22.5°， ∠0DC=22.5°×2=45°， ∠0CD=90°， ∠C0D=90°-45°=45°， ∠CD0=∠C0D, ..CO=CD, ED=CD,DE=6, C0=CD=DE=6, ∴0D=V62+62=62,0A=0B=0C=6, AD=V04+0D2=62+(6V2=6V5,AB=6x2=12, “sin∠A=OD_62_V6 AD6W5=3’ ~AB为O0的直径，点F在O0上， 13 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 ∠AFB=90°， sin∠A= BF BF AB12' 123 ∴BF=4V6. 14 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 考点二 相似的性质与圆中的计算问题 例1.(2026贵州遵义·模拟预测)将等腰直角三角板ABC与⊙0按如图方式摆放，点A在⊙0上，AB,BC,CA 边与OO分别交于D,E,F,G,且E,F两点对应的数分别为O,3,连接DF,FG,AF,OF. G linlmmhis E (I)写出一个与∠GAF相等的角 ,若∠GAF=24°，则LG0F= (2)若OF=2,求点O到EF的距离； (3)AF交DG于点M,sin/GAF≈0.4，若OF=2MG=2,求AG的长度. 【答案】(1)∠GDF,48 2 (3)2.43 【分析】(1)由圆周角定理即可得出结果； (2)过点0作0H18C交8C于点H,由垂径定理可得EH=F一F一号、再结合勾股定惠计菜即可得出结果： (3)过点F作FN⊥DG交DG于点N,先证明出LFDG=LGFN=LGAF,再解直角三角形得出GF≈1.6， NG≈0.64，求出MN=0.36,由勾股定理计算得出MF≈1.51，证明△DMF∽△AMG,由相似三角形的性质即可得 出结果。 【详解】(1)解：~GF=GF, LGDF=∠GAF, 若∠GAF=24°，则∠G0F=2LGAF=48°； (2)解：如图：过点O作OH⊥BC交BC于点H, 1 D ·EH=HF=EF=3 2 2 ILLwH B H 在R1a0HF中，F=,那- 3 故根据勾股定理得：OH=VOp:-HF-万 2 15 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 即点0到EF的距离为V7 (3)解：过点F作FN⊥DG交DG于点N, ∠GFN+∠FGN=90°. 】 B :DG是直径， :.∠DFG=90°， .∠FDG+∠FGN=90°. :∠FDG=LGFN. GF=GF, .∠GAF=∠FDG, 即LFDG=∠GFN=LGAF. :sin∠GAF≈0.4，半径为2， .sin∠FDG=sin∠GFN=sin/GAF≈0.4， GF_NG≈0.4， DG FG GF NG ≈0.4， 解得：GF≈1.6，NG≈0.64. .0F=2MG=2,即MG=1, .MN=0.36. 在Rt△DFG中，有DF2=DG2-FG2, 解得DF≈3.67. 在Rt△FNG和Rt△FNM中，有FG2-GW2=MF2-MN2, 解得：MF≈1.51. :∠GAF=∠GDF,∠AMG=DMF, ..ADMFAAMG. DF MF AG MG 即3.67、1.51 AG 1 AG≈2.43， 16 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 即AG的长为2.43. 例2.(2026陕西榆林·模拟预测)如图，A,B,C,D均在⊙0上，且AB经过圆心，D为AC的中点，连接BC并 延长，交OO的切线DE于点E,连接AD,BD. B (1)求证：∠E=90°； (2)若AD=10,DE=8,求BC的长. 【答案】(1)见解析 14 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得到∠ODE=90°，根据D为AC的中点，推出∠ABD=∠DBE,进而证明 ∠DBE=∠ODB,得OD∥BE,根据平行线的性质即可证明∠E=90°； (2)连接CD,由D为AC的中点，得AD=CD=10,根据勾股定理求出EC,根据内接四边形的性质推出 ∠ECD=∠A,进而推出∠EDC=∠ABD=∠DBE,证明△ECD∽AEDB,根据相似三角形对应边成比例求出EB,再 根据BC=EB-EC即可求解。 【详解】(1)证明：如图，连接0D, DE是⊙O的切线， .OD⊥DE,即∠0DE=90°， D为AC的中点， 4D=CD, .∠ABD=∠DBE, 又0B=0D, .∠OBD=∠ODB, .∠DBE=∠ODB, .OD∥BE, LE=180°-L0DE=90°； 17 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 (2)解：如图，连接CD, D为AC的中点， .AD=CD=10, 由(1)知∠E=90°， 在Rt△CDE中，DE=8,则CE=VCD2-DE2=6, ~AB为O0的直径， ∠ADB=90°， LA+LABD=90°， 由题意可得四边形ABCD内接于⊙O, .∠A+∠BCD=180°， 又∠DCE+∠BCD=180°， ∠ECD=LA, 又∠E=90°， ∴.LEDC+∠ECD=90°， .∠EDC=∠ABD=∠DBE, AECD∽aEDB, 、ED_EC EBED，即 8-6 B8' 解得：EB=32 BC=EB-EC-32-6=14 3 3 例3.(2026陕西西安三模)如图，⊙0是ABC的外接圆，且AC=BC,连接BO并延长交⊙0于点E,交O0的 切线CF于点F. 18 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 C (1)求证：CF∥AB; (2)若CF=3V5,EF=3,求AB的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)45 【分析】(1)连接CO,并延长交⊙0于点G,连接AG,BG,再根据等腰三角形的性质和直径所对的圆周角是直角 可得∠GAB=∠GBA,进而得出AG=BG,即可得CG是AB的垂直平分线，即∠AHC=90°，然后根据切线的性质 得∠FC0=90°，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； (2)设0C=0E=r,根据勾股定理得CF?+C02=F02,可得r=6,进而得0C=0E=0B=6,0F=9,再说明 △OCF∽△OHB,可求出BH=2√5，最后根据垂径定理得出答案. 【详解】(1)证明：连接C0,并延长交00于点G,连接AG,BG, ~CG是00的直径， ∠CBG=∠CAG=90°. AC=BC, ∠CAB=∠CBA, ∠CAG-∠CAB=∠CBG-∠CBA, 即∠GAB=∠GBA, AG=BG, CG是AB的垂直平分线，即∠AHC=90°. CF是OO的切线， ∠FC0=90°， ∠FC0+∠AHC=180°， CF∥AB: 19 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 H B G (2)解：设0C=0E=r, 在Rt△CF0中，CF?+C0=F02,CF=3V5,EF=3, 即(35)2+r2=3+r)2, 解得r=6, ∴0C=0E=0B=6,则0F=9. CF∥AB, ∠F=∠OBH. ,∠OCF=∠0HB=90°， .△OCF∽△OHB, CF OF BH OB 即359 BH-6' 解得BH=2√5. CH⊥AB, AB=2BH=45. 变式1.(2026·内蒙古通辽·三模)如图，点0在ABC的边AC上，以0C为半径的O0与AB相切于点D,与BC相 交于点E,EF为O0的直径，FD与AC相交于点G,OC=3,∠F=45°. 20 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 (1)求DE的长； (2)求证：AB=AC； ③)若sm4=号，求DG的长. 【答案】)le=2 3 (2)证明：00与AB相切于点D, .∠0DB=90°， ∠D0E=90°， .FE∥AB, :LCE0=∠B, :0C=0E, .∠CEO=∠OCE, ∠B=∠OCE, :AB=AC. 806.1号6 【分析】(1)由等边对等角得出L0DF=∠F=45°，由三角形内角和定理以及平角的定义得出∠D0E=90°，再由 弧长公式求解即可， (2)由切线的定义得出∠ODB=90°，根据平行线的判定和性质得出∠CEO=∠B,根据等边对等角得出 ∠CEO=∠OCE,等量代换可得出∠B=∠OCE,根据等角对等边即可得出AB=AC. 《③由正骇的定义以及勾股定理容出0，由相议三角形的判定和性质得出6-折进而可求出DG,一 【详解】(1)解：连接0D, D 0F=0D,∠F=450 21 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 ∠0DF=∠F=45°， .∠F0D=90°， ∠D0E=90°. :0C=0E=3, 90×π×33 oE= 180 （2)略 3 (3)解：sinA= 5 OD 3 0A5 0D=3, ∴.0A=5, AD=VA02-0D2=4, .FE AB, 在Rt△FOD中，F0=OD=3, ∴FD=VF02+0D2=3√2， ∠F0G=∠A, :∠FG0=∠DGA, △FG0n△DGA, FG OF 3 GD AD4' 变式2.(2026·云南楚雄一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AC是⊙0的直径，点B是半圆ABC的中点，点D是 ADC上一动点（不与点A,C重合），连接CD,BD,BD交AC于点G. D D H D G B B B ① ② ③ (I)如图①，过点B作BF∥AC,交DA的延长线于点F,求证：BF与OO相切； 22 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 Q知图②，过点G作GH1DC,垂足为点H,若AC=0,-求cG的长； (3)如图③，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC,连接AE,当点D在ADC上运动时，探究线段AE,BD,CD之 间的数量关系，并说明理由， 【答案】(1)证明：如图，连接OB. D 0 G C:Q0是ABC的外接圆，AC是⊙0的直径，点B是半圆ABC的中点， B LBAC=∠ACB=45°，OB⊥AC, LAB0=45°. :BF∥AC, OB⊥FB, :点B在00上，且OB是⊙0的半径， .BF与⊙0相切. @9 (3)AE2=2BD2+CD2; 理由如下： 如图，作BM⊥BE,使得BM=BE,连接EM,CM.则LBEM=45°， D :∠ABC=∠EBM=90°， M :∠ABE=∠CBM :BA=BC,BE BM, ∴△ABE≌aCBM(SAS), 23 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 :AE CM. ∠BEC=∠BDC=∠BAC=45°， ∠BEC=∠BDC=LBEM=45°， ∠CEM=90°， ∴CM2=EM2+EC2, :EM 2=2BE2=2BD2,EC=CD, .AE2 =2BD2+CD2. 【分析】(1)连接OB,由⊙O是ABC的外接圆，AC是OO的直径，点B是半圆ABC的中点，得出 ∠BAC=∠ACB=45°，OB⊥AC,再结合平行线的性质可推出结论； (2)证明GHC&ADC,， G=}在RIACGH中，设GH=3x,则DH=3江，CH=4,CD=7x,得盟 0即共0 0,从而得出结果 (3)作BM⊥BE,使得BM=BE,连接EM,CM·证明△ABE≌△CBM(SAS),得出AE=CM,推出 CM2=EM2+EC2,进而可推出结论. 【详解】1)略 (2)解：：点B是半圆ABC的中点， LADB=∠CDB. :AC是00的直径， .LADC=90°， ∠CDB=45°， .DH =GH. GH⊥DC, ∠GHC=∠ADC=90°， 又∠GCH=∠ACD, △GHC∽△ADC. GH 3 CH4' 在Rt△CGH中，设GH=3x,则DH=3x,CH=4x,CD=7x, CH CG CDCA'即 4x CG x10 c-9 24 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 c6的长是9 (3)略 变式3.(2026湖南娄底三模)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，以AD为直径作⊙0交AB于点E,交BD 于点H,BD平分∠ABC,CD与OO相切于点D. C A E B (I)求证：AB=AD; (2)若BC=6,DH=5,求⊙0的半径 【答案】(1)证明：BD平分∠ABC,CD为OO的切线， ∠CBD=∠DBA,AD⊥CD,∠ADC=90°， :LADB+∠BDC=90°， :∠DBC+∠CDB=90°， ∠ADB=∠DBC, .∠ADB=∠ABD, :AB=AD 2)00的半径为25 【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠CBD=∠DBE,由切线的性质证明∠ADB=∠DBC,进一步即可得到结论； ②)连接H,得到4D:90,进而得出D1=∠08，得到品瓷。求将D=宁即可符到答案。 【详解】(1)证明：略； (2)解：连接AH, D H A 公 AD为OO的直径， ·∠AHD=90°，即AH⊥BD, 25 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 AB AD, :.BH=DH=5, BD=10, ∠AHD=∠C=∠ADC=90°， ∠ADH+∠CDB=∠ADH+∠DAH=90°， ∠DAH=∠CDB, ADAH∽△BDC, AD DH ,即D、5 BD BC 10=6' 25 :.AD= 3 25 “00的半径为 6 26解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 解直角三角形与圆中的计算问题、相似的性质与圆中的计算问题专项训练 考点目录 解直角三角形与圆中的计算问题 相似的性质与圆中的计算问题 考点一 解直角三角形与圆中的计算问题 例1．（2026·上海虹口·三模）如图1，已知是半圆O的直径，点D为延长线上一点，点B为上一点，连接交半圆O于点E，点P为半径上一点，连接． (1)如果，求证：； (2)如图2，，，如果是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)当时，如果，，平分，求的长． 例2．（2026·天津南开·三模），分别与相切于，两点，是的直径．过点作交于点，交于点．连接，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，若，且的半径为，求线段的长． 例3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，BC是的直径，点A、E在上，过点A作于点D，且，连接BE分别交AD，AC于点F，G． (1)求证：； (2)若，求的长度． 变式1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，是的内接三角形，为直径，的平分线分别交，于点D，E，过点E作交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 变式2．（2026·广东江门·二模）如图，中，，点O为边上一点，以O为圆心，为半径的圆与交于点C，与相切于D，点P为上一点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 变式3．（2026·陕西·模拟预测）如图，为的直径，，与相交于点，点在上，且与相切． (1)求证：． (2)连接，交于点，连接．已知，，求弦的长． 考点二 相似的性质与圆中的计算问题 例1．（2026·贵州遵义·模拟预测）将等腰直角三角板与按如图方式摆放，点在上，，，边与分别交于，，，，且，两点对应的数分别为0，3，连接，，，． (1)写出一个与相等的角________，若，则________； (2)若，求点到的距离； (3)交于点，．若，求的长度． 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，A，B，C，D均在上，且经过圆心，D为的中点，连接并延长，交的切线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例3．（2026·陕西西安·三模）如图，是的外接圆，且，连接并延长交于点，交的切线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式1．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)若，求的长． 变式2．（2026·云南楚雄·一模）如图，是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点，点是上一动点（不与点，重合），连接，，交于点． (1)如图①，过点作，交的延长线于点，求证：与相切； (2)如图②，过点作，垂足为点，若，，求的长； (3)如图③，把沿直线翻折得到，连接，当点在上运动时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 变式3．（2026·湖南娄底·三模）如图，在四边形中，，以为直径作交于点，交于点，平分，与相切于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $