题号猜押10 江苏南京中考数学23～24题 一次函数的应用、解直角三角形的应用、反比例函数的应用、相似三角形的性质与证明（解答题）（江苏南京专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押10 江苏南京中考数学23~24题（解答题） 考点1 一次函数的应用 1．（2026•鼓楼区校级模拟）“低碳生活、绿色出行”是一种环保、健康的生活方式．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离y（km）与小丽出发时间t（h）之间的部分函数关系如图中折线段OA﹣AB所示． （1）小丽步行和小明骑车的速度各是多少？ （2）当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． 2．（2026•南京一模）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为xh，甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y（km）关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　　 km/h，乙的速度是　　 km/h； （2）分别求出S甲、S乙与x的函数关系式； （3）对比图1，图2可知：a＝　 　 b＝　 　 ；c＝　 　 ； （4）乙出发　 　　 　小时，甲、乙两人相距10km． 考点2 解直角三角形的应用 1．（2026•南京一模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　 　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （3）请直接写出格挡的宽度BT的大小（精确到1cm）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 2．（2026•南京一模）如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°． （1）在图2中，∠BCD＝　 　 ； （2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm． ①∠ACD＝　 　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，， 考点3 仰角与俯角 1．（2026•南京一模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73）． 2．（2026•南京模拟）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，求塔AB的高度（精确到1m）． （参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.509，1.414，1.732） 考点4 航向问题 1．（2026•南京一模）如图，一艘轮船从A港向南偏西52°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到行线BM的距离AD是60km． （1）若轮船的速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需要的时间； （2）C岛在A岛的什么方向？ 2．（2026•南京一模）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 考点5 反比例函数的应用 1．（2026•溧水区一模）综合与实践 如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，x与y的对应点，请您在本题图2中画出函数图象，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （3）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 2．（2026•许昌一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h,最低车速不得低于80km/h,求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围． 考点6 相似三角形的性质与证明 1．（2026•建邺区一模）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE交于点F，且∠BFC＝∠ABC． 求证：（1）△BCF∽△BDC； （2）BF•BD＝BE•CD 2．（2026•玄武区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AD＝4，BD＝1，求AC． 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A．CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．（这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）．已知AB＝80cm，AP＝50cm，∠DCE＝50°，求： （1）∠CAB的度数； （2）点P距离地面的高度．（结果精确到lcm．参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 2．（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，） 3．（2025•建邺区校级四模）如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.5小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 4．（2025•鼓楼区校级三模）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角α为10°．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝27.36cm，∠ABM＝145°，求铁架台和点F的水平距离DF的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 5．（2026•建邺区校级模拟）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． （1）求AB两地的距离；（结果保留根号） （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．） 6．（2025•栖霞区校级三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶OA与塔干OD叠合时，小青在离塔底D水平距离为80m的E处，测得塔顶部O的仰角∠DEO＝45°，测得叶片C处的仰角∠DEC＝70°．已知三片风叶OA，OB，OC两两所成的角为120°，点A，C，O，D在同一平面内，求风叶OC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据： 7．（2026•鼓楼区一模）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动距台风中心100海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，测得台风中心此时位于轮船正南方向200海里处，如果这艘轮船继续航行，3小时后，会不会遇到台风？请说明理由． 8．（2025•玄武区一模）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面AE的垂线AC，垂足为A，过点B作AC的垂线，垂足为C，斜塔AB与AC的夹角∠CAB＝5.7°，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为33.7°，塔底A的俯角为4.2°，DE＝1.6m，求塔顶B到地面AE的距离． （参考数据：，， 9．（2025•建邺区二模）如图，港口B位于港口A的南偏西63°方向，港口C位于港口A的南偏东37°方向，港口C位于港口B的北偏东79°方向．一艘海轮从港口B出发，沿正东方向航线前行．已知港口C到航线的距离为110km，求港口A到航线的距离．（参考数据：tan37°≈0.75，tan63°≈2.0，tan79°≈5.0）． 10．（2026•南京一模）某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）是其行驶路程x（km）的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为100km时，剩余电量为60kw＝h；行驶路程为200km时，剩余电量为40kw•h． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当电池电量低于20%时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 11．（2026•南京一模）某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）是其行驶路程x（km）的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为100km时，剩余电量为60kw＝h；行驶路程为200km时，剩余电量为40kw•h． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当电池电量低于20%时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 12．（2026•溧水区一模）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升30m到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为60°，对面同一水平线上的点C处的俯角为40°，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，，） （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷AC的宽度．（结果精确到1m） 13．（2025•南京模拟）已知点M（m，n）与点N关于y轴对称，将点M向右平移4个单位长度得到点P，若N，P在函数y＝﹣3x﹣2的图象上，求点M的坐标． 14．（2025•栖霞区校级三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多90℃的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温y1，y2（单位：℃）与测试时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）当测试时间为100min时，乙壶中的水温是 　 　 ℃． （2）求甲壶中的水温y1与x之间的函数关系式． （3）当甲、乙两个保温壶的温差不超过10℃时，直接写出x的取值范围． 15．（2025•鼓楼区校级三模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以a（m/s）的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m，无人机距地面的高度y（m）与时间x（s）之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度y（m）与时间x（s）的函数关系式． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值． 16．（2025•玄武区二模）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．求证：△ABE∽△EBF． 17．（2025•秦淮区二模）A，B两地相距akm，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地B，A，已知乙列车的速度是甲列车速度的1.5倍．乙列车离A地的距离y（km）与甲列车出发时间x（h）之间的函数图象如图所示，其中线段PQ∥x轴． （1）在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离y（km）与x之间的函数图象； （2）当甲、乙两辆列车相距akm时，求x的值． 18．（2025•南京二模）同一直道上的A，B两地相距320km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离A地的距离y1，y2（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）的函数关系如图所示． （1）甲车的速度是 　 　 km/h，a＝ 　 　 ． （2）求乙车休息的时间． （3）丙车与甲车同时出发，以100km/h的速度从A地匀速驶往B地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第th时开始休息，直接写出t的取值范围． 19．（2026•鼓楼区一模）如图，双曲线y（x＞0）． （1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由； （2）点P在该函数图象上，连结OP． ①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式； ②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式． 20．（2025•南京模拟）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车改变速度前的速度是 　 　 km/h，乙车行驶 　 　 h到达绥芬河； （2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数表达式，不用写出自变量x的取值范围； （3）在图②中，画出甲、乙两车的距离S（单位：km）与所用时间x（h）之间的函数图象． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押10 江苏南京中考数学23~24题（解答题） 考点1 一次函数的应用 1．（2026•鼓楼区校级模拟）“低碳生活、绿色出行”是一种环保、健康的生活方式．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离y（km）与小丽出发时间t（h）之间的部分函数关系如图中折线段OA﹣AB所示． （1）小丽步行和小明骑车的速度各是多少？ （2）当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． 【分析】（1）根据图象，小丽步行18km用时3h，由速度＝路程÷时间可求出小丽步行的速度；设小明骑车的速度为vkm/h，小明在小丽出发5h时追上小丽，根据此时二人距甲地的距离相等列关于v的方程并求解即可； （2）根据小丽步行和小明骑车的速度，由路程＝速度×时间，分别写出小丽距甲地的距离y1与小丽出发时间t之间的函数关系式、小明甲地的距离y2与小丽出发时间t之间的函数关系式，将y1＝45、y2＝45分别代入对应的函数，求出对应x的值，即各自到达乙地的时间；按照x不同的取值范围，写出小丽和小明之间的距离y与小丽出发时间t之间的函数关系式，计算出关键点的坐标并补全图中的函数图象即可． 【解答】解：（1）小丽步行的速度为18÷3＝6（km/h）； 设小明骑车的速度为vkm/h， 则（5﹣3）v＝6×5， 解得v＝15． 答：小丽步行的速度为6km/h，小明骑车的速度为15km/h． （2）∵小丽步行的速度为6km/h，小明骑车的速度为15km/h， ∴小丽距甲地的距离y1与小丽出发时间t之间的函数关系式为y1＝6x，小明甲地的距离y2与小丽出发时间t之间的函数关系式为y2＝15（x﹣3）＝15x﹣45， 当y1＝45时，即6x＝45，解得x＝7.5； 当y2＝45时，即15x﹣45＝45，解得x＝6， ∴小明先到达乙地． 当5≤x≤6时，小丽和小明之间的距离y与小丽出发时间t之间的函数关系式为y＝15x﹣45﹣6x＝9x﹣45， 当6＜x≤7.5时，小丽和小明之间的距离y与小丽出发时间t之间的函数关系式为y＝45﹣6x． ∵当x＝6时，y＝9×6﹣45＝9；当x＝7.5时，y＝45﹣6×7.5＝0， ∴C（6，9），D（7.5，0）． 连接BC、CD，即可得到整个函数图象，如图所示： 2．（2026•南京一模）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为xh，甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y（km）关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　30　 km/h，乙的速度是　12　 km/h； （2）分别求出S甲、S乙与x的函数关系式； （3）对比图1，图2可知：a＝　12　 b＝　　 ；c＝　24　 ； （4）乙出发　或或或　 小时，甲、乙两人相距10km． 【分析】（1）根据图象中的信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）首先求出当x＝1时，S甲和S乙，然后作差即可求出a；根据题意得到bh时，y＝0，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当x＝3时，S甲和S乙，然后作差即可求出c； （4）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【解答】解：（1）甲的速度是60÷（3﹣1）＝30（km/h），乙的速度是60÷5＝12（km/h）， 故答案为：30，12； （2）设S甲＝k1x+b， 将（1，0），（3，60）代入得，， 解得， ∴S甲＝30x﹣30（1≤x≤3）， 设S乙＝k2x， 将（5，60）代入得，5k2＝60， 解得k2＝12， ∴S乙＝12x（0≤x≤5）； （3）当x＝1时，S甲＝30x﹣30＝0，S乙＝12x＝12， ∴a＝12﹣0＝12（km）， 根据图2可得，bh时，y＝0，即此时甲乙两人相遇， ∴联立得，30x﹣30＝12x， 解得， ∴， 当x＝3时，S甲＝30x﹣30＝60，S乙＝12x＝36， ∴c＝60﹣36＝24（km）， 故答案为：12，，24； （4）根据题意得， 当甲还没出发时，12x＝10， 解得， 当甲出发后，追上乙前，12x﹣（30x﹣30）＝10， 解得， 当甲追上后，还没到终点前，30x﹣30﹣12x＝10， 解得， 当甲到达终点后，乙还没到终点前，12x＝60﹣10， 解得， 综上所述，乙出发或或或小时，甲、乙两人相距10km， 故答案为：或或或． 考点2 解直角三角形的应用 1．（2026•南京一模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　60　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （3）请直接写出格挡的宽度BT的大小（精确到1cm）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 【分析】（1）延长HG交BT于点X，易得∠GXF＝∠EFC＝75°，则减去∠GHK的度数即为∠HKF的度数； （2）延长NK交HG于点Y，根据15°的余弦值可得FX的长度，根据15°的正切值可得YK的值，则KX等于KY，加上FX的长度即为FK的长度； （3）延长MN，SR交于点Z，作ZA1⊥BT于点A1，分别求出CF，KC1，C1A1，A1R，RT的长度，再加上BC及FK的长度，即为BT的大小． 【解答】解：（1）延长HG交BT于点X， 由题意得：∠ECF＝90°，EF∥HG， ∵∠CEF＝15°， ∴∠EFC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠HXF＝∠EFC＝75°， ∵∠GHK＝15°， ∴∠HKF＝75°﹣15°＝60°， 故答案为：60； （2）延长NK交HG于点Y，则∠HKY＝90°， 由题意得：∠FGX＝90°，FG＝4cm，HK＝26cm， ∵∠HXF＝75°， ∴∠KXY＝75°， ∴FX4.12cm， ∵∠GHK＝15°， ∴YK＝26×tan15°≈7.02cm，∠Y＝75°， ∴∠Y＝∠KXY， ∴XK＝KY＝7.02cm， ∴FK＝FX+XK≈11.1（cm）， 答：FK的长约为11.1cm； （3）延长MN，SR交于点Z，则∠KNZ＝∠MRZ＝90°， ∵∠NKT＝∠XKY＝90°﹣60°＝30°，KN＝4cm， ∴KC14.62cm，∠KC1M＝60°， ∵∠NMR＝15°， ∴∠MRC1＝45°， ∴∠KRZ＝∠SRT＝45°， 作ZA1⊥BT于点A1，则∠ZA1C1＝∠ZA1R＝90°， 由题意得：ZR＝YK＝7.02cm， ∴A1Z＝A1R4.98cm， ∴A1C12.89cm， ∵SR＝4cm， ∴RT2.84cm， 由题意得：EF＝26cm，∠ECF＝90°， ∵∠CEF＝15°， ∴CF＝26×sin15°≈26×0.26≈6.8cm， ∴BT＝4+6.8+11.1+4.62+2.89+4.98+2.84≈37（cm）． 答：BT的长约为37cm． 2．（2026•南京一模）如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°． （1）在图2中，∠BCD＝　127°　 ； （2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm． ①∠ACD＝　53　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，， 【分析】（1）过点B作BF∥CD，由平行线的性质得出∠BCD+∠CBF＝180°，由已知条件得出∠CBF＝57°，进而可求出∠BCD； （2）①根据题意可知∠ACD＝180°﹣∠BCD代入计算即可； ②过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H．求出EF，GF，再加上0.7cm减去1cm即可求出答案． 【解答】解：（1）过点B作BF∥CD， ∴∠CBF+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝37°， ∴∠CBF＝90°﹣37°＝53°， ∴∠BCD＝180°﹣53°＝127°， 故答案为：127°； （2）①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置， 由（1）知∠BCD＝127°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCD＝53°， 故答案为：53°； ②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H． 在Rt△CEF中，EF＝CEtan∠FCE＝15×tan53°≈1520（cm）， 在Rt△FGH中，FG1（cm） 乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）． 考点3 仰角与俯角 1．（2026•南京一模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73）． 【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角求出∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24米，再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H， 则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°， 在Rt△AGO中，∠AOG＝70°， ∴OG21.8（m）， ∵∠HFE是△OFE的一个外角， ∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°， ∴∠FOE＝∠OEF＝30°， ∴OF＝EF＝24m， 在Rt△EFH中，∠HFE＝60°， ∴FH＝EF•cos60°＝2412（m）， ∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝21.8+24+12≈58（m）， ∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 2．（2026•南京模拟）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，求塔AB的高度（精确到1m）． （参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.509，1.414，1.732） 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF，DF＝AE，DE⊥AE，然后在Rt△CDE中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出DE和CE的长，再设AC＝xm，则DF＝AE＝（3x）m，最后分别在Rt△ACB和Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DE＝AF，DF＝AE，DE⊥AE， 在Rt△CDE中，CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DECD＝3（m），CEDE＝3（m）， ∴DE＝AF＝3m， 设AC＝xm， ∴DF＝AE＝CE+AC＝（3x）m， 在Rt△ACB中，∠ACB＝45°， ∴AB＝AC•tan45°＝x（m）， 在Rt△DBF中，∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.509（3x）m， ∵BF+AF＝AB， ∴0.509（3x）+3＝x， 解得：x≈11， ∴AB＝11m， ∴塔AB的高度约为11m． 考点4 航向问题 1．（2026•南京一模）如图，一艘轮船从A港向南偏西52°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到行线BM的距离AD是60km． （1）若轮船的速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需要的时间； （2）C岛在A岛的什么方向？ 【分析】（1）由题意可得：∠ADB＝∠ADC＝90°，AB＝100km，BC＝125km，AD＝60km，利用勾股定理计算得出AC＝75km，再根据时间＝路程÷速度计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出∠BAC＝90°，结合题意计算即可得解． 【解答】解：（1）一艘轮船从A港向南偏西52°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到行线BM的距离AD是60km． 由题意可得：∠ADB＝∠ADC＝90°，AB＝100km，BC＝125km，AD＝60km， ∴， ∴CD＝BC﹣BD＝45km， ∴， ∵轮船的速度为25km/h， ∴轮船从C岛沿CA返回A港所需要的时间为75÷25＝3（小时）； （2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵一搜轮船从A港向南偏西52°方向航行100km到达B岛， ∴∠NAC＝180°﹣90°﹣52°＝38°， 故C岛在A岛的北偏西38°． 2．（2026•南京一模）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【分析】（1）根据已知条件得到∠C＝30°﹣15°＝15°，求得∠BAC＝∠C，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°﹣75°＝15°，AB＝16×2＝32（海里）， ∴∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠C＝∠BAC， ∴AB＝BC＝32（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为32海里； （2）有触礁的危险，理由如下： 过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， ∵BC＝32（海里），∠CBD＝30°， ∴CDBC＝16（海里）， ∵16＜17， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 考点5 反比例函数的应用 1．（2026•溧水区一模）综合与实践 如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，x与y的对应点，请您在本题图2中画出函数图象，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （3）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图象，根据图象可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当y＝24时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）描点并连线，函数图象如图所示， 由图象可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当x＝10时，y＝30， ∴， 解得k＝300， ∴． （2）当y＝24时，代入得，， 解得x＝12.5， ∴当砝码质量为24g时，托盘B与点O的距离是12.5cm． （3）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm， ma＝300，2m（a﹣6）＝300， 解得m＝25． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为25g． 2．（2026•许昌一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h,最低车速不得低于80km/h,求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）的函数解析式； （2）再将v=120，v=80分别代入求出对应的t值，进而求解即可． 【解答】解：（1）由题意可设， 将（0.3，80）代入得，k=0.3×80=24， ∴v=； 答：v与t的函数表达式为v=； （2）当v=120时，t==0.2， 当v=80时，t==0.3， ∴小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围为0.2≤t≤0.3． 考点6 相似三角形的性质与证明 1．（2026•建邺区一模）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE交于点F，且∠BFC＝∠ABC． 求证：（1）△BCF∽△BDC； （2）BF•BD＝BE•CD 【分析】（1）证明∠BFC＝∠DCB，∠FBC＝∠CBD，即可得出结论； （2）由△BCF∽△BDC，可得BC2＝BF•BD，证明△CFB∽△CBE，则△CBE∽△DCB．可得BC2＝BE•CD，则结论可得出． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠BFC＝∠ABC， ∴∠BFC＝∠DCB， ∵∠FBC＝∠CBD， ∴△BCF∽△BDC； （2）∵△BCF∽△BDC， ∴， 即BC2＝BF•BD① ∵∠BFC＝∠EBC，∠BCF＝∠ECB， ∴△CFB∽△CBE， 由相似的传递性知：△CBE∽△DCB ∴，即BC2＝BE•CD② 结合①②可得，BF•BD＝BE•CD． 2．（2026•玄武区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AD＝4，BD＝1，求AC． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （2）由已知可得AB＝5，再根据相似三角形的性质解答即可求解． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， 在△ACD与△ABC中， ， ∴△ACD∽△ABC； （2）解：∵AD＝4，BD＝1， ∴AB＝4+1＝5， ∵△ACD∽△ABC， ∴， 即， ∴． 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A．CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．（这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）．已知AB＝80cm，AP＝50cm，∠DCE＝50°，求： （1）∠CAB的度数； （2）点P距离地面的高度．（结果精确到lcm．参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 【分析】（1）由垂线的定义得到∠ABN＝90°，再证明AH∥CD∥MN，由平行线的性质可得∠EAH＝∠DCE＝50°，∠BAH＝∠ABN＝90°，据此可得答案； （2）过点P作PT⊥HA交HA延长线于T，证明∠PAT＝40°，解Rt△APT求出PT的长即可得到答案． 【解答】解：（1）过点A作AH∥CD， 由题意可得：∠ABN＝90°， ∵CD∥MN，AH∥CD， ∴AH∥CD∥MN， ∴∠EAH＝∠DCE＝50°，∠BAH＝∠ABN＝90°， ∴∠CAB＝∠EAH+∠BAH＝140°； （2）过点P作PT⊥HA交HA延长线于T， ∵∠PAC＝90°， ∴∠PAT＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∴PT＝AP•sin∠PAT＝50•sin40°≈50×0.643≈32（cm）， ∴AB+PT＝112cm， 答：点P距离地面的高度约为112cm． 2．（2025•鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，） 【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G，根据题意可得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH，然后设CG＝xm，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE和AE的长，从而可得EG＝AH＝（x+8）m，再在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而可求出BH的长，最后在Rt△ABH中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可求出CG和BG的长，最后在Rt△BCG中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G， 由题意得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH， 设CG＝xm， 在Rt△ACE中，∠EAC＝53°，AC＝10m， ∴CE＝AC•sin53°≈8（m），AE＝AC•cos53°≈6（m）， ∴EG＝AH＝CE+CG＝（x+8）m，AE＝GH＝6m， 在Rt△BCG中，∠CBG＝45°， ∴BGx（m）， ∴BH＝BG﹣GH＝（x﹣6）m， 在Rt△ABH，AH2+BH2＝AB2， ∴（8+x）2+（x﹣6）2＝18.442， 解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10， ∴CG＝BG＝10m， 在Rt△BCG中，BC1014.1（m）， ∴BC的长约为14.1m． 3．（2025•建邺区校级四模）如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.5小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【分析】过点P、M分别作PC⊥AB于C，MD⊥AB于D，交AB的延长线于点C、D．于是得到AB＝60×1.5＝90海里，根据矩形的性质得到PC＝MD，设PC＝x海里，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过点P、M分别作PC⊥AB于C，MD⊥AB于D， 交AB的延长线于点C、D． 由题意可知：AB＝60×1.5＝90海里， 则四边形PCDM为矩形， ∴PC＝MD， 设PC＝x海里， 在Rt△APC中，AC＝tan45°•PC＝x， 在Rt△BPC中，BC＝tan22°•PC≈0.4x， ∵AC﹣BC＝AB， ∴x﹣0.4x＝90， 解得：x＝150， ∴MD＝150， 在Rt△BMD中，BM250（海里）， 答：渔船离避风港的距离BM为250海里． 4．（2025•鼓楼区校级三模）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角α为10°．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝27.36cm，∠ABM＝145°，求铁架台和点F的水平距离DF的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 【分析】过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T，则∠EBG＝α＝10°，∠HBM＝180°﹣（145°﹣α）＝45°＝∠BFT，则△BFT为等腰直角三角形，则BT＝TF＝DG，即可求解． 【解答】解：过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作BT⊥CD于点T， 则∠EBG＝α＝10°，∠HBM＝180°﹣（145°﹣α）＝45°＝∠BFT， 则△BFT为等腰直角三角形，则BT＝TF＝DG， ∵AB＝24，则BEAB＝8， 在△BEG中，GE＝BE•sinα＝8×0.17＝1.36，BG＝BE•cosα＝7.84＝DT， 则GD＝DE﹣EG＝27.36﹣1.36＝26＝BT＝TF， 则DF＝DT+TF＝7.84+26＝33.84≈33.8（cm）． 5．（2026•建邺区校级模拟）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． （1）求AB两地的距离；（结果保留根号） （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．） 【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答． （2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论． 【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得 OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°． ∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）． 在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）． ∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）． 在Rt△ABC中，AB18（千米）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸． 理由：延长AB交l于点D． ∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°． ∴△ABC∽△DBO， ∴， ∴， ∴OD＝60（千米）． ∵60＜59.5+1， ∴该轮船不改变航向继续航行，能行至码头MN靠岸． 6．（2025•栖霞区校级三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶OA与塔干OD叠合时，小青在离塔底D水平距离为80m的E处，测得塔顶部O的仰角∠DEO＝45°，测得叶片C处的仰角∠DEC＝70°．已知三片风叶OA，OB，OC两两所成的角为120°，点A，C，O，D在同一平面内，求风叶OC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据： 【分析】过点C作CF⊥DE，过点O作OG⊥CF，构造矩形ODFG，利用矩形的性质得OD、GF、OG、DF间关系，利用特殊直角三角形的边角间关系、线段的和差关系得关于EF的方程，求解方程后再求出CG，最后利用30°角的直角三角形的边角间关系得结论． 【解答】解：过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥CF．垂足为G． ∴四边形ODFG是矩形． ∴OD＝GF，OG＝DF． ∵∠DOC＝120°，∠DOG＝90°， ∴∠COG＝30°． 在Rt△ODE中， ∵∠DEO＝45°， ∴∠DOE＝45°． ∴OD＝DE＝GF＝80m． 在Rt△CEF中， ∵tan∠DEC， ∴CF＝tan∠DEC•EF＝tan70°•EF≈2.75EF． 在Rt△OCG中， ∵OG＝DF＝（80﹣EF），tan∠COG， ∴CG＝tan∠COG•OG（80﹣EF），OC＝2CG． ∵CF＝CG+GF， ∴2.75EF（80﹣EF）+80． ∴8.25EF＝138.4﹣1.73EF+240， ∴EF≈37.92． ∴CG＝CF﹣FG ＝2.75EF﹣80 ＝104.28﹣80 ＝24.28． ∴OC＝2CG＝2×24.28＝48.56≈48.6（米）． 答：风叶OC的长度约为48.6米． 7．（2026•鼓楼区一模）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动距台风中心100海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，测得台风中心此时位于轮船正南方向200海里处，如果这艘轮船继续航行，3小时后，会不会遇到台风？请说明理由． 【分析】先根据题意画出数学模型，在图中台风三小时后到达的位置D，轮船原来的位置B，轮船现在的位置C刚好形成了直角三角形，根据题意计算BD和BC的长度，利用勾股定理就可以求出DC的长度，与100海里进行比较即可得出结论． 【解答】解：会遇到台风．理由如下： 如图所示，线段AD表示台风中心经过的路径，线段BC表示轮船航行的路径． 由题意，得BD＝200﹣3×40＝80（海里）， BC＝20×3＝60（海里）， 在Rt△BCD中，根据勾股定理，得DC2＝BD2+BC2＝802+602＝10000， 即DC＝100海里． 所以轮船会遇到台风． 8．（2025•玄武区一模）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面AE的垂线AC，垂足为A，过点B作AC的垂线，垂足为C，斜塔AB与AC的夹角∠CAB＝5.7°，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为33.7°，塔底A的俯角为4.2°，DE＝1.6m，求塔顶B到地面AE的距离． （参考数据：，， 【分析】过D点作DH⊥AC于H点，过B点作BF⊥DH于F点，如图，设CH＝x米，利用仰角俯角的定义得到∠HDA＝4.2°，∠FDB＝33.7°，易得四边形AEDH为矩形得到AH＝1.6m，四边形BCHF为矩形得到CH＝BF＝x米，HF＝BC，再根据正切的定义，在Rt△ADH中计算出DH＝21.6米，在Rt△ACB中表示出BC＝（0.1x+0.16）米，所以HF＝（0.1x+0.16）米，在Rt△BDF中表示出DF＝1.5x，然后利用DF+HF＝DH得到1.5x+0.1x+0.16＝21.6，解方程求出x，然后计算AH+CH得到塔顶B到地面AE的距离． 【解答】解：过D点作DH⊥AC于H点，过B点作BF⊥DH于F点，如图，设CH＝x米， 根据题意得∠CAB＝5.7°，∠HDA＝4.2°，∠FDB＝33.7°， ∵∠HAE＝∠AHD＝∠AED＝90°， ∴四边形AEDH为矩形， ∴AH＝DE＝1.6m， ∵∠CHF＝∠BCH＝∠BFH＝90°， ∴四边形BCHF为矩形， ∴CH＝BF＝x米，HF＝BC， 在Rt△ADH中，∵tan∠ADH， ∴DH21.6（米）， 在Rt△ACB中，∵tan∠CAB， ∴BC＝（1.6+x）×tan5.7°（1.6+x）＝（0.1x+0.16）米， ∴HF＝（0.1x+0.16）米， 在Rt△BDF中，∵tan∠FDB， ∴DF1.5x， ∵DF+HF＝DH， ∴1.5x+0.1x+0.16＝21.6， 解得x＝13.4， ∴AC＝AH+CH＝1.6+13.4＝15（米）． 答：塔顶B到地面AE的距离为15米． 9．（2025•建邺区二模）如图，港口B位于港口A的南偏西63°方向，港口C位于港口A的南偏东37°方向，港口C位于港口B的北偏东79°方向．一艘海轮从港口B出发，沿正东方向航线前行．已知港口C到航线的距离为110km，求港口A到航线的距离．（参考数据：tan37°≈0.75，tan63°≈2.0，tan79°≈5.0）． 【分析】根据题意，结合图形，设EF＝xkm，表示出BF，在Rt△ABF中表示出AF，得到AG，在Rt△AGC中得到方程，解方程得到结果． 【解答】解：如图，作正东方向航线BD，过C作CE⊥BD于E点，过A作AF⊥BD于F点，过C点作CG⊥AF于G点， 根据题意，得CE＝110km，∠ECB＝79°，设EF＝xkm， ∴在Rt△CBE中，BE＝CE•tan∠CBE＝110×tan79°≈110×5＝550（km）， ∴BF＝BE﹣EF＝550﹣x（km）， ∵在Rt△ABF中，∠BAF＝63°， ∴AF（km）， ∴AG＝AF﹣CE110（km）， ∵在Rt△AGC中，∠GAC＝37°， ∴tan37°， ∴0.75＝x÷（）， 解得x＝90， ∴AF230（km）， 答：港口A到航线的距离为230km． 10．（2026•南京一模）某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）是其行驶路程x（km）的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为100km时，剩余电量为60kw＝h；行驶路程为200km时，剩余电量为40kw•h． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当电池电量低于20%时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式，将y＝0代入函数表达式求出对应x的最大值，从而求得x的取值范围； （2）求出当x＝0时对应y的值，即该款汽车充满电后电池的电量，将y＝该款汽车充满电后电池的电量×20%代入函数表达式得到关于x的方程并求解即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将x＝100，y＝60和x＝200，y＝40分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝﹣0.2x+80， 当﹣0.2x+80＝0时，解得x＝400． 答：y与x之间的函数表达式为y＝﹣0.2x+80（0≤x≤400）． （2）当x＝0时，得y＝80， 当电池电量为20% 时，得﹣0.2x+80＝80×20%， 解得x＝320． 答：行驶320千米后，该款汽车将会发出电量警报． 11．（2026•南京一模）某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）是其行驶路程x（km）的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为100km时，剩余电量为60kw＝h；行驶路程为200km时，剩余电量为40kw•h． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当电池电量低于20%时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式，将y＝0代入函数表达式求出对应x的最大值，从而求得x的取值范围； （2）求出当x＝0时对应y的值，即该款汽车充满电后电池的电量，将y＝该款汽车充满电后电池的电量×20%代入函数表达式得到关于x的方程并求解即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将x＝100，y＝60和x＝200，y＝40分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝﹣0.2x+80， 当﹣0.2x+80＝0时，解得x＝400． 答：y与x之间的函数表达式为y＝﹣0.2x+80（0≤x≤400）． （2）当x＝0时，得y＝80， 当电池电量为20% 时，得﹣0.2x+80＝80×20%， 解得x＝320． 答：行驶320千米后，该款汽车将会发出电量警报． 12．（2026•溧水区一模）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升30m到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为60°，对面同一水平线上的点C处的俯角为40°，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，，） （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷AC的宽度．（结果精确到1m） 【分析】（1）在Rt△AMB中，根据求解即可； （2）连接AC，过点B作BH⊥AC于点H，先证明四边形AHBM是矩形，得到，BH＝30m，然后在Rt△BHC中，根据可求出CH的长，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵∠AMB＝90°， ∴， ∴无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离； （2）连接AC，过点B作BH⊥AC于点H， ∵AC是水平线， ∴AM⊥AC， ∵AM⊥BM， ∴四边形AHBM是矩形， ∴BH＝AM＝30m，MN∥AC，， ∴∠C＝∠NBC＝40°， ∵BH⊥AC， ∴， ∴， ∴， ∴峡谷AC的宽度约为53m． 13．（2025•南京模拟）已知点M（m，n）与点N关于y轴对称，将点M向右平移4个单位长度得到点P，若N，P在函数y＝﹣3x﹣2的图象上，求点M的坐标． 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得N（﹣m，n），根据平移方式可得P（m+4，n），再把点N和点P的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可． 【解答】解：∵点M（m，n）与点N关于y轴对称， ∴N（﹣m，n）， ∵将点M向右平移4个单位长度得到点P， ∴P（m+4，n）， ∵N，P在函数y＝﹣3x﹣2的图象上， ∴把点N（﹣m，n），P（m+4，n）的坐标代入一次函数得， 解得， ∴点M的坐标为（﹣2，﹣8）． 14．（2025•栖霞区校级三模）小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多90℃的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温y1，y2（单位：℃）与测试时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）当测试时间为100min时，乙壶中的水温是 　80　 ℃． （2）求甲壶中的水温y1与x之间的函数关系式． （3）当甲、乙两个保温壶的温差不超过10℃时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）求出乙壶中的水每分钟下降的温度，再根据水的温度＝测试开始时的水温﹣100min时下降的温度计算即可； （2）求出甲壶中的水每分钟下降的温度，再根据水的温度＝测试开始时的水温﹣x分钟下降的温度计算即可； （3）写出乙壶中的水温y2与x之间的函数关系式，当y2﹣y1≤10时列关于x的一元一次不等式并求解即可． 【解答】解：（1）乙壶中的水的温度每分钟下降（90﹣60）÷300＝0.1（℃）， 则当测试时间为100min时，乙壶中的水温是90﹣0.1×100＝80（℃）． 故答案为：80． （2）甲壶中的水的温度每分钟下降（90﹣45）÷300＝0.15（℃）， ∴甲壶中的水温y1与x之间的函数关系式为y1＝﹣0.15x+90（0≤x≤300）． （3）乙壶中的水温y2与x之间的函数关系式为y2＝﹣0.1x+90， 当y2﹣y1≤10时，得﹣0.1x+90﹣（﹣0.15x+90）≤10， 解得x≤200， ∴x的取值范围为0≤x≤200． 15．（2025•鼓楼区校级三模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以a（m/s）的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m，无人机距地面的高度y（m）与时间x（s）之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度y（m）与时间x（s）的函数关系式． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出无人机甲最初8秒内上升的高度，即b的值，再由速度＝路程÷时间求出a的值即可； （2）根据路程＝速度×时间计算即可； （3）写出无人机甲y与x之间的函数关系式，按照x的取值范围，根据两架无人机在飞行过程中高度相差6m分别列关于x的方程并求解即可． 【解答】解：（1）b＝3×8＝24（m）， a＝24÷（8﹣2）＝4（m/s）． （2）y＝4（x﹣2）＝4x﹣8， 当4x﹣8＝60时，解得x＝17， ∴无人机乙在上升期间高度y（m）与时间x（s）的函数关系式为y＝4x﹣8（2≤x≤17）． （3）无人机甲y与x之间的函数关系式为y＝3x（0≤x≤20）， 当0≤x≤2时，得3x＝6， 解得x＝2， 当2＜x≤17时，得|4x﹣8﹣3x|＝6， 解得x＝2（舍去）或x＝14， 当17＜x≤20时，得60﹣3x＝6， 解得x＝18， ∴两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值为2或14或18． 16．（2025•玄武区二模）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．求证：△ABE∽△EBF． 【分析】设正方形的边长为4a，先根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠C＝∠D＝90°，再表示出AE＝DE＝2a，CF＝3a，DF＝a，接着利用勾股定理计算出BE＝2a，EFa，BF＝5a，所以，然后根据相似三角形的判定方法得到结论． 【解答】证明：设正方形的边长为4a， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠C＝∠D＝90°， ∵E是AD的中点，CF＝3FD， ∴AE＝DE＝2a，CF＝3a，DF＝a， 在Rt△ABE中，BE2a， 在Rt△DEF中，EFa， 在Rt△BCF中，BF5a， ∵，，， ∴， ∴△ABE∽△EBF． 17．（2025•秦淮区二模）A，B两地相距akm，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地B，A，已知乙列车的速度是甲列车速度的1.5倍．乙列车离A地的距离y（km）与甲列车出发时间x（h）之间的函数图象如图所示，其中线段PQ∥x轴． （1）在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离y（km）与x之间的函数图象； （2）当甲、乙两辆列车相距akm时，求x的值． 【分析】（1）根据图象，用含a的代数式表示出乙列车的速度，从而表示出甲列车的速度，由时间＝路程÷速度求出甲列车到达B地所用时间，据此画出其图象即可； （2）分别根据路程＝速度×时间写出两图象对应的函数关系式，再按照x的取值范围列关于x的方程并求解即可． 【解答】解：（1）设甲列车的速度为v甲，乙列车的速度为v乙，则v乙＝1.5v甲， 根据图象，乙列车的速度为v乙（km/h）， 根据题意，得1.5v甲， 解得v甲， 甲列车到达B地所用时间为6（h）， ∴甲列车离A地的距离y（km）与x之间的函数图象如图所示： （2）甲列车离A地的距离y与x之间的函数关系式为yx（0≤x≤6）， 当1≤x≤5时，乙列车离A地的距离y与x之间的函数关系式为y＝a（x﹣1）xa， 当0≤x＜1时，当甲、乙两辆列车相距akm时，得axa， 解得x＝3（舍去）， 当1≤x≤5时，当甲、乙两辆列车相距akm时，得|xax|a， 解得x或， ∴当甲、乙两辆列车相距akm时，x的值为或． 18．（2025•南京二模）同一直道上的A，B两地相距320km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离A地的距离y1，y2（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）的函数关系如图所示． （1）甲车的速度是 　80　 km/h，a＝ 　144　 ． （2）求乙车休息的时间． （3）丙车与甲车同时出发，以100km/h的速度从A地匀速驶往B地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第th时开始休息，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）分别根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可； （2）根据速度＝路程÷时间求出乙车的速度，再根据乙车到达A地所用的时间﹣A，B两地的距离÷乙车的速度列式计算即可； （3）使丙车与乙车的图象的交点位于乙车休息期间，根据两图象交点的横坐标的取值在t与（t+乙车休息的时长）之间列关于t的一元一次不等式组并求其解集即可． 【解答】解：（1）甲车的速度是320÷4＝80（km/h）， 当x＝1.8时，y＝80×1.8＝144， ∴a＝144． 故答案为：80，144． （2）乙车的速度为144÷（3﹣1.8）＝120（km/h）， 3﹣320÷120（h）． 答：乙车休息了h． （3）当x＝t时，乙离A地的距离为y2＝320﹣120t， 丙车离A地的距离y与甲车行驶时间x之间的函数关系式为y＝100x， 若丙车与休息中的乙车相遇，则100x＝320﹣120t， 解得x＝3.2﹣1.2t， 根据题意，得， 解得t， ∴t的取值范围是t． 19．（2026•鼓楼区一模）如图，双曲线y（x＞0）． （1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由； （2）点P在该函数图象上，连结OP． ①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式； ②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式． 【分析】（1）把x＝1代入y，y的值是否为3即可； （2）设P（a，b），可得ab＝3．①根据M和P关于x轴对称求出M点的坐标，即可得到经过点M的双曲线的表达式； ②过P，N分别作PM⊥x轴，EN⊥x轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可． 【解答】解：（1）点A（1，3）在这个函数的图象上， 理由：把x＝1代入y得y＝3， 故点A（1，3）在这个函数的图象上； （2）设P（a，b）， ∵点P在该函数图象上， ∴ab＝3， ①将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM， ∴M（a，﹣b）， 设经过点M的双曲线的表达式为y， ∴m＝﹣ab＝﹣3， ∴经过点M的双曲线的表达式为y； ②∵将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON， ∴∠PON＝90°，ON＝OP， ∴∠NOE+∠POE＝∠POE+∠POF＝90°， ∴∠NOE＝∠POF， 过P作PF⊥x轴于F，过N作NE⊥y轴于E， ∴∠NEO＝∠OFP＝90°， ∴△NOE≌△POF（AAS）， ∴NE＝PF＝b，OE＝OF＝a， ∴N（﹣b，a）， 设经过点N的双曲线的表达式为y， ∴n＝﹣ab＝﹣3， ∴经过点N的双曲线的表达式为y． 20．（2025•南京模拟）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车改变速度前的速度是 　100　 km/h，乙车行驶 　10　 h到达绥芬河； （2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数表达式，不用写出自变量x的取值范围； （3）在图②中，画出甲、乙两车的距离S（单位：km）与所用时间x（h）之间的函数图象． 【分析】（1）根据“速度、路程和时间的关系”求解； （2）根据待定系数法求解； （3）先求出S的解析式，再根据描点法作图． 【解答】解：（1）甲车改变速度前的速度是：500÷5＝100（km/h）， 乙车行驶 的时间为：800÷80＝10（h）， 故答案为：100，10； （2）改变速度y与x的关系为：y＝80x+k， 则80×5+k＝500， 解得：k＝100， ∴y＝80x+100； （3）甲车改变速度前：y＝100x， 乙车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数表达式为：y＝80x， 当0≤x≤5时，S＝100x﹣80x＝20x， 当5＜x≤8.75时，S＝80x+100﹣80x＝100， 当8.75＜x≤10时，S＝800﹣80x， ∴甲、乙两车的距离S（单位：km）与所用时间x（h）之间的函数图象如下： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $