反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合专项训练-2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦反比例函数性质及与一次函数综合，通过分层典例构建从概念到综合应用的逻辑体系，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数的图像与性质|10题（例1-5+变式1-5）|选择填空为主，考查图像位置、增减性、对称性及点坐标关系|从概念（图像象限、对称性）到性质应用（增减性比较、参数求解），形成性质辨析→参数计算→图像变换的逻辑链| |反比例函数与一次函数综合|6题（例1-3+变式1-3）|解答题为主，涉及交点求解、面积计算、几何变换（旋转/平移）|以函数解析式为基础，结合图形交点、面积公式及几何变换，构建函数与几何的综合应用体系，发展推理能力与模型意识|

反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合专项训练 反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合专项训练 考点目录 反比例函数的图像与性质 反比例函数与一次函数综合 考点一 反比例函数的图像与性质 例1．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先确定和，再根据对称性确定两函数的另一交点坐标，然后结合函数图象，写出反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：函数，的图象都经过点， ，， 正比例函数与反比例函数都关于原点对称， 两函数的另一交点为，如图所示， 由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即， 当时，的取值范围是或． 例2．（2026·江苏徐州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：结论①：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，，反比例函数图象在第一、三象限， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限， ，故不可能为．①错误； 结论②：∵正比例函数与反比例函数图象的交点，关于原点对称，．②正确； 结论③：，点与点关于原点中心对称， 点， 当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方， 此时，或．③正确； 结论④：，两点关于原点对称， ，， 把代入反比例函数解析式得：，．④正确． 例3．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 例4．（2026·湖北武汉·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于______象限． 【答案】第一、三 【详解】解：， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限． 例5．（2026·陕西渭南·二模）已知点和点在反比例函数（为常数，且）的图象上，若，则的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据两点纵坐标的符号，结合反比例函数的性质，判断满足时反比例函数比例系数的符号，得到的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（为常数，且）的图象上，且， ∴当时，即，则反比例函数图象位于第一、三象限， 纵坐标为正的点在第一象限，得；纵坐标为负的点在第三象限，得， 此时满足，符合题意； 当时，即，则反比例函数图象位于第二、四象限， 纵坐标为正的点在第二象限，得；纵坐标为负的点在第四象限，得， 此时，不满足条件，不符合题意， ∴的取值范围为， 则的值可以是（答案不唯一）． 变式1．（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】对于反比例函数（k为常数，），当时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当时，图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，图象关于原点对称，本题中，根据反比例函数的性质逐一分析选项． 【详解】解：A项：当时，，A项说法正确，不符合题意； B项：∵点在函数的图象上， ∴，即， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，即点在函数图象上， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵， ∴，则， 即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意； C项：在反比例函数中，， 根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意； D项：∵，在反比例函数中， 当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小， D项说法错误，符合题意， 综上，说法错误的是D． 变式2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质．由点在反比例函数图象上，可求出，再根据反比例函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数解析式为 对于A：∵， ，故A错误； 对于B：当和同号时，函数在各自象限内随增大而增大， 但若，则，此时，故B错误； 对于C：若，则， ，， ，故C正确； 对于D：当时，函数图象在每个象限内，随的增大而增大，故D错误． 故选：C． 变式3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 变式4．（2026·陕西西安·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，时，反比例函数在每个象限内随的增大而减小，结合可得两点都在第一象限，横坐标均为正，且横坐标满足不等关系，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． ， 均为正数，两点都在第一象限，横坐标均为正数，且， 即 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是． 变式5．（2026·北京·模拟预测）如果点都在函数的图象上，且，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据点、的横坐标判断两点位于的区间，结合和的大小关系，利用反比例函数的性质得到比例系数的取值范围，进而求出的范围. 【详解】解：，且 ， ∴当时，随的增大而增大， ∴， 解得 . 考点二 反比例函数与一次函数综合 例1．（2026·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求与的值； (2)设直线与轴、轴的交点分别为，，求的面积． 【答案】(1)；； (2)4 【分析】（1）把点，代入，可求出a，m的值，即可； （2）求出点D的坐标，根据的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得：或， 当时，点，， 当时，点，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 把点代入得：； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式为， 当时，， ∴点，即， ∴的面积 ． 例2．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接，，则四边形是________． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)菱形． 【分析】（1）根据点在正比例函数上，点的横坐标为，求出点坐标，再代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于，两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）由作图易知：，，证明得到，，从而证出结论． 【详解】（1）解：点在正比例函数上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：如图，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于，两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）解：设垂直平分线与交于点，由作图知：，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 例3．（2026·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将绕原点顺时针旋转，点对应的点为，点对应的点为，当首次与轴平行时，判断点是否在函数的图象上． 【答案】(1)； (2)点不在函数的图象上 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）作，垂足为，设直线与轴、轴的交点分别为，，则，可得，由，得到为等腰直角三角形，故．在中，．根据旋转可得，首次与轴平行时，点恰好落在轴上的处，即可求解点坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 所以反比例函数的解析式为． 所以． 将和代入， 得 解得 所以一次函数的解析式为． （2）解：如图，作，垂足为，设直线与轴、轴的交点分别为，． 因为， 所以． 在一次函数中，令，得； 令，得，解得， 所以， ∴等腰直角三角形中， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以． 在中，． 根据旋转，首次与轴平行时，点恰好落在轴上的处， 所以，， 所以． 因为， 所以点不在函数的图象上． 变式1．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作直线交轴于点，直线交反比例函数图象于另一点． (1)求值和直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若点是反比例函数上一点，点的横坐标为，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)，直线的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】（1）作于点，容易判断和都是等腰直角三角形，从而求出点，代入反比例函数的表达式求出．联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）作于点，延长交于点，使用割补法将分为 和，求出点和点的坐标后，计算面积即可； （3）分类讨论，当点在直线的下方时，由可得，则，求出直线的表达式后，与反比例函数联立求出点的坐标；当点在直线的上方时，如图，设直线、分别交轴于点、，作于点，利用三角函数可得，，结合求出．利用勾股定理求出，从而得到，用待定系数法求出直线的表达式，再与反比例函数联立求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，作于点，延长交于点， ∵，， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ； （3）解：①当点在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点代入，得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，即； ②当点在直线的上方时，如图，设直线、分别交轴于点、，作于点， 将代入，得， ∴点的坐标为，， ∵，，，，， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 由勾股定理可得，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，即； 综上所述，的值为或． 变式2．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）过点C作轴于点F，则四边形为矩形，设，则，根据勾股定理，得到，即可得到，求解即可； （2）过D作于点G，证明，得到；根据点D向右平移m个单位得到点F，设，根据点F在反比例函数的图象上，得到，求解即可． 【详解】（1）解： 点A，B在一次函数的图象上， 令， 解得， 令，解得， 如图1，过点C作轴于点F， 则四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即， 点C在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图2，过D作于点G，则， 由题意得，， ∵， ∴， 在和中， ， ，， ； 点D向右平移m个单位得到点F， 设， 点F在反比例函数的图象上， 则， 解得， m的值为． 变式3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)点为双曲线的任一点，若，求点坐标； (3)若点，则当时，的取值范围是_________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入直线得，，解得，，故直线表达式为，将点代入双曲线得，，解得，，故双曲线的表达式为； （2）由（1）得，当时，，故点C的坐标为，又，故，从而，设点的坐标为，则，解得，，故点的坐标为或； （3）因为当时，的图像在的图像下方，所以当时，或． 【详解】（1）解：将点代入直线得，， 解得，， 直线表达式为， 将点代入双曲线得，， 解得，， 双曲线的表达式为； （2）解：由（1）得，当时，， 点C的坐标为， 又， ， ， 点为双曲线的任一点， 设点的坐标为，则， 化简得，，则， 解得，， 点的坐标为或； （3）解：点和点，当时，的图像在的图像下方， 当时，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合专项训练 反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合专项训练 考点目录 反比例函数的图像与性质 反比例函数与一次函数综合 考点一 反比例函数的图像与性质 例1．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 例2．（2026·江苏徐州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 例3．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 例4．（2026·湖北武汉·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象位于______象限． 例5．（2026·陕西渭南·二模）已知点和点在反比例函数（为常数，且）的图象上，若，则的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 变式1．（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 变式2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．随的增大而增大 变式3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 变式4．（2026·陕西西安·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 变式5．（2026·北京·模拟预测）如果点都在函数的图象上，且，那么的取值范围是_____． 考点二 反比例函数与一次函数综合 例1．（2026·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求与的值； (2)设直线与轴、轴的交点分别为，，求的面积． 例2．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接，，则四边形是________． 例3．（2026·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将绕原点顺时针旋转，点对应的点为，点对应的点为，当首次与轴平行时，判断点是否在函数的图象上． 变式1．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作直线交轴于点，直线交反比例函数图象于另一点． (1)求值和直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若点是反比例函数上一点，点的横坐标为，当时，请直接写出的值． 变式2．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 变式3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)点为双曲线的任一点，若，求点坐标； (3)若点，则当时，的取值范围是_________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $