3.1.1 椭圆及其标准方程 说课课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义与标准方程，通过软件演示圆锥曲线形成及水杯倾斜观察水面轮廓导入，联系生活经验，承前直线与圆的方程，启后双曲线与抛物线，构建知识支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过细绳画椭圆实验抽象定义，推导方程时引导建系化简，培养数学抽象与运算素养。作业分层并设思考题呼应导入，强化应用意识。采用启发讨论法，学生提升探究能力，教师可高效落实教学目标。

3.1.1 椭圆及其标准方程 选自人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章第一节 1 目 录 教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 一 二 三 四 五 教学过程 六 七 教学评价 2 直线与圆的方程 圆锥曲线与方程 知识体系 承前 启后 本章、本节重点 椭圆与方程 双曲线与方程 抛物线与方程 作用 一.教材分析 3 认知 基础 学生在日常生活中对椭圆的形状已有感性认识 授课对象 潜在 困难 刚学过直线和圆的方程，初步掌握了用坐标法研究平面几何图形的框架与方法，具备一定的知识迁移基础。 从圆到椭圆存在一定的认知跨越，如何选择恰当的坐标系简化运算，以及含有两个根式方程的化简能力薄弱 二.学情分析 4 从实验中抽象出椭圆定义，培养学生抽象概括能力 通过方程的推导培养学生数学运算和数据分析能力； 通过方程的化简培养学生求简意识，懂得欣赏数学的“简洁美” 通过小组动手操作，培养学生团队协作能力，同时渗透数形结合思想 三.教学目标 根据对学生的认知基础和学习能力的分析，我将本节课的教学目标设计如下： 5 重 点 椭圆的定义 椭圆的标准方程 难 点 椭圆标准方程的推导与化简 坐标法的应用 四.教学重难点 6 目录 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，设计以下的教学方法，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力 五.教学方法 学习方法 直观观察 归纳抽象 总结规律 教学方法 问题诱导 启发讨论 探索结果 (5).作业布置 (4).课堂小结 (3).知识运用 (2).探究新知 (1).课题引入 1分钟 2分钟 10分钟 23分钟 4分钟 六.教学过程 (6).板书设计 8 （1）课题引入— 软件演示 通过软件演示圆锥曲线的形成过程，让学生直观感知圆锥曲线的几何来源，激发学生学习兴趣。 9 用圆柱形水杯盛半杯水，当水杯倾斜时，观察水平面，此时水面轮廓是什么曲线？——（椭圆）。为什么是椭圆呢？要回答这个问题，就要来认识椭圆，认识椭圆最直观的方法就是画椭圆！ （1）课题引入—创设情景，提出课题 将细绳的两端固定在硬纸板的两个定点上,用铅笔绷紧细绳,移动笔尖。 （2）探究新知——动手实验 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题2：“铅笔尖移动时，画出的点都满足什么几何条件？” 问题3：“如果细绳长度等于F₁，F₂的距离，画出的图形是什么？如果小于呢？” 问题1：“在画图过程中，细绳的长度（设为2a）和两定点F₁，F₂之间的距离（设为2c）有什么关系？” （2）探究新知——提出问题 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的定义: 平面内与两个定点的距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆, （大于 ） 当2a>2c时，是椭圆； 当2a=2c时，是线段； 当2a<2c时,无轨迹. 设计意图 （2）探究新知—抽象概括，形成概念 借助问题链层层递进，帮助学生抽象出椭圆的定义，明确定义的关键条件，突破定义理解的难点 （2）探究新知——师生互动,探索方程 问题4：怎样建立椭圆的方程？ F1 F2 M 椭圆的定义是定性描述，根据解析几何的基本思想方法，需对椭圆进行“定量”的描述，这就需要建立椭圆的方程，适时将学生的注意引向 （2）探究新知——建系 问题5：如何建立坐标系？ F1 F2 M 引导学生从对称的角度思考，学生在充分讨论的基础上不难探求出如图坐标系 x y o （2）探究新知——列式、化简 美！ o y x F1 F2 M 替代 （a>b>0） c a b （2）探究新知——列式、化简 再让学生通过互相讨论，交流，能够得到焦点在y轴上的椭圆方程 x M F1 F2 y O （2）探究新知——焦点在y轴上的椭圆方程 18 对椭圆标准方程的两种形式进行辨析、比较，为椭圆知识的应用做铺垫。 设计意图 椭圆的标准方程 焦点在 轴： 焦点在 轴： （2）探究新知——总结方程 19 练习.判断下列方程所表示的曲线是否为椭圆。若是，请确定a,b,c值并求出椭圆的焦点坐标. 设计意图 通过练习加深学生对椭圆标准方程的理解，同时为解决例题做铺垫.接着给出例1。 (3)知识运用——当堂反馈 教学过程——知识应用 通过该例题又能让学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程。 例题：求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是（-4，0）,(4，0） 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10; (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2),(0，2),并且椭圆经过点 设计意图 (3)知识运用——当堂反馈 21 1.知识归纳：椭圆的定义、标准方程。 2.方法总结：几何条件→代数转化→方程推导 数形结合思想和类比思想 3.单元展望：本节课我们通过定义法推导出了椭圆的标准方程，后续我们将继续研究椭圆的性质，并类比椭圆的研究方法，学习双曲线和抛物线的相关知识，构建完整的圆锥曲线知识体系。 (4)课堂小结 梳理本节课的知识和方法，帮助学生构建知识框架，同时强化单元整体意识，明确后续学习方向。 1.必做题：课本习题3.1 第1、2题 2.选做题：圆O的半径为定长r , A是圆O内的一个定点 , P是圆O上任意一点 , 线段AP的垂直平分线和半径OP交于点Q ,当点P在圆O上运动时 , 点Q的轨迹是什么?若r=10 、 OA=6 , 建立适当的直角坐标系 , 求点Q的轨迹方程. (5)布置作业 3.思考题：本节课一开始提到的圆柱形水杯 倾斜时为什么是椭圆？怎么证明它是椭圆？ 可以收集相关资料！ 课后作业的设计： 分为必做、选作两个层次，满足不同学生需求 思考题：与课题引入前后呼应，有始有终，给学生自主思考的空间！ 设计意图 板 书 设 计 练习: 例题: 小结: 椭圆及其标准方程 定义、焦点、焦距； 标准方程： (6)板书设计 教学主线 评价要点 自主探究 发现规律 关注多元化 重视能力 认知规律 问题引导 归纳总结 七.教学评价 谢谢指导 26 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，以提升学生的数学抽象，直观想象和数学运算的核心素养为根本出发点，设计一下教学方法，使学生在获得知识的同时能够掌握方法提升能力。 探求方程之列式、化简 o y x F1 F2 M 替代 （a>b>0） c a b （a>b>0） 探求方程之列式、化简 o y x F1 F2 M 替代 （a>b>0） c a b （a>b>0） $