云南省德宏州2024-2025学年高三上学期开学定位监测数学试卷

德宏州2025届高三年级开学定位监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：     1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．在下列四个命题中，是真命题的为（    ） A．，有 B．，有 C．，使 D．，使 3．水稻是世界上最重要的粮食作物之一，也是我国以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该项技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稻，科研人员观测并记录它们连续6年的产量（单位：），如下表所示： 甲、乙两种水稻连续6年产量： 根据以上表中数据，下列说法正确的是（     ） A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小 B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 4．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则在下列命题中为真命题的是（   ） A．若，mn，则， B．若，，则 C．若，，则mn D．若，，，则 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．由未来科学大奖联合中国科技馆共同举办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式进行．某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（     ） A．60种 B．120种 C．150种 D．240种 8．已知定义在R上的函数在内为减函数，且为偶函数，则 ，f（4），的大小为（ ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上有且仅有一个零点 D．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 10．设抛物线，为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（     ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 11．已知函数，则（     ） A．时，函数在上单调递增 B．时，若有3个零点，则实数的取值范围是 C．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 D．若存在极值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ． 13．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回． 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 ． 14．在△中，在线段上．若为的平分线，且，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知数列的前n项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 16．（本小题15分） 如下图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点． 将△沿EF翻折至△，得到四棱锥，且P为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值． 17．（本小题15分） 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 18．（本小题17分） 在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分． （1）樊振东首局失利，第二局比赛双方打到平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗憾的是该局比赛结果，樊振东最终以落败，求其以该比分落败的概率； （2）在本场比赛中，张本智和先以领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望． 19．（本小题17分） 如下图所示，已知椭圆（）的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； （3）以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求△与△面积之比的取值范围． 数学试卷·第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德宏州2025届高三年级开学定位监测 数学参考答案及评分建议 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C D B C A 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 序号 9 10 11 答案 AD ACD BD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14．24 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（本小题13分） （1）证明：当时，，解得：． …………………………1分 因为 ①， 当时， ②    …………………………2分 ①-②得：，即， …………………………4分 则 ，即，， 又． …………………………6分 所以，是以2为首项，2为公比的等比数列 …………………………7分 （2）解法一：由（1）可得，即， …………………………9分       …………………………13分 解法二：由（1）可知，即， 又由题知：， 代入可得：． 16．（本小题15分） （1）证明：如右图所示，取的中点Q，连接， 则有，且， 又，且，……………………2分 故，且， 所以四边形EFPQ为平行四边形， 故 ， …………………………4分 又平面，平面，故平面． ……………………6分 （2）解：取EF中点O，BC中点G，由平面平面EFCB，且交线为EF，故平面EFCB，此时，，两两垂直． 以O为原点，，，所在直线 分别为x轴、y轴、z轴，建立如右图所示 的空间直角坐标系． …………………………8分 则 ，， ，， 由P为中点，故…………………9分 则 ，，， 设平面BFP的法向量， 则 ，即，故取， ……………………12分 故所求角的正弦值为 ， …………………………14分 所以，直线与平面BFP所成的角的正弦值为． …………………………15分 17．（本小题15分） 解：（1）当时，，且， ………………………2分 ，又， …………………………4分 所以，曲线在点处的切线方程为． ……………………5分 （2）因为函数在区间上是减函数， 所以 在区间上恒成．……………………8分 当且仅当 在上恒成立， 则 在上恒成立， …………………………10分 令 ，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则 ，得， …………………………14分 实数的取值范围为． …………………………15分 18．（本小题17分） 解：（1）在比分为后张本智和先发球的情况下，樊正东以落败的情况分三种： 第一种：后四球樊正东依次为胜败败败，概率为 ， …………………………2分 第二种：后四球樊正东依次为败胜败败，概率为 ， …………………………4分 第三种：后四球樊正东依次为败败胜败，概率为 ， …………………………6分 所以，所求事件的概率为：． …………………………7分 （2）随机变量的可能取值为2，3，4，5 …………………………8分 …………………………9分 …………………………11分 …………………………13分 ， …………………………14分 所以，的分布列为： 数学期望为： …………………………17分 19．（本小题17分） 解：（1）由题设有，且，故， 故椭圆方程为： …………………………3分 （2）设，则，故， 而，故 故为定值且定值为 …………………………7分 （3）由题设，，圆，直线， 由 可得：，即 ， 故 ， …………………………9分 由可得：，即， 同理 ， …………………………10分 而 ，，， 故 ， …………………………14分 令 ，故，其中， ， 而 ，故 ，故 …………………………17分 数学参考答案及评分建议·第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$