精品解析：四川省成都市第七中学2026届高考适应性考试数学试题

高2026届高考适应性考试数学 注意事项： 1．考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、考号和班级． 2．考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.考生回答非选择题时，须用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上.选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上无效． 3．考生不得将答题卡带离考场，考试结束后由监考员收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得． 所以该复数的虚部为． 2. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， ，的元素个数为. 故选：C. 3. 若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出和的关系，再结合双曲线的性质求出离心率. 【详解】由双曲线，得渐近线方程为，又已知双曲线渐近线方程为，所以. . 故选：A 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正切型函数的性质，求得，进而得到答案. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，可得， 解得，当时，取得最小正值为． 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量公式求解即可. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量是： . 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. 30 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，的幂指数等于2，求出，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意：  令，即 故展开式中的系数为. 7. 已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 8. 冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ） A. 12℃ B. 14℃ C. 16℃ D. 18℃ 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，是棱的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】AD 【解析】 【详解】选项：如图所示，在正三角形中，因为为的中点，所以， 在正三棱柱中，因为面，面，所以， 因为，面，所以面， 因为面，所以，故正确； 选项：在正三棱柱中，，又， 故与不平行，即与不平行， 故不正确； 选项：设正三棱柱的底面棱长为，高为. 因为，故以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，过点且平行于直线所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则、、，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，得， 令，得，所以. 平面的一个法向量为，所以，， 所以平面与平面不垂直，故不正确； 选项：设平面的一个法向量为，得， 所以，面面，故正确. 10. 设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，B两点，且，，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的准线方程为 C. D. 的面积为2 【答案】BC 【解析】 【详解】由，可得焦准距，则的焦点坐标为，准线方程为，故A错误，B正确； 设，因，则， 把代入，可得， 由抛物线的对称性，不妨设，则，故C正确； 因为，则的面积，故D错误． 11. 的面积为1，角，，分别所对的边为，b，c．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形面积公式与已知计算可判断A；由正弦定理边化角，结合三角恒等变换计算可判断BCD. 【详解】由，得，由， 得，即，则A正确． 又由，得， 由正弦定理和式可得：， 可得， 化简可得，即， 可得，由， 则，代入上式可得， 即． 因为，所以，则， 所以或 ． 因为是三角形的内角，所以或， 当时，，即，不合题意． 当时，，即，所以，由，，则D正确； 时，在中，，代入得，则B正确； 由得，则C错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 13. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为________． 【答案】##0.104 【解析】 【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因考生成绩服从正态分布， 所以， 故任意选取3名考生， 至少有2名考生的成绩高于90的概率为． 故答案为：. 14. 数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 【答案】4052 【解析】 【分析】由可知数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，依此规律即可求解. 【详解】第一次变换是：删除两项，添加， ∵，正好是新添加的项， 也就是说，数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，也等于数列中每一项加1的积…… 原数列是共2026项， 每项加1后，初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026项，经过2025次变换后， 数列只剩1项，设为，根据不变量，有，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． 【小问2详解】 ∵ ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 16. 已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． （1）求证：平面； （2）若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）设正方形边长为，由已知得，且， 所以四边形为平行四边形． 则，由，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线平行可证线面平行； （2）由题意可得平面，平面平面，进而可得过作于，则平面，过作于，连接，则，可得为二面角的平面角，进而计算求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设正方形边长为，则为边长为的等边三角形， 由为中点，得． 又，则平面，所以平面． 由平面，则平面平面． 过作于，则平面． 过作于，连接，则， 从而为二面角的平面角． 在中，，易知为直角三角形． 由，得． 在矩形中，易得．则中，可求得． 在中，． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点外，曲线在直线的上方． 【答案】（1） （2）点处的切线可表示为， 构造函数， 则，， 当时，． 由可知当时，，当时，； 当时，在单调递增，当，在单调递减； ①当时，单调递增，则， 即，在单调递减，则； ②当时，单调递增，则， 即，在单调递增，则； ③当时，因为且，所以， 在单调递增，； 综上，除了切点，，即曲线在直线的上方． 【解析】 【分析】（1）把当作新函数求导判单调，在处取最大值； （2）构造切线差值函数，求导得；，依托在单调递增，分段分析正负与单调性，由证时． 【小问1详解】 令，得， 时，，在单调递增； ，，在单调递减， 所以在处取得极大值，也即最大值，． 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆：，离心率为，圆：． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①直线的斜率不为0，设的方程为，，． 联立，得， ，则，， 由在椭圆上，在圆上，易知， 则，， 因为，， 所以， 代入韦达定理得， 则，从而． ②直线的方程为，直线的方程为， 则， 所以 由①中韦达定理可知， 代入可得， 即，可解得． 由题意，可设，则， 又，从而，所以为定值． 【解析】 【分析】（1）由椭圆顶点、离心率条件列式算出，直接写出椭圆标准方程； （2）①设直线，并联立椭圆方程，借助韦达定理，用向量坐标乘积为零证明两直线平行； ②写出直线方程并联立求横坐标，再代入坐标算向量数量积得到定值． 【小问1详解】 由题意知，，则， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①略；②略． 19. 已知是个正整数记，其中，，，． （1）若，，，求的值； （2）若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； （3）若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）从个数中取个数求和，全体总和减掉剩下的1个元素，即子集和，内4个数相加等于，代入直接计算求解； （2）是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数，令得出，由是整数，故必为整数，分情况讨论求出最大数与最小数的和，进而得出集合； （3）当时，记，表示集合，记取出的数中最小值为，记是从中均匀随机选取的的元素的最大值，利用组合概率与组合恒等式求，利用期望的性质求出． 【小问1详解】 当时，是4个正整数， 是这4个正整数中任取其中3个数的和构成的集合，且集合恰好有4个数， 由条件可知，这4个正整数互不相同， 令， 则，解得，即． 【小问2详解】 当时，是9个正整数， 是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数． 由条件可知，这9个正整数中必有2个数或者1个数重复， 令，则，其中， 整理可得，由是整数，故必为整数， ①当，满足为整数，所以， 中最大的数为：，最小数为， 故它们的和为； ②当或者，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，故它们的和为； ③当，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，所以它们的和为； 综上，中的最大数与最小数的和所有可能的集合为． 【小问3详解】 当时，记， 且， 从集合中随机取出个不同的数（等可能），记取出的数中最小值为， 记是从中均匀随机选取的个的最大值， 则， 共有种取法，， ， 又， ， 方法一： ． 方法二：可理解为从个不同的元素里选出个元素的总的方案数， 可理解为按选出的个元素里最大的那个元素来分类计算： 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 所有情况加在一起，即成立， 即． 而． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高考适应性考试数学 注意事项： 1．考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、考号和班级． 2．考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.考生回答非选择题时，须用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上.选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上无效． 3．考生不得将答题卡带离考场，考试结束后由监考员收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 40 B. 30 C. D. 7. 已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ） A. 12℃ B. 14℃ C. 16℃ D. 18℃ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，是棱的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 10. 设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，B两点，且，，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的准线方程为 C. D. 的面积为2 11. 的面积为1，角，，分别所对的边为，b，c．若，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正实数满足，则的最大值为__________． 13. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为________． 14. 数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． （1）求证：平面； （2）若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点外，曲线在直线的上方． 18. 已知椭圆：，离心率为，圆：． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 19. 已知是个正整数记，其中，，，． （1）若，，，求的值； （2）若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； （3）若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $