专题01幂的运算期末复习讲义(16大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题01幂的运算期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记幂的四条核心运算公式：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，掌握公式底数、指数的变化规律。 2.掌握零指数幂、负整数指数幂的定义与取值规则，明确底数限制条件。 3.熟练掌握科学记数法（含负指数小数型），能正确表示极小、极大数。 4.理清幂运算公式的正向运用、逆向运用、综合变形，区分易混淆公式。 1.能精准辨析题型，根据式子结构快速匹配对应幂运算公式，避免公式混用。 2.具备公式逆用、变形用能力，能解决指数求值、比较大小、整体代换题型。 3.能规范处理零指数、负指数运算，规避底数为 0、符号出错问题。 4.能综合多个幂公式进行混合运算，养成先定符号、再算指数的解题习惯。 . 1.基础题：幂的简单运算、科学记数法零失误，公式不混淆。 2.中档题：熟练多公式综合运算、负指数、零指数计算，步骤规范、结果标准。 3.拔高题：攻克公式逆用、指数整体代入、幂的大小比较高频压轴题型。 4.规避易错点：符号错误、指数加减乘混淆、零指数底数陷阱、负指数倒数写错。 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.科学记数法表示数的乘法 题型04.幂的乘方运算 题型05.幂的乘方的逆用 题型06.积的乘方运算 题型07.积的乘方逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.零指数幂 题型12.负整数指数幂 题型13.幂的大小比较 题型14.幂的运算参数求解题 题型15.新定义运算题 题型16.幂的运算规律探究题 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:四大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 同底数幂相除 am÷an=am−n 底数不变，指数相减 顺序不能颠倒 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点03:零指数幂与负整数指数幂（重难点 + 扣分重灾区） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的 0 次幂等于 1 禁忌：00 无意义，考试高频坑 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 核心真谛：负指数≠负数！ 口诀：负指数，变倒数，指数变正 3.特殊指数对比详解表 类型 公式 限制条件 考试考法 典型错解 零指数幂 a0=1 a0 判断有无意义、化简求值 认为 00=1 负指数幂 a−p= a0 化简、混合运算、结果规范 a-2=-a2 4.拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点04:公式逆向运用（期末拔高、压轴必考） 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 am−n=am÷an am÷an=am−n 已知高次幂求低次幂 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点05.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 3.易错规范 (1)a 绝对不能大于等于 10 或小于 1 (2)小数科学记数法极易写错指数绝对值 知识点06:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点07:全章超详细易错点汇总表（阅卷扣分点全覆盖） 错误类型 错误写法 正确写法 错因深度解析 同底相乘指数相乘 a2a3=a6 a2a3=a5 混淆乘除与乘方指数规则 幂的乘方指数相加 (a2)3=a5 (a2)3=a6 高级运算指数相乘 积的乘方漏系数 (3a)2=3a2 (3a)2=9a2 因式包含系数，必须整体乘方 负指数理解错误 a-2=-a2 a-2= 负指数是倒数关系，不是负号 零指数不看底数 00=1 00 无意义 忽略底数不为 0 的前提 底数混淆 -22=4 -22=-4 有无括号，底数完全不同 结果保留负指数 最终式子带负指数 必须化为正指数分式 考试硬性扣分 异底幂乱运算 不同底数指数乱加减 异底先转化，不能直接运算 概念不清晰 知识点08:期末必考四大题型体系 1.基础计算题：单一公式套用、简单化简、科学记数法填空 2.混合运算题：乘方 + 乘除 + 零指数 + 负指数综合计算（解答题必考） 3.代数式求值题：公式逆用、整体代入、已知幂求式子的值 4.压轴拓展题：幂的大小比较、指数方程、参数求值、简便运算 题型01.同底数幂相乘. 1．已知，则的值为_____． 2．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 题型02.同底数幂乘法的逆用 5．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 6．规定． （1）求____________； （2）若，求____________． 7．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 8．（1）已知，求n的值． （2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值． 题型03.科学记数法表示数的乘法 9．中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．材料一：柯伊伯带是位于太阳系海王星轨道外侧（距离太阳约30个天文单位），在黄道面附近的天体密集的圆盘区域，柯伊伯带的假说最先由美国天文学家弗雷德里克·伦纳德提出，十几年后杰拉德·柯伊伯证实了该观点，柯伊伯带类似于小行星带，但范围大得多，它比小行星带宽20倍且重20至200倍．   材料二：天文单位是天文学中计量天体间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，根据国际天文学联合会的定义，一个天文单位等于．   根据上面的材料，写出柯伊伯带距离太阳的距离________（结果用科学记数法表示） 11．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 12．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 题型04.幂的乘方运算 13．计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 14．已知：，，则的值为______． 15．若正整数满足，则（    ） A．32 B．4 C．8 D．16 16．若为正整数，且，求的值． 17．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 题型05.幂的乘方的逆用 18．已知，，则______． 19．已知，，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 20．已知n为正整数，且，求的值． 21．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 题型06.积的乘方运算 22．（     ） A． B． C． D． 23．计算：______． 24．计算：． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07.积的乘方逆用 26．计算的结果是______． 27．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 28．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 29．（1）计算：． （2）若，，用，的代数式表示． 30．用简便方法进行计算： 题型08.同底数幂的除法运算 31．若，则的值为_____． 32．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 33．计算： (1) (2) 34．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09.同底数幂除法的逆用 35．若，，则________． 36．若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 37．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 38．计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 题型10.幂的混合运算 39．计算： 40．计算： (1) (2) 41．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型11.零指数幂 42．计算：________． 43．若，，，，则a、b、c、d中最大的是______． 44．计算：． 45．计算：． 题型12.负整数指数幂 46．已知，则___________． 47．若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 48．计算： (1)； (2)． 题型13.幂的大小比较 49．已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 50．已知，，，则的大小关系是_________（用“<”连接）． 51．已知，，则x、y、z三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 52．已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 53．已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 54．如果，那么规定．例如：如果，那么． (1)根据规定填空：___________，___________； (2)记，，，若，求的值； (3)若，，比较，的大小关系． 55．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 题型14.幂的运算参数求解题 56．已知：（为正整数，且），则________． 57．若，则可以取的值有______． 58．已知，则_____． 59．已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 60．已知（，为常数）满足表格中的信息则的值为（     ） x的取值 1 2 3 4 5 的值 1 无意义 1 m A． B．9 C． D． 题型15.新定义运算题 61．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 62．新定义：如果，则规定，例如：，所以．填空______；若，，，则x，y，z的关系式为______． 63．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如：如果，那么，请根据这种新运算填空：若，则_______（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）． 64．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____． 65．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 66．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 67．我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 68．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 69．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 题型16.幂的运算规律探究题 70．观察下列代数式：，，，，，，按照上述规律，第个代数式是______，第个代数式是______． 71．观察下列等式： 按此规律，第n个等式为_______ 72．一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 73．定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 74．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂的运算期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记幂的四条核心运算公式：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，掌握公式底数、指数的变化规律。 2.掌握零指数幂、负整数指数幂的定义与取值规则，明确底数限制条件。 3.熟练掌握科学记数法（含负指数小数型），能正确表示极小、极大数。 4.理清幂运算公式的正向运用、逆向运用、综合变形，区分易混淆公式。 1.能精准辨析题型，根据式子结构快速匹配对应幂运算公式，避免公式混用。 2.具备公式逆用、变形用能力，能解决指数求值、比较大小、整体代换题型。 3.能规范处理零指数、负指数运算，规避底数为 0、符号出错问题。 4.能综合多个幂公式进行混合运算，养成先定符号、再算指数的解题习惯。 . 1.基础题：幂的简单运算、科学记数法零失误，公式不混淆。 2.中档题：熟练多公式综合运算、负指数、零指数计算，步骤规范、结果标准。 3.拔高题：攻克公式逆用、指数整体代入、幂的大小比较高频压轴题型。 4.规避易错点：符号错误、指数加减乘混淆、零指数底数陷阱、负指数倒数写错。 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.科学记数法表示数的乘法 题型04.幂的乘方运算 题型05.幂的乘方的逆用 题型06.积的乘方运算 题型07.积的乘方逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.零指数幂 题型12.负整数指数幂 题型13.幂的大小比较 题型14.幂的运算参数求解题 题型15.新定义运算题 题型16.幂的运算规律探究题 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:四大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 同底数幂相除 am÷an=am−n 底数不变，指数相减 顺序不能颠倒 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点03:零指数幂与负整数指数幂（重难点 + 扣分重灾区） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的 0 次幂等于 1 禁忌：00 无意义，考试高频坑 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 核心真谛：负指数≠负数！ 口诀：负指数，变倒数，指数变正 3.特殊指数对比详解表 类型 公式 限制条件 考试考法 典型错解 零指数幂 a0=1 a0 判断有无意义、化简求值 认为 00=1 负指数幂 a−p= a0 化简、混合运算、结果规范 a-2=-a2 4.拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点04:公式逆向运用（期末拔高、压轴必考） 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 am−n=am÷an am÷an=am−n 已知高次幂求低次幂 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点05.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 3.易错规范 (1)a 绝对不能大于等于 10 或小于 1 (2)小数科学记数法极易写错指数绝对值 知识点06:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点07:全章超详细易错点汇总表（阅卷扣分点全覆盖） 错误类型 错误写法 正确写法 错因深度解析 同底相乘指数相乘 a2a3=a6 a2a3=a5 混淆乘除与乘方指数规则 幂的乘方指数相加 (a2)3=a5 (a2)3=a6 高级运算指数相乘 积的乘方漏系数 (3a)2=3a2 (3a)2=9a2 因式包含系数，必须整体乘方 负指数理解错误 a-2=-a2 a-2= 负指数是倒数关系，不是负号 零指数不看底数 00=1 00 无意义 忽略底数不为 0 的前提 底数混淆 -22=4 -22=-4 有无括号，底数完全不同 结果保留负指数 最终式子带负指数 必须化为正指数分式 考试硬性扣分 异底幂乱运算 不同底数指数乱加减 异底先转化，不能直接运算 概念不清晰 知识点08:期末必考四大题型体系 1.基础计算题：单一公式套用、简单化简、科学记数法填空 2.混合运算题：乘方 + 乘除 + 零指数 + 负指数综合计算（解答题必考） 3.代数式求值题：公式逆用、整体代入、已知幂求式子的值 4.压轴拓展题：幂的大小比较、指数方程、参数求值、简便运算 题型01.同底数幂相乘. 1．已知，则的值为_____． 【答案】27 【分析】先利用同底数幂的乘法法则化简所求式子，再根据已知条件得到的值，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴． 2．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算和整式加法运算，将等式左右两边化简为同底数幂的形式，利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系即可． 【详解】解：∵ 又∵ 由题可知等式左右两边相等， ∴ ， 可得 ， 整理得 ． 3．规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)32 (2)1.5 【分析】根据新运算的定义，将新运算转换为通常的代数式计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ， ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （3）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （4）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 题型02.同底数幂乘法的逆用 5．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 6．规定． （1）求____________； （2）若，求____________． 【答案】 125 1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 7．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（1）已知，求n的值． （2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值． 【答案】（1）1 （2）1024 【分析】（1）将变形为，将分别变形为，然后可计算，即可确定n的值； （2）将3996分解质因数，分别求出a、b、c的值，然后代入计算的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算以及代数式代入求值的知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 题型03.科学记数法表示数的乘法 9．中国天宫空间站在近地轨道的平均飞行速度约为米/秒，绕地球一圈约90分钟，用科学记数法表示天宫空间站绕地球一圈的行程约为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题根据路程公式：路程速度时间，计算地球周长，先统一时间单位，再计算结果，最后将结果改写为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 90分钟 秒， 天宫空间站绕地球一圈的行程为（米）． 10．材料一：柯伊伯带是位于太阳系海王星轨道外侧（距离太阳约30个天文单位），在黄道面附近的天体密集的圆盘区域，柯伊伯带的假说最先由美国天文学家弗雷德里克·伦纳德提出，十几年后杰拉德·柯伊伯证实了该观点，柯伊伯带类似于小行星带，但范围大得多，它比小行星带宽20倍且重20至200倍．   材料二：天文单位是天文学中计量天体间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，根据国际天文学联合会的定义，一个天文单位等于．   根据上面的材料，写出柯伊伯带距离太阳的距离________（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，结合路程速度时间，进行解答即可． 【详解】解：柯伊伯带距离太阳的距离为： ． 故答案为：． 11．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 12．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了科学记数法的运算，解题的关键是掌握科学记数法的乘法法则和幂的运算性质； （1）先将系数相乘，再将同底数幂相乘即可； （2）先将系数相乘，再将同底数幂相乘，再将其化为科学记数法形式； （3）先计算积的乘方，再利用同底数幂的乘法运算，系数相乘，再将其化为科学记数法形式． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：． 题型04.幂的乘方运算 13．计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则直接计算即可得到结果． 【详解】． 14．已知：，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则，对已知等式变形，推导得到与的数量关系，再将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， 即，， ， 整理得， ， ， 将 代入得， ． 15．若正整数满足，则（    ） A．32 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法可知8个相加可表示为，根据幂的乘方可知8个相乘可表示为，进而可知即可求出的值． 【详解】解：8个相加可表示为，8个相乘可表示为， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 16．若为正整数，且，求的值． 【答案】 【分析】用幂的乘方法则将原式变形为，然后代入求值计算． 【详解】解：， ． 17．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，以及整式的加减运算． 解题的关键是严格按照幂的运算规则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，注意符号和底数的统一． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7） 题型05.幂的乘方的逆用 18．已知，，则______． 【答案】 【详解】解：． 19．已知，，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则求解，将已知变形后整体计算即可得到结果，用到幂的乘方和同底数幂乘法的性质． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 20．已知n为正整数，且，求的值． 【答案】1127 【分析】根据幂的乘方的法则将式子中全部化为的形式，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 21．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 题型06.积的乘方运算 22．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 23．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方法则计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 24．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． (1)根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (2)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (3)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (4)根据积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型07.积的乘方逆用 26．计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】利用同底数幂的逆运算法则和积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 27．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则以及积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将化为，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 28．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： = = = =． 29．（1）计算：． （2）若，，用，的代数式表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方逆运算、幂的乘方，掌握逆用积的乘方公式简化计算，以及通过分解底数将未知幂转化为已知幂的技巧是解题的关键． （1）观察到与互为倒数，逆用积的乘方公式，将指数相同的部分合并，再计算剩余项； （2）将分解为，再把转化为，结合已知条件用代换，最后整理成含的代数式． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵，， ∴． 30．用简便方法进行计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．把拆分为，再利用积的乘方的逆运算，将与结合起来进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 题型08.同底数幂的除法运算 31．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 32．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除、幂的乘方法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确． 33．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算负整数指数幂，零次幂，乘方，最后进行加法运算即可． （2）依次计算同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 34．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据同底数幂的除法法则运算即可得到答案； （2）原式根据同底数幂的除法法则运算即可得到答案； （3）原式进行同底数幂的乘除法运算即可得到答案； （4）原式先计算同底数幂的除法，再进行整式的加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型09.同底数幂除法的逆用 35．若，，则________． 【答案】 【详解】解：． 36．若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂除法逆运算，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算； 由已知方程可得的值，再将所求表达式化为同底数幂的形式，代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴故选：D. 37．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 题型10.幂的混合运算 39．计算： 【答案】 【详解】解： ． 40．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)13 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 41．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型11.零指数幂 42．计算：________． 【答案】5 【详解】解：． 43．若，，，，则a、b、c、d中最大的是______． 【答案】c 【分析】先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再比较有理数的大小，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， a、b、c、d中最大的是c． 44．计算：． 【答案】 【详解】 解 ：原式 ． 45．计算：． 【答案】 【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算，然后计算减法． 【详解】解： ． 题型12.负整数指数幂 46．已知，则___________． 【答案】 【分析】将所求幂的指数变形，结合已知条件求出指数的值，再根据负整数指数幂的运算法则计算结果； 【详解】解：对指数变形可得， 把，代入上式得， ． 47．若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，列出关于p的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解： ． 题型13.幂的大小比较 49．已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则将原式化为同指数幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 50．已知，，，则的大小关系是_________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】均为的乘方，根据幂的乘方将的底数全部转化为，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴． 51．已知，，则x、y、z三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用幂的乘方法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到幂的大小关系，运用初中幂的运算性质即可求解． 【详解】解：∵ ，，，根据幂的乘方法则，可得 ， ， . ∵ 指数相同的正幂，底数越大，幂越大，且， ∴ ，即． 52．已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ， ， 可知， ∴． 53．已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 54．如果，那么规定．例如：如果，那么． (1)根据规定填空：___________，___________； (2)记，，，若，求的值； (3)若，，比较，的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，找满足和的指数即可； （2）先根据定义把、转化为、，再利用同底数幂乘法，结合求出； （3）先根据定义把、表示为和，再逆用幂的乘方将二者统一指数为，转化为和，最后通过比较底数大小得出，的大小关系． 【详解】（1）解：，则， ，则． （2）解：，则，，则， ， 若，则，可得， ，故． （3）解：，则，即， ，则，即， ，故． 55．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】 【分析】按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴． 题型14.幂的运算参数求解题 56．已知：（为正整数，且），则________． 【答案】6 【分析】先根据合并同类项的意义，将左边化简，再利用同底数幂的乘法法则计算，根据幂相等，底数时指数相等，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：左边为个相加，可得 根据同底数幂的乘法法则，得 已知等式为 因为为正整数，且，所以等式两边底数相等，因此指数相等，即 移项得 合并同类项得 系数化为得． 57．若，则可以取的值有______． 【答案】6，4，1 【分析】根据整数指数幂的运算性质，分三种情况讨论幂等于的情形，分别计算验证得到的取值． 【详解】解：①当时，， ，符合题意； ②当时，， ，符合题意； ③当，，解得， 故可以取的值有6，4，1． 58．已知，则_____． 【答案】 或或 【分析】根据幂运算结果为的三种情况分类讨论，分别求解并验证，即可得到的所有可能值． 【详解】解：原方程整理得：分三种情况讨论： 情况1：当指数为，底数不为时，可得，解得，此时，等式成立； 情况2：当底数为，指数为任意数时，可得，解得，此时，等式成立； 情况3：当底数为，指数为偶数时，可得，解得，此时，是偶数，，等式成立． 59．已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，巧妙利用指数运算性质，将乘积关系转化为指数相加，简化计算．通过指数运算，将已知等式转化为合适的指数形式，利用指数求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， ∴， ∴， ， 故选：B． 60．已知（，为常数）满足表格中的信息则的值为（     ） x的取值 1 2 3 4 5 的值 1 无意义 1 m A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的意义确定的值，再代入已知点求出的值，最后计算时的即可. 【详解】解：∵当时，无意义，根据零指数幂和负整数指数幂的定义，底数为0时表达式无意义， ∴，解得， 把，，代入表达式，得 ， ∴， 当时，. 题型15.新定义运算题 61．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 【答案】 【分析】根据定义求解即可； 【详解】解：， 由， 得， 由， 故； 62．新定义：如果，则规定，例如：，所以．填空______；若，，，则x，y，z的关系式为______． 【答案】 4 【分析】第一空根据新定义计算得到结果，第二空先根据新定义写出对应幂的等式，再利用同底数幂的乘法法则推导，，的数量关系即可． 【详解】解：， ； ，，， ∴根据新定义可得，，， ∴， ∴， ． 63．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如：如果，那么，请根据这种新运算填空：若，则_______（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】 【分析】根据新的运算定义，将原式化成n个的积乘以2026个的积，再代入值进行计算便可． 【详解】解：∵， ∴ ． 64．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____． 【答案】0 【分析】本题考查了幂运算，包括零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握幂运算法则是关键．根据新定义可得，再分三种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， 分三种情况： 当时，，此时底数，但x不是整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，，不符合题意，舍去； 综上所述，整数x的值为0． 故答案为：0． 65．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①： ， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ， ， ． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ， 同理， ． ∴ 结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：B． 66．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 67．我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由题意得：，，， ， ， ． （3），理由如下： 由题意得：，， ， ， ． 方法二：， ， ． 68．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【答案】(1)4， (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据，则计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）证明：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：． 69．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 题型16.幂的运算规律探究题 70．观察下列代数式：，，，，，，按照上述规律，第个代数式是______，第个代数式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 观察代数式序列，符号交替变化，系数和指数均为项数，利用表示符号规律． 【详解】解：序列中第个代数式的系数为，指数为，符号由决定， 故第个代数式为； 当时，， 故第个代数式为， 故答案为：；． 71．观察下列等式： 按此规律，第n个等式为_______ 【答案】 【分析】观察给定等式，右边数字均为2乘以3的从到次幂之和，符合因式分解规律． 本题是对数字变化规律的考查，观察等式的变化是解题关键． 【详解】根据因式分解公式， ； ； ； ； ， 故答案为：， 72．一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 【答案】 【分析】分别观察每个式子的各部分，总结规律：第一项系数恒为3，a的次数为式子序号n的2倍；第二项系数符号为奇数项为负，偶数项为正，系数绝对值恒为2，b的次数等于式子序号． 【详解】解：由已知式子可得： 每个式子的第一项为系数乘以的次幂，即； 当为奇数时，，第二项符号为负；当为偶数时，，第二项符号为正，符合符号规律，且第二项系数绝对值为，的次数为； 因此第个式子是． 73．定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 74．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $