专题02整式乘法期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题02整式乘法期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，分清指数运算规律，避免法则混淆。 2.理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算依据（乘法分配律），熟练运算法则。 3.吃透平方差、完全平方公式结构特征，理解公式由来，区分易混公式，知道公式是多项式乘法特例。 4.理清知识脉络，明白整式乘法和后续因式分解互为逆运算，运算结果化成最简整式。 1.提升整式混合运算能力，能处理含负数、分数、多字母算式，减少符号、指数、漏项错误。 2.学会灵活正用、逆用乘法公式，熟练整体代入、凑配变形等解题技巧。 3.具备数形结合能力，借助面积理解公式，能根据实际、几何问题列式并用整式乘法计算。 4.学会总结错题，自主查找运算错误，养成规范书写、计算验算的习惯。 1.选择填空题：快速判断幂运算、公式正误，熟练简单求值、求参数小题，基础题少丢分。 2.计算题：规范书写解题步骤，拿下化简、先化简再代入求值必考题型，保证大题得分。 3.中档解答：熟练整体求值、图形面积计算、列式应用题等常考题型。 4.拓展题：掌握简单配方、恒成立求参题型，熟悉考题陷阱，争取高分。 题型01.计算单项式乘单项式 题型02.单项式乘法求字母或代数式值 题型03.计算单项式乘多项式及求值 题型04.单项式乘多项式的应用 题型05.单项式乘多项式求字母的值 题型06.计算多项式乘多项式 题型07.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型08.多项式乘多项式--化简求值 题型09.多项式乘积不含某项求参数 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12.整式乘法混合运算 题型13.运用平方差公式进行运算 题型14.平方差公式与几何图形 题型15.运用完全平方公式进行运算 题型16.完全平方公式变形求值 题型17.完全平方公式与几何图形 题型18.求完全平方式中的字母系数 题型19.整式的混合运算 题型20.新定义运算 知识点01:整式三种乘法运算 运算类型 运算步骤 注意要点 单 ×单 1. 系数相乘； 2. 同底数幂分别相乘； 3. 只在一个单项式里含有的字母直接保留 重点留意负号、分数系数，极易符号出错 单 ×多 依据乘法分配律，单项式依次乘多项式每一项，去括号后合并同类项 必须逐项相乘，不能漏掉常数项和带负号的项 多 ×多 用一个多项式的每一项乘另一个多项式所有项，去括号后合并同类项化为最简 逐项标记，防止漏项、符号写错 知识点02:乘法公式（重难点） 公式 名称 标准形式 关键特征 易错提醒 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和 × 两数差 = 平方差；一项相同、一项互为相反数 勿漏平方：(a+b)(a−b)a−b2 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 符号随中间 勿丢中间项：(a±b)2a2±b2 知识点03.公式高频变形（解题提速必备） a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2−(a−b)2=4ab (a−b)2=(b−a)2 作用：已知 a+b、ab 的值，整体代入求代数式数值。 知识点04.运算核心规则（避错关键） 1.顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 2.符号：负号乘多项式，每一项都变号；同号得正、异号得负 3.结果：必须合并所有同类项，化为最简整式（无同类项、无括号） 知识点05.知识逻辑链（理清脉络不混淆） 幂的运算（基础） → 单项式 × 单项式 → 单项式 × 多项式 → 多项式 × 多项式 → 乘法公式（特殊形式，简便运算） 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 知识点06:易错点汇总 易错知识点 错误表现 正确做法 幂的运算法则混用 同底数幂相乘指数相乘，幂的乘方指数相加 牢记：同底相乘指数加，幂的乘方指数乘 积的乘方运算 只给字母乘方，系数不乘方 系数、所有字母因式全部乘方 单项式乘多项式 漏乘多项式中的某一项、符号出错 逐项乘，逐项定符号，逐项书写 多项式相乘 漏项、去括号符号错误 逐项相乘，标记各项，细心变号 完全平方公式 (a±b)2=a2±b2，丢掉2ab 公式必须保留中间两倍乘积项 化简求值 最后不合并同类项、代值不加括号 运算结束化最简，负数、分数代入加括号 知识点07:常考题型 1. 选择填空：幂运算正误判断、公式简单计算； 2. 基础大题：整式化简、先化简再代值计算； 3. 中档题：整体代入求值、多项式不含某项求字母参数、几何图形面积列式计算； 4. 拔高题：利用完全平方配方求值、代数式求最值。 题型01.计算单项式乘单项式 1．计算：______． 2．下列运算结果是的是（     ） A． B． C． D． 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1)； (2)； (3)． 题型02.单项式乘法求字母或代数式值 5．与互为倒数，则=________． 6．若单项式和的积为，则的值为________． 7．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若，则求的值． 题型03.计算单项式乘多项式及求值 9．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则_______． 11．定义一种新运算：．例如：．则（     ） A． B． C． D． 12．已知，求的值． 题型04.单项式乘多项式的应用 13．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 14．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 15．如图是边长分别为a和b的两个正方形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 16．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 题型05.单项式乘多项式求字母的值 17．若的乘积中不含项，则a的值为____． 18．若的展开式中不含项，则______． 19．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 题型06.计算多项式乘多项式 21．已知，则的值为______． 22．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 23．计算： 24．计算： (1) (2) (3) 题型07.(x+p)(x+q)型多项式乘法 25．若，则___________． 26．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 27．回答下列问题： (1)计算：①（x+2）（x+3）＝_____； ②（x+2）（x﹣5）＝______； ③（x﹣4）（x﹣3）＝______； (2)总结公式填空：（x+a）（x+b）＝x2+_____x+ab (3)已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+8，求m的所有可能值， 28．已知，试求的值． 题型08.多项式乘多项式--化简求值 29．先化简，再求值：的值，其中． 30．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 31．已知，求代数式的值． 题型09.多项式乘积不含某项求参数 32．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 33．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 34．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为4，则的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 35．若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 题型10.多项式乘多项式与图形面积 36．如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． (1)请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； (2)求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 37．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 38．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 39．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中包含的项的系数是_____________． 40．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 41．《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 题型12.整式乘法混合运算 42．计算： (1)； (2)． 43．计算： (1)． (2)． 44．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型13.运用平方差公式进行运算 45．若，，则_______． 46．若 ，则 __________ 47．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 48．先化简，再求值：，其中，． 49．观察下列等式，完成问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)按照以上四个等式的规律，请写出第5个等式：____________； (2)猜想第个等式：______________________________，并证明这个猜想． 题型14.平方差公式与几何图形 50．将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 51．数学活动课上，小明发现了一个有趣的几何图案：如图1所示，有一个边长为x的大正方形，在其内部依次嵌套着边长为y和z的两个小正方形．三个正方形的中心重合，且对应边平行．若大正方形与中间正方形的面积差记为，中间正方形与最小正方形的面积差为． (1)问题探究 设，，，，用a，b表示，用c，d表示； (2)如图2，已知，，求阴影部分（大正方形减去最小正方形）的面积； (3)若，且， ①求的值； ②在①的条件下，若，求 ． 52．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 题型15.运用完全平方公式进行运算 53．已知多项式，则_____ ． 54．已知，则的值是____________． 55．使得为完全平方数的自然数有（    ）个． A．0 B．2 C．4 D．6 56．先化简，再求值：，其中，． 57．定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 题型16.完全平方公式变形求值 58．若，，则________． 59．若，，则 ________，_______． 60．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 61．已知，，求，的值． 题型17.完全平方公式与几何图形 62．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b．如果，那么阴影部分的面积为______． 63．如图，有正方形，现将放在的内部得图1（图中阴影部分是正方形），将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1，图2中阴影部分的面积分别为，关于甲、乙的说法．甲，正方形和的面积和是；乙：正方形的面积差为．判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 64．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知， ，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得 ，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知 ，则 ； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 题型18.求完全平方式中的字母系数 65．如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 66．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 67．若多项式是一个完全平方式，则不可能是（     ）． A． B． C．3 D． 68．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 题型19.整式的混合运算 69．________． 70．计算下列各式，其结果是的是（　　） A． B． C． D． 71．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型20.新定义运算 72．若定义，且，则______． 73．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 74．若规定新运算：，则当时，________． 75．定义：是多项式化简后的项数．例如多项式，则，一个多项式乘多项式B，化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”；例如多项式，则，则，所以是的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”．若均是关于的多项式，且B是A的“极好多项式”，则的值为（   ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 76．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 77．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式乘法期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，分清指数运算规律，避免法则混淆。 2.理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算依据（乘法分配律），熟练运算法则。 3.吃透平方差、完全平方公式结构特征，理解公式由来，区分易混公式，知道公式是多项式乘法特例。 4.理清知识脉络，明白整式乘法和后续因式分解互为逆运算，运算结果化成最简整式。 1.提升整式混合运算能力，能处理含负数、分数、多字母算式，减少符号、指数、漏项错误。 2.学会灵活正用、逆用乘法公式，熟练整体代入、凑配变形等解题技巧。 3.具备数形结合能力，借助面积理解公式，能根据实际、几何问题列式并用整式乘法计算。 4.学会总结错题，自主查找运算错误，养成规范书写、计算验算的习惯。 1.选择填空题：快速判断幂运算、公式正误，熟练简单求值、求参数小题，基础题少丢分。 2.计算题：规范书写解题步骤，拿下化简、先化简再代入求值必考题型，保证大题得分。 3.中档解答：熟练整体求值、图形面积计算、列式应用题等常考题型。 4.拓展题：掌握简单配方、恒成立求参题型，熟悉考题陷阱，争取高分。 题型01.计算单项式乘单项式 题型02.单项式乘法求字母或代数式值 题型03.计算单项式乘多项式及求值 题型04.单项式乘多项式的应用 题型05.单项式乘多项式求字母的值 题型06.计算多项式乘多项式 题型07.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型08.多项式乘多项式--化简求值 题型09.多项式乘积不含某项求参数 题型10.多项式乘多项式与图形面积 题型11.多项式乘法中的规律性问题 题型12.整式乘法混合运算 题型13.运用平方差公式进行运算 题型14.平方差公式与几何图形 题型15.运用完全平方公式进行运算 题型16.完全平方公式变形求值 题型17.完全平方公式与几何图形 题型18.求完全平方式中的字母系数 题型19.整式的混合运算 题型20.新定义运算 知识点01:整式三种乘法运算 运算类型 运算步骤 注意要点 单 ×单 1. 系数相乘； 2. 同底数幂分别相乘； 3. 只在一个单项式里含有的字母直接保留 重点留意负号、分数系数，极易符号出错 单 ×多 依据乘法分配律，单项式依次乘多项式每一项，去括号后合并同类项 必须逐项相乘，不能漏掉常数项和带负号的项 多 ×多 用一个多项式的每一项乘另一个多项式所有项，去括号后合并同类项化为最简 逐项标记，防止漏项、符号写错 知识点02:乘法公式（重难点） 公式 名称 标准形式 关键特征 易错提醒 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和 × 两数差 = 平方差；一项相同、一项互为相反数 勿漏平方：(a+b)(a−b)a−b2 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 符号随中间 勿丢中间项：(a±b)2a2±b2 知识点03.公式高频变形（解题提速必备） a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2−(a−b)2=4ab (a−b)2=(b−a)2 作用：已知 a+b、ab 的值，整体代入求代数式数值。 知识点04.运算核心规则（避错关键） 1.顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 2.符号：负号乘多项式，每一项都变号；同号得正、异号得负 3.结果：必须合并所有同类项，化为最简整式（无同类项、无括号） 知识点05.知识逻辑链（理清脉络不混淆） 幂的运算（基础） → 单项式 × 单项式 → 单项式 × 多项式 → 多项式 × 多项式 → 乘法公式（特殊形式，简便运算） 首平方，尾平方，乘积二倍放中央 知识点06:易错点汇总 易错知识点 错误表现 正确做法 幂的运算法则混用 同底数幂相乘指数相乘，幂的乘方指数相加 牢记：同底相乘指数加，幂的乘方指数乘 积的乘方运算 只给字母乘方，系数不乘方 系数、所有字母因式全部乘方 单项式乘多项式 漏乘多项式中的某一项、符号出错 逐项乘，逐项定符号，逐项书写 多项式相乘 漏项、去括号符号错误 逐项相乘，标记各项，细心变号 完全平方公式 (a±b)2=a2±b2，丢掉2ab 公式必须保留中间两倍乘积项 化简求值 最后不合并同类项、代值不加括号 运算结束化最简，负数、分数代入加括号 知识点07:常考题型 1. 选择填空：幂运算正误判断、公式简单计算； 2. 基础大题：整式化简、先化简再代值计算； 3. 中档题：整体代入求值、多项式不含某项求字母参数、几何图形面积列式计算； 4. 拔高题：利用完全平方配方求值、代数式求最值。 题型01.计算单项式乘单项式 1．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．先根据幂的乘方与积的乘方运算法则化简各项，再根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．下列运算结果是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 题型02.单项式乘法求字母或代数式值 5．与互为倒数，则=________． 【答案】6 【分析】本题考查了倒数的性质，互为倒数的两数乘积为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ 故答案为：． 6．若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 8．若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型03.计算单项式乘多项式及求值 9．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用单项式分别乘多项式的每一项，化简后得到结果． 【详解】 ． 10．已知，则_______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 11．定义一种新运算：．例如：．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：☆． 12．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据单项式乘以单项式的运算法则得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 题型04.单项式乘多项式的应用 13．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 【答案】B 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 14．计算图中（每个顶点处均为直角）阴影部分的面积为_______（用a，b表示） 【答案】 【分析】阴影部分可以分割成三个长方形，其中两个长方形相同，长为，宽为a，另外那个长方形的长为，宽为b，据此结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为． 15．如图是边长分别为a和b的两个正方形，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，单项式与多形式的乘法，利用正方形、三角形面积计算方法表示出各部分的面积，正确利用面积的和差求阴影部分面积是解题的关键． 根据题意，结合图形，，分别表示出各部分面积，即可得到结果． 【详解】解：如图， ． 故选：D． 16．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2），， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 题型05.单项式乘多项式求字母的值 17．若的乘积中不含项，则a的值为____． 【答案】0 【分析】根据乘积中不含某一项，即该项的系数为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：， 乘积中不含项， 项的系数为， 即， 解得． 18．若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 19．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 题型06.计算多项式乘多项式 21．已知，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则展开，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：1． 22．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算，涉及合并同类项，去括号法则，积的乘方，多项式乘法，按照运算法则逐一计算即可判断正确选项． 【详解】解：选项A，∵， ∴A错误； 选项B，∵， ∴B错误； 选项C，∵， ∴C错误； 选项D，∵， ∴D正确． 23．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键． 先进行乘法运算，然后去括号，最后合并同类项即可解答． 【详解】解： ． 24．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 题型07.(x+p)(x+q)型多项式乘法 25．若，则___________． 【答案】 【分析】先化简，得到，推导出，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 26．若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， 则，， 解得：，． 27．回答下列问题： (1)计算：①（x+2）（x+3）＝_____； ②（x+2）（x﹣5）＝______； ③（x﹣4）（x﹣3）＝______； (2)总结公式填空：（x+a）（x+b）＝x2+_____x+ab (3)已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+8，求m的所有可能值， 【答案】(1)①x2+5x+6；②x2-3x-10；③x2-7x+12； (2)（a+b）； (3)9或6或-9或-6 【详解】（1）解：①（x+2）（x+3） =x2+3x+2x+6 =x2+5x+6， 故答案为：x2+5x+6； ②（x+2）（x﹣5） = x2-5x+2x-10 = x2-3x-10； 故答案为：x2-3x-10； ③（x﹣4）（x﹣3） = x2-3x-4x+12 = x2-7x+12， 故答案为：x2-7x+12； （2）（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab=（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， 故答案为（a+b）； （3）∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+8，（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， ∴a+b=m，ab=8， ∵a，b，m均为整数，， ∴m=9或6或-9或-6． 【点睛】此题考查了整式的乘法公式：多项式乘以多项式，探究多项式乘以多项式的规律并应用规律解决问题，正确掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 28．已知，试求的值． 【答案】−16 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn计算，再把m2n＋mn2因式分解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋（m＋n）xy＋mny2＝x2＋2xy−8y2， ∴m＋n＝2，mn＝−8， ∴＝mn（m＋n）＝−8×2＝−16． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 题型08.多项式乘多项式--化简求值 29．先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 30．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)；1 【详解】（1）解： ， 当， 时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 31．已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算化简原式，再将整理为，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 题型09.多项式乘积不含某项求参数 32．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 33．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式运算与整式恒成立的性质，先将等式左边按多项式乘多项式法则展开，对比等式两边对应项系数得到m、n关于s、t的表达式，代入整理，根据无论t为何值结果为定值，得到t的系数为0，求出s的值，即可计算得到定值 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵无论为何值，的值始终为定值， ∴ ∴ ∴ 34．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为4，则的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据不含x的一次项，则一次项系数为0，的系数为4列方程，求出m和n的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x的一次项，且的系数为， ∴， 解得， ， ∴． 35．若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵的积中不含x项与项， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴ ∴ 题型10.多项式乘多项式与图形面积 36．如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． (1)请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； (2)求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）扩建后的长方形花园的面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此根据长方形的面积公式求解即可； （2）求出扩建前长方形花园的面积，再求出扩建后长方形花园的面积减去扩建前长方形花园的面积的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形花园的面积为平方米； （2）解： 平方米， ∴扩建前长方形花园的面积为平方米， 平方米， ∴扩建后花园的面积增加平方米． 37．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1) (2)12500元 【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解： ， 答：草坪面积为； （2）解：当，时， ， （元） 答：购买草坪所需要的总费用为12500元． 38．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 39．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中包含的项的系数是_____________． 【答案】28 【分析】观察各展开式的的项的系数，得出规律的展开式中包含的项的系数是，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵，其中的系数为， ，其中的系数为， ，其中的系数为， ，其中的系数为， …， ∴的展开式中包含的项的系数是， ∴的展开式中包含的项的系数是． 40．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了贾宪三角． 根据题干找出展开式的系数和的规律作答即可． 【详解】解析：当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； …… 当时，展开式的系数和为． 故选：D 41．《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 【答案】(1) (2)2027， (3)；0 (4)0或 【分析】（1）根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1，即可解答； （2）观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为，令，，得到，即可解答； （3）根据杨辉三角第7行的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，得到 ，据此解答即可； （4）先对代数式变形为，令，则，分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1， ∴； （2）解：观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为； 令，，则 此值就是展开式各项系数之和， ∴各项系数之和为． （3）解：∵杨辉三角第7行的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1， ∴ ， ， 从左往右数第四项为， 化简各项后，x的指数依次为：，没有指数为3的项，因此的三次项的系数为0． （4）解：先对代数式变形： 令，则 ： ①当时，， 解得， 则 ②当时，， 解得， 则 ∴的值为或． 题型12.整式乘法混合运算 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 44．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型13.运用平方差公式进行运算 45．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件的值计算即可． 【详解】解：由平方差公式得， 把，代入得，原式． 46．若 ，则 __________ 【答案】 【分析】设，则，方法，利用平方差公式展开并整体代入计算即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ． 47．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用； 先将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用公式计算判断选项即可． 【详解】解：∵， 又∵平方差公式为，令，， ∴原式， ∴故选：C． 48．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 49．观察下列等式，完成问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)按照以上四个等式的规律，请写出第5个等式：____________； (2)猜想第个等式：______________________________，并证明这个猜想． 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据等式的特点，表示出偶数，奇数解答即可； （2）根据整式的规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：， 第5个等式为：； （2）解：根据题意，得第n个等式为：； 证明：左边 ， 右边， 左边=右边， 故； 题型14.平方差公式与几何图形 50．将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算．利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得大三角形的高为： ，小三角形的高为：， 图中阴影部分的总面积为： ， ， ，即：， 图中阴影部分的总面积为． 51．数学活动课上，小明发现了一个有趣的几何图案：如图1所示，有一个边长为x的大正方形，在其内部依次嵌套着边长为y和z的两个小正方形．三个正方形的中心重合，且对应边平行．若大正方形与中间正方形的面积差记为，中间正方形与最小正方形的面积差为． (1)问题探究 设，，，，用a，b表示，用c，d表示； (2)如图2，已知，，求阴影部分（大正方形减去最小正方形）的面积； (3)若，且， ①求的值； ②在①的条件下，若，求 ． 【答案】(1)， (2)240 (3)①21；②1 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）利用平方差公式求解； （3）①首先将利用完全平方公式展开，然后代入求解即可； ②首先将利用完全平方公式展开，然后代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴阴影部分； （3）解：①∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②由①得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 52．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 题型15.运用完全平方公式进行运算 53．已知多项式，则_____ ． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式把已知等式左边展开，则可求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 54．已知，则的值是____________． 【答案】 6 【分析】观察原式中三个一次项常数的关系，可利用换元法将原方程转化，整理后即可得到所求代数式的值. 【详解】解：设 ，则 ，， 将其代入原方程得： 由完全平方公式展开得： 合并同类项得： 整理得 ，即 . 55．使得为完全平方数的自然数有（    ）个． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，先根据处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了，变形得出，根据当时，，得出当时不会成为完全平方数，然后取的数进行计算即可． 【详解】解：若处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了， ∵， 当时，， ∴当时不会成为完全平方数， ∴当时，可能会是完全平方数， 当时，，此时为完全平方数； 当时，，此时为完全平方数； ∴或时，是完全平方数． 所以满足题意的值有2个． 故选：B． 56．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，当，时，原式值为 【分析】运用完全平方公式和多项式乘多项式法则展开原式，再合并同类项化简，最后代入数值计算即可，掌握整式乘法的运算法则是解题关键． 【详解】解： 原式 ， 当，时，原式． 57．定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 【答案】(1)是 (2)10 (3) 【分析】本题考查完全平方公式； （1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算，即可比较大小． 【详解】（1）解： ∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）解： ， ∵多项式是双平方多项式， ∴， 解得． （3）解： ∵，， ∴，即， ∴． 题型16.完全平方公式变形求值 58．若，，则________． 【答案】44 【分析】将所求变形为用和表示的形式，再代入已知条件计算即可 【详解】解：． 59．若，，则 ________，_______． 【答案】 13 1 【分析】本题利用完全平方公式的变形，将所求代数式用已知的和表示，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 将，代入得：； ∴． 60．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过两个方程相加消去参数，再对整理后的式子配方，利用平方数的非负性求出，的值，代入求后计算即可． 【详解】解：令为①，为②， ①+②消去得：， 变形配方得：， ∵平方数为非负数，两个非负数的和为，则每个平方都为， ∴， 解得， 把，代入①得：， 解得， ∴． 61．已知，，求，的值． 【答案】73；97 【详解】解：∵，： ∴， ． 题型17.完全平方公式与几何图形 62．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b．如果，那么阴影部分的面积为______． 【答案】 6 【分析】阴影部分的面积等于的面积加上正方形的面积，再减去的面积，据此结合已知条件列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴阴影部分的面积 ， ． 63．如图，有正方形，现将放在的内部得图1（图中阴影部分是正方形），将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1，图2中阴影部分的面积分别为，关于甲、乙的说法．甲，正方形和的面积和是；乙：正方形的面积差为．判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 【答案】C 【分析】根据图形列出算式，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，，，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵图1中阴影部分是边长为的正方形， ∴面积为， 图2中阴影部分的面积为， 即， ∵， ∴， 即， ∴正方形、正方形的面积和为， 因此甲的说法正确； ∵，而， ∴， ∵，而， ∴， ∴正方形、正方形的面积差为， 因此乙的说法正确； 故选：C． 64．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知， ，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得 ，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知 ，则 ； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）设，表示出，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可得：图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ∴， 即， ∴图中阴影部分的面积． （3）解：设， 则， ， ， ． 题型18.求完全平方式中的字母系数 65．如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 【答案】或 【分析】通过比较给定二次三项式与完全平方公式的形式，确定常数的值即可． 【详解】解：是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 66．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 67．若多项式是一个完全平方式，则不可能是（     ）． A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：对选项A： ， ∵原式， ∴是完全平方式，A不符合要求； 对选项B：， ∵原式， ∴是完全平方式，B不符合要求； 对选项C：， ∵原式， ∴是完全平方式，C不符合要求； 对选项D：， ∵原式， 若该式是完全平方式，常数项应为，， ∴无法写成整式平方的形式， ∴不是完全平方式，D符合要求． 68．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义可得，再根据完全平方公式确定k的值即可； （2）由新定义可得，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解： 是一个完全平方式， ∴， ∴，解得：． （2）解： ∵ ∴ ∴，即，解得：． 题型19.整式的混合运算 69．________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式将原式展开，再去括号，合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 70．计算下列各式，其结果是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用乘法公式逐一计算判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：A． 71．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型20.新定义运算 72．若定义，且，则______． 【答案】 【分析】根据题中新定义列出方程，化简后解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 即， ， ， ． 73．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 【答案】/ 【分析】根据定义的运算，原式可化为，然后根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 74．若规定新运算：，则当时，________． 【答案】6 【分析】根据新运算定义得到，结合进行计算即可． 【详解】解： 由得：， 则． 75．定义：是多项式化简后的项数．例如多项式，则，一个多项式乘多项式B，化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”；例如多项式，则，则，所以是的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”．若均是关于的多项式，且B是A的“极好多项式”，则的值为（   ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】先求出，，再根据“极好多项式”的定义得到多项式是二项式，则，，解得，，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴，即多项式是二项式， ∴，， 解得，， ∴． 76．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 77．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 试卷第1页，共3页 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