2.10 函数与方程【9大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以9大考点为框架，构建从概念到综合应用的函数与方程专项训练，覆盖零点判定、参数范围、综合应用等核心考法，注重数学思维的逻辑推理与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求函数的零点|6题（含多选）|辨析零点概念与存在性|从基础概念切入，建立零点与函数图像的联系| |零点存在性定理应用|6题|区间判断与参数范围初步|通过定理应用强化函数单调性与零点存在的逻辑推理| |零点个数与参数范围|12题|含分段函数、复合函数零点问题|结合函数图像与分类讨论，深化参数对零点分布的影响分析| |零点和与综合应用|12题|对称性应用及多零点综合问题|整合函数性质与方程思想，提升数学语言表达与复杂问题解决能力| |二分法|5题|近似解步骤与误差控制|培养数学眼光下的数值分析与精确计算能力|

2.10 函数与方程 9大考点汇总 考点01 求函数的零点 考点02 零点存在性定理的应用 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 考点04 求函数零点或方程根的个数 考点05 根据函数零点的个数求参数范围 考点06 利用函数零点的分布求参数范围 考点07 求零点的和的问题 考点08 二分法求方程近似解 考点09 函数与方程的综合应用 题型专练 考点01 求函数的零点 1．（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 【答案】ABC 【详解】A，令，解得，得函数的零点为1和-1，A正确； B，令，解得或，定义域为或， 令，解得或，即函数的零点为和1，B正确； C，的定义域为，令，解得， 即函数的零点为1和-1，C正确； D，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点， 故不存在零点. 2．已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】 27 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 3．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数的零点为 B．函数的零点为 C．函数的零点，即函数的图象与轴的交点 D．函数的零点，即函数的图象与轴的交点的横坐标 【答案】BD 【详解】根据函数零点的定义，可知的零点为．A错误，B正确； 函数的零点，即函数的图象与轴的交点的横坐标，因此D正确，C错误． 4．已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 5．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．的极小值为 C．的图象关于原点对称 D．有两个零点 【答案】AC 【分析】先求导，利用导数研究单调性进而判断AB，判断的奇偶性即可判断C，求的零点即可判断D. 【详解】函数的定义域为， 所以， 对于A，由，得或，函数在上单调递增，故A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数在取得极小值，故B错误； 对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，故C正确； 对于D，由，解得，函数有3个零点，故D错误． 6．函数的零点为______． 【答案】或 【详解】令，解得， 故或． 考点02 零点存在性定理的应用 7．方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 8．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数. 又， 所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为. 9．函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 10．函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 11．函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 12．已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 13．若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数的零点所在区间，从而得到的值. 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 故答案为：. 14．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 15．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 16．命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由在区间上有零点，得到或，令集合或，该命题一个必要不充分条件，则集合A是该条件范围的真子集，根据选项范围求解即可. 【详解】因为在区间上有零点， 所以，即，解得或； 令集合或， 由命题“在区间上有零点”的一个必要不充分条件， 集合A是该条件范围的真子集，根据题目选项A满足. 故选：A. 考点04 求函数零点或方程根的个数 17．直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与曲线的交点，整理可得， 而，， 所以方程无实根，交点个数为个．故A正确． 18．已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可. 【详解】定义在上函数满足，可得为奇函数， 又由，可得有对称轴， 由，可得， 则最小正周期为4， 函数的零点即函数与函数图象交点的横坐标， 又当时，， 在同一坐标系内作出函数与函数图象如下： 两函数图象有3个公共点， 则函数的零点个数是3. 19．方程的解的个数为__. 【答案】2 【分析】方程的解的个数，即函数和函数的图象的交点个数，画出两函数图象即可得. 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 20．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 21．设方程的根为a，方程的根为b，求的值． 【答案】 【分析】先化简得出，，再结合函数图象应用反函数的对称性解题. 【详解】将方程整理得，． 如图可知，a是指数函数的图像与直线交点A的横坐标， b是对数函数的图像与直线交点B的横坐标． 由于函数与互为反函数，所以它们的图像关于直线对称， 由题意可得出A、B两点也关于直线对称，于是A、B两点的坐标为，． 而A、B都在直线上，所以（A点坐标代入），或（B点坐标代入）， 故． 22．已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令并结合各段解析式所在的定义域即可求解. 【详解】当时，解得或（舍），此时有1个零点， 当时，解得，此时有1个零点，所以共有2个零点. 考点05 根据函数零点的个数求参数范围 23．已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】借助根的判别式与基本不等式计算即可得. 【详解】由题意知，，∴， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 24．若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的零点为1，2， 所以，. 所以不等式可化为. 所以所求不等式的解集为. 所以选项D正确. 25．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 26．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数，求导，利用导数分析函数单调性和极值点；分析在区间内的单调性和关键点，作出函数图象，结合图象得出有3个零点的a的取值范围． 【详解】当时，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故是的极小值点，即为最小值点，， 且； 当时，， ， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故函数的图象如下： 已知函数有3个零点，由图象可知， 当时，有3个交点； 当时，有3个交点； 综上，实数a的取值范围是． 27．对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】对和时的函数根据的范围分析单调性，进而判断出方程的实数解的个数. 【详解】当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递减， 方程至多有一个实数解； 当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递增， 方程至多有一个实数解； 综上，当时，存在实数，方程有四个不同的实数解， 又为正整数，所以可取，和为. 28．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 29．已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 【答案】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故答案为： 30．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，，对称轴为. 当时，函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由， 结合图象可得或，即或. 结合图象可知，有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意. 当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或或， 即或或. 由图可知，有2个解，有3个解， 又函数有8个零点，则需有3个解. 需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 考点06 利用函数零点的分布求参数范围 31．函数至多有______个零点． 【答案】1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 32．已知函数，则有零点的充要条件是______. 【答案】 【分析】将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程根的问题求解即可. 【详解】函数有零点方程有解. 当时，方程有一解； 当时，方程有解， 综上知：有零点的充要条件是. 故答案为：. 33．已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质可得； （2）将方程转化为一元二次方程有两个不相等的正根，由判别式及根与系数关系可得. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意， 所以，. （2）因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，解得. 所以实数的取值范围为. 34．已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求出“方程有两个小于1的正根”的等价条件，再利用充分必要条件判断即得. 【详解】设，为方程的两个小于1的正根， 则，且，， 因且等价于且， 则得，且， 故是的必要条件； 当，时，若取，， 此时方程无实根，故不是的充分条件. 综上可得，p是q的必要不充分条件. 35．已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得的范围，据此可求的取值范围. 【详解】的图象如图所示： 不妨设，则且， 其中， 故即， 故， 故答案为：. 36．设函数，若函数的四个零点从左到右分别满足：，则的值为________． 【答案】 【分析】画出与的图象，结合图象求得，从而求得正确结论. 【详解】因为函数有四个零点，令，即，等价于直线与函数的图象有四个交点， 作出函数图象如图，由图可知直线与函数的图象有四个交点， 则有，又因，即，所以． 故答案为： 37．（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 38．已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是___________；若4个零点分别记为，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数图象得出的取值范围，再根据函数图象与性质可得，，结合图象，并利用的范围即可求解. 【详解】函数有4个不同的零点等价于函数与有4个不同的交点，且交点横坐标分别为，作出的图象如下： 由图象得：，， 且关于函数的对称轴对称， 所以， 故，所以， 所以， 令， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增； 所以， 又， 所以， 故答案为：； 考点07 求零点的和的问题 39．函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)求方程在内所有解的和． 【答案】(1) (2)和，和为． 【分析】（1）利用函数最值列方程组求出,由两点横坐标差得半周期进而求出,代入最高点坐标结合范围确定,再根据正弦函数递减区间解出的单调递减区间. （2）换元化简绝对值方程,分类讨论求得,再解三角方程,找出区间内所有解并求和. 【详解】（1）由题意，最高点和最低点，得，. 解得，. ，故. 由得.所以. 代入：，即. 又，得，故. 解析式为. 令，解得. 故单调递减区间为. （2）令，方程. 当时，（舍去）； 当时，. 故，即，. 得，解得. 在内的解为和，和为. 40．函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 41．函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 42．已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 43．设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减， 即， 所以的取值范围是. 44．已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 45．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称且， 故，故，所以， 所以，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，， 又方程的根即与的交点横坐标， 而直线的斜率为，， 故的图像与直线在有且只有一个交点， 又，， 结合的周期性和对称性，在同一坐标系中画出的图像和直线， 如图： 两函数共有个交点，并且关于点对称，故所有根之和为. 考点08 二分法求方程近似解 46．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 47．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 48．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 49．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 50．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 考点09 函数与方程的综合应用 51．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先换元将原方程转化为关于的二次方程，求出的解，再结合的单调性、极值分析的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，，则函数在上单调递增，且， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， ，所以在处取到极大值， 且当时，，则的大致图象为： 由此可得大致图象为： 令，由题意可得则方程可化为， 即，解得或， 原方程有且仅有4个不同的实根， 等价于和对应方程的根的总数为4个， 因为，所以，结合图象， 要使和有且仅有4个根， 则需要满足：且，解得，此时有1个实根，有3个实根，满足题意. 52．（多选）已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 【答案】ABC 【分析】对于A，利用单调研究单调性作出函数图像即可判断，对于B，由得，进而判断B，由得，令，利用导数研究单调性作出函数图像即可判断C，先求即可判断D. 【详解】由题意得：，令，解得或， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 作出函数的函数图像： 由图可知：当时，方程有3个不相等的实数根，故A正确； 由得，即， 又， 所以，所以， 所以，故B正确； 由，所以，令， 所以，令， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 作出的函数图像： 由图可知：当时，直线与函数的图像有3个不同交点，故C正确； 由， 又，所以为偶函数，当时，为奇函数，故D错误. 53．设，函数，若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先根据的表达式求出的表达式，再分情况讨论方程的根，进而确定的取值范围. 【详解】由题设有, 由题可得， 当时，，， 则可以转化为：， 即，得，解得，不满足，故舍去； 当时，，， 则可以转化为：，即， 因为，而，故在上无解； 当时，，， 则可以转化为：，即， 令，则，解得，即， 而，故， 故，故， 综上所述，的取值范围是. 54．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 55．已知函数，则下列说法中所有正确的序号是______． ① ②若函数有个零点，则实数的取值范围为 ③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 ④对于实数，不等式恒成立 【答案】①②④ 【分析】结合分段函数的递推关系，分区间分析函数的表达式与图像特征逐一判断即可. 【详解】先分析函数的基本性质： 当时，，即     图像为顶点在，端点为的三角形. 当时，，即对任意，时，，故， 图像为前一区间图像横向拉伸为原来的2倍，纵向压缩为原来的，区间内的最高点为. 逐一判断各结论： ① ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，故①正确. ② 函数有4个零点，等价于时有4个不同实根，即直线与的图像有个交点. 直线过原点，过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像仅交于最高点，共个交点. 过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像交于最高点，共个交点. ∴ 当时，直线与的图像有个交点，即函数有个零点，故②正确. ③ 当时，的图像为三角形，底长为，高为， ∴ 与x轴围成的面积，故③错误. ④ 对任意，设，的最大值为，对应， 此时，其余点处均小于该最大值，故恒成立，即恒成立，故④正确. 56．已知，，． (1)当，时，求函数在上的单调区间； (2)若在区间上有解，求的取值范围． (3)设，试讨论：是否存在，使得方程有解，且其所有正实数解按从小到大的顺序排列后，能构成等差数列？若存在，求所有满足条件的的值；否则，说明理由． 【答案】(1)函数单调递增区间为和；函数递减区间为和． (2) (3)存在；当时，存在唯一解； 当时，存在两个解和； 当时，存在三个解、和． 【分析】（1）用二倍角公式把原函数转化为关于的二次函数，利用换元法结合二次函数和余弦函数的单调性，利用同增异减原则分析函数单调性，求出函数单调区间； （2）利用二倍角公式结合两角和与差的公式化简已知不等式，把在区间上有解问题转化为最小值问题，进而求解； （3）利用二倍角公式转化方程，利用换元法化简二次方程，筛选能构成等差数列的解，结合韦达定理，分类讨论根的分布． 【详解】（1）当，时，， 令，则，开口向上，对称轴为， 则时，函数单调递减；当时，函数单调递增； 在上单调递增，在上单调递减， 令，在上，解得， 根据同增异减原则，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故函数单调递增区间为和；函数递减区间为和． （2）由题意得， 则不等式化简为， 即， 在时，，，， 故，不等式转化为， 即， 当时，，故， 令，则， 存在使得等价于，． （3）将化简，得， 令，方程变为， 若，且时，的解为， 排列后为，无法构成等差数列； 故的解能构成等差数列的充要条件为， ，二次方程两根之和， 若是根，另一根，代入得，，则， 另一根，故，不在内， 对任意成立； 若是根，另一根，代入得，，则， 另一根，要使得，需满足，解得， 当时，，解仍为，符合条件， 当时，成立； 若是根，另一根，代入得，，则， 另一根，要使得，需满足，解得， 当时，，解仍为，符合条件， 故当时，成立； 综上，当时，存在唯一解； 当时，存在两个解和； 当时，存在三个解、和． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.10 函数与方程 9大考点汇总 考点01 求函数的零点 考点02 零点存在性定理的应用 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 考点04 求函数零点或方程根的个数 考点05 根据函数零点的个数求参数范围 考点06 利用函数零点的分布求参数范围 考点07 求零点的和的问题 考点08 二分法求方程近似解 考点09 函数与方程的综合应用 题型专练 考点01 求函数的零点 1．（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 2．已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 3．（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数的零点为 B．函数的零点为 C．函数的零点，即函数的图象与轴的交点 D．函数的零点，即函数的图象与轴的交点的横坐标 4．已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．的极小值为 C．的图象关于原点对称 D．有两个零点 6．函数的零点为______． 考点02 零点存在性定理的应用 7．方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 8．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 9．函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 10．函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 11．函数的零点在区间内，则_________． 12．已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 13．若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 14．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（   ） A．或 B． C．或 D． 考点04 求函数零点或方程根的个数 17．直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 19．方程的解的个数为__. 20．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 21．设方程的根为a，方程的根为b，求的值． 22．已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点05 根据函数零点的个数求参数范围 23．已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 24．若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 25．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 28．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 29．已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 30．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 考点06 利用函数零点的分布求参数范围 31．函数至多有______个零点． 32．已知函数，则有零点的充要条件是______. 33．已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 34．已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 35．已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 36．设函数，若函数的四个零点从左到右分别满足：，则的值为________． 37．（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 38．已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是___________；若4个零点分别记为，且，则的取值范围是___________． 考点07 求零点的和的问题 39．函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)求方程在内所有解的和． 40．函数，则函数的所有零点之和为_________． 41．函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 42．已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 43．设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 44．已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 考点08 二分法求方程近似解 46．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 47．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 48．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 49．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 50．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 考点09 函数与方程的综合应用 51．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 52．（多选）已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 53．设，函数，若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是___________． 54．设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 55．已知函数，则下列说法中所有正确的序号是______． ① ②若函数有个零点，则实数的取值范围为 ③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 ④对于实数，不等式恒成立 56．已知，，． (1)当，时，求函数在上的单调区间； (2)若在区间上有解，求的取值范围． (3)设，试讨论：是否存在，使得方程有解，且其所有正实数解按从小到大的顺序排列后，能构成等差数列？若存在，求所有满足条件的的值；否则，说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $