2.2 函数单调性与最值【9大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

2.2 函数单调性与最值 9大考点汇总 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 考点02 求函数的单调区间 考点03 利用函数的单调性求参数值 考点04 利用图像判断函数单调性 考点05 复合函数的单调性 考点06 利用函数的单调性解不等式 考点07 比较函数值的大小关系 考点08 利用函数单调性求最值或值域 考点09 根据函数的最值求参数 题型专练 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 1．已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 2．判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 3．已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据不等式解集得到是的两根，从而由韦达定理得到方程，求出，得到解析式； （2），定义法求函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 4．已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 考点02 求函数的单调区间 5．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 6．函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 7．函数的单调递增区间是_____________ 【答案】，， 【分析】根据二次函数的性质，结合偶函数的性质即可求解. 【详解】由于的定义域为,且，故为偶函数， 当时，，此时在单调递减，在单调递增， 因此的单调递增区间为，， 故答案为：，， 8．函数的单调递增区间为____________ 【答案】和 【分析】分离常数即可求解. 【详解】， 所以的单调递增区间为和 故答案为：和 考点03 利用函数的单调性求参数值 9．（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 10．已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】根据函数在各段单调递增，且在分段点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，即， 又为增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 12．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 考点04 利用图像判断函数单调性 13．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 14．（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 15．已知函数的解析式为. (1)画出函数的图象，并直接写出函数的值域和单调区间； (2)解不等式； (3)若直线（k为常数）与函数的图象分别有两个和四个公共点，直接写出相对应的k的范围. 【答案】(1)函数图象见解析；值域为，单调递增区间为，，单调递减区间为，； (2) (3)当或时，有两个公共点；当时，有四个公共点. 【分析】（1）画出函数图象，并根据图象得到值域和单调区间； （2）先从图象得到的解，数形结合得到的解集； （3）从图象得到公共点的个数和相对应的k的范围. 【详解】（1）函数图象如下： 函数的值域为，单调递增区间为，， 单调递减区间为，； （2），从图象可知，令，解得， 故的解集为； （3）从图象可以看出，当或时，直线（k为常数）与函数有两个公共点， 当时，直线（k为常数）与函数的图象有四个公共点. 16．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 考点05 复合函数的单调性 17．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 18．函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 19．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 20．函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 考点06 利用函数的单调性解不等式 21．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】的定义域为R， 因为，所以函数是R上的增函数. 因为，所以函数是奇函数， 所以由得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 22．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 23．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】的定义域为，，故为偶函数， 当时，，由于为上的单调递增函数，故 为上的单调递增函数，结合为单调递增函数，故为上的单调递增函数， 由可得，解得. 24．已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 考点07 比较函数值的大小关系 25．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，可得a的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c的范围，比较即可得答案. 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 26．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合的大小关系，即可比较的大小. 【详解】设函数，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 而，，， 又因为，且在上单调递减，所以， 即. 27．已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 28．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，，可知在内单调递增，结合函数单调性比较大小即可. 【详解】构造，，则， 可知在内单调递增， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 则，所以， 综上所述：. 考点08 利用函数单调性求最值或值域 29．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 30．（多选）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是4 【答案】ACD 【分析】根据二次函数的最值以及基本不等式求解即可. 【详解】已知非负实数满足，因此，得，. 选项A.将代入得，开口向下，对称轴为， 最大值，正确. 选项B.将代入得，函数在上单调递减， 最小值在处取得，错误. 选项C..由A知，因此， 等号在时成立，正确. 选项D.. 由基本不等式，因此，等号在时成立，正确. 31．已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为5，最小值为4 【分析】（1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 32．设定义在上的函数，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】令，，分析的单调性，即可求得的最小值，即的最小值. 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 考点09 根据函数的最值求参数 33．已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由给定条件列出不等式组求解. 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 由函数在上既有最大值，也有最小值，得， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 34．已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用单调性求出时的最小值，再根据题意讨论求解的取值范围,得到时符合题意；因此当时，只要研究的情况就可以了.当时，恒成立，当时，求出，根据题意得到的不等式，进行求解. 【详解】当时，，在上单调递减，所以， 则当，存在，使，符合题意. 当时，不存在，使. 所以只要即符合题意. 当时，只要研究的情况. 当时，恒成立，不符合题意； 当时，， 所以，则，解得. 故的取值范围为. 故选：D. 35．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若在区间上的最小值为7，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)答案见解析 (3)或. 【分析】（1）根据二次函数的性质，分段分析，即可得单调区间. （2）分别讨论和两种情况，根据奇偶性的定义，分析推理，即可得证. （3）分别讨论、、、、和几种情况，根据二次函数的性质，结合条件，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）若，则， 所以当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 当时，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）当时，则，，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数； 当时，，， 所以且，所以既不是奇函数也不是偶函数. 综上，当时，是奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数. （3）当时，， 对称轴为，所以函数在上单调递增， 所以，即，解得（舍）或； 当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以， 即，解得（舍）或（舍）； 当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以， 若，， 所以，即，解得（舍）或（舍）； 若，，则，即， 解得（舍去）或； 当时，，， 此时，不符合题意； 当时，， 因为，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得（舍）或（舍）. 综上，的值为或. 36．已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）令，可得，根据函数单调性定义证明即可； （2）由（1）知，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，可求得，当时，函数取得最小值. 【详解】（1）令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在区间上单调递减， 又在区间上的最大值为， 即当时，函数取得最大值，即，所以， 解得， 当时，函数取得最小值，所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 函数单调性与最值 9大考点汇总 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 考点02 求函数的单调区间 考点03 利用函数的单调性求参数值 考点04 利用图像判断函数单调性 考点05 复合函数的单调性 考点06 利用函数的单调性解不等式 考点07 比较函数值的大小关系 考点08 利用函数单调性求最值或值域 考点09 根据函数的最值求参数 题型专练 考点01 定义法判断或证明函数的单调性 1．已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 2．判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 3．已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 4．已知函数，证明：函数在上单调递减； 考点02 求函数的单调区间 5．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 6．函数的单调递增区间是________. 7．函数的单调递增区间是_____________ 8．函数的单调递增区间为____________ 考点03 利用函数的单调性求参数值 9．（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 11．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 考点04 利用图像判断函数单调性 13．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 14．（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 15．已知函数的解析式为. (1)画出函数的图象，并直接写出函数的值域和单调区间； (2)解不等式； (3)若直线（k为常数）与函数的图象分别有两个和四个公共点，直接写出相对应的k的范围. 16．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 考点05 复合函数的单调性 17．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 18．函数的单调递增区间是__________. 19．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 20．函数的单调递减区间为__________. 考点06 利用函数的单调性解不等式 21．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点07 比较函数值的大小关系 25．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 28．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点08 利用函数单调性求最值或值域 29．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 30．（多选）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是4 31．已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 32．设定义在上的函数，则的最小值是______． 考点09 根据函数的最值求参数 33．已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 34．已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若在区间上的最小值为7，求的值. 36．已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $