第2章 第6讲 指数运算与对数运算（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

[对应学生用书P319]

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共30分，本试卷共98分．

A级　基础过关

1．若使代数式＋有意义，则＋2＝(　　)

A．2    B．3

C．2x－1    D．x－2

解析　由＋有意义，得解得≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以＋2＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.

答案　B

2．计算＋log25－log210＝(　　)

A．－10    B．－8

C．10    D．8

解析　＋log25－log210＝(36)＋log2＝9－1＝8.故选D.

答案　D

3．点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg ，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　)

A．18 dB    B．20 dB

C．24 dB    D．27 dB

解析　当r＝5时，ΔL1＝10lg ，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1600π－10lg ＝80lg 2＝80(lg 10－lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C.

答案　C

4．成书于两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解n元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法．按照

这种算法，求解n元一次方程组大约需要对实系数进行C·n3(C为给定常数)次计算．经济学家列昂惕夫为研究“投入产出模型”(该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖)，利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时．事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数．如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于(　　)

A．103机时    B．104机时

C．105机时    D．106机时

解析　设1机时能进行a次计算，则由题意得C·423≈56a.原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时数为t，则C·5003≈ta，故将两式相比得t≈×56＝＝×105≈0.94×105，故结果最接近于105机时．

答案　C

5．(多选)下列计算正确的是(　　)

A．－60－＝－1

B．

C．log23×log34＝log67

D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0

解析　对于A，原式＝－1－＝－1，所以A正确；对于B，原式＝＋ln (ln e)＝7＋ln 1＝7，所以B正确；对于C，原式＝×＝×＝2，所以C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，所以D正确．故选ABD.

答案　ABD

6．(多选)下列结论中正确的是(　　)

A．当a＜0时，(a2)＝a3

B．＝|a|(n＞1，n∈N＋，n为偶数)

C．函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是

D．若2x＝16，3y＝，则x＋y＝7

解析　因为a＜0时，(a2)＞0，a3＜0，所以A错误；B显然正确；解得x≥2且x≠，所以C正确；因为2x＝16，所以x＝4，因为3y＝＝3-3，所以y＝－3，所以x＋y＝4＋(－3)＝1，所以D错误．

答案　BC

7．若ex＝2 026，e－y＝1 013，则x＋y＝____________．

解析　ex＝2 026，e－y＝1 013，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2.

答案　ln 2

8．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝____________．

解析　由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2+ln 4＝8，即aln 8＝8，解得a＝e.

答案　e

9．(15分)(1)计算：log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－.

(2)对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．

解析　(1)log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－

＝log2＋ln e＋＋lg 4＋lg 52－

＝－2＋＋81＋lg 100－2＝.

(2)∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，

∴(ax)＝(70ω)，∴a＝70.

同理可得b＝70，c＝70.∴a·b·c＝70·70·70，即(abc)＝.

又＋＋＝，a，b，c为正整数，且由题意可知a≠1，