第2章 第6讲 指数运算与对数运算（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以指数对数运算为核心，通过三级梯度训练构建“概念理解-性质应用-实际建模”的完整方法体系，强化数学运算与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|9题（含解答题）|定义域分析、指数对数运算法则、绝对值化简|从定义出发，通过运算性质形成基本技能链| |能力提升|4题（含解答题）|换底公式、指数对数互化、衰减模型构建|以性质为桥梁，实现从数学运算到问题解决的过渡| |拓广探索|2题|多变量关系转化、“企盼数”逻辑推理|综合应用概念与性质，发展创新意识与推理能力|

[对应学生用书P319] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共30分，本试卷共98分． A级　基础过关 1．若使代数式＋有意义，则＋2＝(　　) A．2 B．3 C．2x－1 D．x－2 解析　由＋有意义，得解得≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以＋2＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 答案　B 2．计算＋log25－log210＝(　　) A．－10 B．－8 C．10 D．8 解析　＋log25－log210＝(36)＋log2＝9－1＝8.故选D. 答案　D 3．点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg ，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　) A．18 dB B．20 dB C．24 dB D．27 dB 解析　当r＝5时，ΔL1＝10lg ，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1600π－10lg ＝80lg 2＝80(lg 10－lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C. 答案　C 4．成书于两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解n元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法．按照这种算法，求解n元一次方程组大约需要对实系数进行C·n3(C为给定常数)次计算．经济学家列昂惕夫为研究“投入产出模型”(该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖)，利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时．事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数．如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于(　　) A．103机时 B．104机时 C．105机时 D．106机时 解析　设1机时能进行a次计算，则由题意得C·423≈56a.原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时数为t，则C·5003≈ta，故将两式相比得t≈×56＝＝×105≈0.94×105，故结果最接近于105机时． 答案　C 5．(多选)下列计算正确的是(　　) A．－60－＝－1 B． C．log23×log34＝log67 D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 解析　对于A，原式＝－1－＝－1，所以A正确；对于B，原式＝＋ln (ln e)＝7＋ln 1＝7，所以B正确；对于C，原式＝×＝×＝2，所以C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，所以D正确．故选ABD. 答案　ABD 6．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．当a＜0时，(a2)＝a3 B．＝|a|(n＞1，n∈N＋，n为偶数) C．函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是 D．若2x＝16，3y＝，则x＋y＝7 解析　因为a＜0时，(a2)＞0，a3＜0，所以A错误；B显然正确；解得x≥2且x≠，所以C正确；因为2x＝16，所以x＝4，因为3y＝＝3-3，所以y＝－3，所以x＋y＝4＋(－3)＝1，所以D错误． 答案　BC 7．若ex＝2 026，e－y＝1 013，则x＋y＝____________． 解析　ex＝2 026，e－y＝1 013，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 答案　ln 2 8．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝____________． 解析　由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2+ln 4＝8，即aln 8＝8，解得a＝e. 答案　e 9．(15分)(1)计算：log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－. (2)对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值． 解析　(1)log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2＋ln e＋＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋＋81＋lg 100－2＝. (2)∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数， ∴(ax)＝(70ω)，∴a＝70. 同理可得b＝70，c＝70.∴a·b·c＝70·70·70，即(abc)＝. 又＋＋＝，a，b，c为正整数，且由题意可知a≠1， ∴abc＝70＝2×5×7. ∵1<a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7. B级　能力提升 10．已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＋＝b，则a＋b＝(　　) A． B． C． D．2 解析　∵4a＝8，2m＝9n＝6，∴a＝log48＝＝，m＝log26，n＝log96，∴b＝＋＝log62＋log69＝1，∴a＋b＝＋1＝.故选A. 答案　A 11．已知2×3a＝5×7b＝1，则(　　) A．a＞b＞－1 B．b＞a＞－1 C．a＞－1＞b D．b＞－1＞a 解析　3a＝＞，则a＞－1，7b＝＞，则b＞－1.因为3a＝，所以a＝－log32.因为7b＝，所以b＝－log75.又log32＝log278＜log279＝，log75＝log73125＞log7349＝，所以－log32＞－log75，故a＞b＞－1.故选A. 答案　A 12．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为M0，质量M与时间t(单位：天)的函数关系为M＝M0·，若锶89的质量从M0衰减至M0，M0，M0所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1，t2，t3之间的关系为____________． 解析　由题意可得 则即因为log212＝log2(3×22)＝log23＋2，所以t3＝2t1＋t2. 答案　t3＝2t1＋t2 13．(15分)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解析　(1)由P＝P0e－kt可知， 当t＝0时，P＝P0； 当t＝5时，P＝(1－10%)P0； 于是有(1－10%)P0＝P0e-5k， 解得k＝－ln 0.9，那么P＝P0·0.9， 所以当t＝10时，P＝0.81P0， 即10 h后还剩下81%的污染物． (2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9， 解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33， 即污染物减少50%大约需要花33 h. C级　拓广探索 14．(多选)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是(　　) A．＋＝ B．3x＞4y＞6z C．x＋y＞z D．xy＞2z2 解析　设3x＝4y＝6z＝t(t＞1)，则x＝，y＝，z＝，因为＋＝logt3＋logt4＝logt6＝，故选项A正确．因为＝4logt3＝logt81，＝3logt4＝logt64，所以＞，即3x＜4y，故选项B不正确．因为＝＋＝＋＝＋＞＋，故选项C正确．因为＝×＝log36×log46＝＝＝1＋＞2，故选项D正确． 答案　ACD 15．已知函数f(n)＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N＋)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N＋)叫作“企盼数”，则区间[1，2 026]上的“企盼数”共有____________个． 解析　令g(k)＝f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)，因为f(k)＝log(k＋1)(k＋2)＝，所以g(k)＝××…×＝log2(k＋2).令g(k)＝m，要使g(k)为整数，则k＋2＝2m，m∈N＋.又k∈[1，2 026]，所以2m∈[3，2 028].因为22＝4，23＝8，…，210＝1 024，211＝2 048，所以m＝2，3，…，10.因此区间[1，2 026]上的“企盼数”共有9个． 答案　9 学科网（北京）股份有限公司 $