课后作业14　对数函数 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法构建对数函数“概念-性质-应用”逻辑链，通过典例提炼换元法、复合函数单调性等可迁移技巧，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题|定义域：真数大于0；反函数：关于y=x对称|从对数函数定义出发，关联指数函数反函数性质| |性质应用|6题|单调性：复合函数“同增异减”；比较大小：换底公式与中间值法|结合底数分类讨论单调性，通过换元（log₂x=t）转化问题| |综合拓展|4题|参数范围：图象交点与不等式；奇偶性：定义法判断|以函数性质为核心，构建“性质分析-模型转化-参数求解”应用链条|

课后作业(十四)　对数函数 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分 一、单项选择题 1．函数f (x)＝的定义域为 (　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 2．函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f ＋f (9)＝ (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(2025·黑龙江哈尔滨二模)函数f (x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间为 (　　) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，0) 4．(2026·湖南长沙模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f (x)＝a-x与g(x)＝logbx的图象可能是 (　　) A　　　　　　B C　　　　　　D 5．(2025·天津二模)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b 6．当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是 (　　) A． C．(1， ，2) 二、多项选择题 7．(2025·湖北孝感三模)已知函数f (x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则 (　　) A．0<a<1 B．a>1 C．f (a＋2 022)>f (2 023) D．f (a＋2 022)<f (2 023) 8．(2026·江西赣州模拟)关于函数f (x)＝lo(2x2－4x＋a)，以下说法正确的是 (　　) A．当a＝－6时，f (x)在(－∞，－1)上单调递增 B．当a＝6时，f (x)的值域为[－2，＋∞) C．如果f (x)的值域为R，则a≥2 D．函数f (x)的图象关于直线x＝1对称 三、填空题 9．(2025·安徽滁州一模)已知函数f (x)＝loga(3x＋4)＋2x(a>0，且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝___________． 10．已知函数f (x)＝ln(＝___________． 四、解答题 11．(13分)已知f (x)＝lo(x2－ax＋5a)． (1)若a＝2，求f (x)的值域； (2)若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 12．(15分)已知函数f (x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x)． (1)求函数f (x)－g(x)的定义域； (2)判断函数f (x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求使得不等式f (x)－g(x)>1成立的x的取值范围． 13．(15分)已知函数f (x)＝log4． (1)解关于x的不等式f (x)>3； (2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f (2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围． 课后作业(十四) 1．A 2．A　[因为函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f (x)＝log3x，所以f ＋f (9)＝log3＋log39＝－1＋2＝1．故选A．] 3．A 4．B　[由lg a＋lg b＝0可知，＝b， 故f (x)＝a-x＝bx，故函数f (x)＝a-x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B．] 5．D　[由已知，a＝log43＝log23＝log2，b＝log86＝log26＝log2， 因为33<62，所以<，所以a<b， 又a＝log2>log2，c＝log62<log6，所以c<a，所以c<a<b．故选D．] 6．B　[构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时，不满足条件；当0<a<1时，在同一直角坐标系中画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f <g，即2<loga， 则a>，所以a的取值范围为．] 7．AC　[f (x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 设z＝|x－1|，可得函数z＝|x－1|在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数的单调性可得0<a<1，故A正确，B错误； 由0<a<1，可得2 022<a＋2 022<2 023， 又f (x)在(1，＋∞)上单调递减， 则f (a＋2 022)>f (2 023)，故C正确，D错误． 故选AC．] 8．AD　[由题知f (x)为复合函数，其中对数函数的底数为<1，所以对数函数单调递减，令μ(x)＝2x2－4x＋a． 对于A，当a＝－6时，f (x)＝lo(2x2－4x－6)，所以f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，根据复合函数的单调性知，只需求μ(x)＝2x2－4x－6的单调递减区间即可，μ(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以f (x)在(－∞，－1)上单调递增，选项A正确； 对于B，当a＝6时，f (x)＝lo(2x2－4x＋6)，此时f (x)的定义域为R，μ(x)＝2x2－4x＋6＝2(x－1)2＋4，所以μ(x)的最小值为4，即内层函数的值可取[4，＋∞)，即lo4＝－2，所以f (x)的值域为(－∞，－2]，选项B错误； 对于C，因为f (x)的值域为R，所以只需内层函数μ(x)＝2x2－4x＋a能取到所有的正实数，即判别式(－4)2－4×2×a≥0，解得a≤2，选项C错误； 对于D，f (1＋x)＝lo[2(1＋x)2－4(1＋x)＋a]＝lo(2x2＋a－2)，f (1－x)＝lo[2(1－x)2－4(1－x)＋a]＝lo(2x2＋a－2)，所以f (1＋x)＝f (1－x)，即f (x)的图象关于直线x＝1对称，选项D正确．故选AD．] 9．－3 10．4　[设g(x)＝ln(－x)，则f (x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f (lg 3)＋f ＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4．] 11．解：(1)当a＝2时，f (x)＝lo(x2－2x＋10)， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ∴t≥9，f (x)≤lo9＝－2， ∴f (x)的值域为(－∞，－2]． (2)令u＝x2－ax＋5a， ∵y＝lou为减函数，f (x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， ∴解得－≤a≤2， ∴a的取值范围是． 12．解：(1)由题意，得解得－1<x<1， 所以函数f (x)－g(x)的定义域是(－1，1)． (2)函数f (x)－g(x)是奇函数．理由如下： 因为函数f (x)－g(x)的定义域是(－1，1)， 所以其定义域关于原点对称． 又因为f (－x)－g(－x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)＝－[log2(1＋x)－log2(1－x)]＝－[f (x)－g(x)]， 所以函数f (x)－g(x)是奇函数． (3)因为f (x)－g(x)>1， 即log2(1＋x)－log2(1－x)>1， 所以log2>1＝log22． 所以<x<1． 所以使得不等式f (x)－g(x)>1成立的x的取值范围是． 13．解：(1)因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则f (x)＝log2·2log2＝(log2x－2)·(log2x－4)＝(log2x)2－6log2x＋8， 设log2x＝t(t∈R)，则不等式可化为t2－6t＋8>3， 即t2－6t＋5>0， 解得t<1或t>5， 即log2x<1或log2x>5， 解得0<x<2或x>32． 所以不等式的解集为{x|0<x<2或x>32}． (2)因为f (2x)－a·log2x＋1≥0， 所以(log2x－1)·(log2x－3)－alog2x＋1≥0， 设log2x＝t，则t∈[1，2]， 原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0． 即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解． 因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减， 所以＝1，所以a≤1． 即实数a的取值范围是(－∞，1]． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $