精品解析：云南昭通市第一中学2025-2026学年高二下学期6月测试数学试题

高二年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分式不等式等价于，解得，又因为，因此，所以. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 2i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法求得，再求出共轭复数后可得． 【详解】由题设，，故虚部为． 3. 在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（ ） A. 8 B. 16 C. 64 D. 32 【答案】D 【解析】 【详解】因为二项式的所有二项式系数的和为，由题得，解得， 的展开式的通项为，， 令，可得常数项为32． 4. 已知，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到，结合数量积的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，即，解得. 5. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数为0求出值并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当时，，当时，， 函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意， 所以. 故选：B 6. 设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，如图1， 将代入，得，即，故，， 又，得，解得， 代入得，故，即，所以． 7. 数列中，，对任意，，，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】令，因为且，可推导出数列是等比数列，得到通项公式.利用等比数列求和公式计算,化简解关于的方程得到结果. 【详解】在等式中，令，可得，， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，． 由题意得, ，则，解得． 8. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以 ，所以， 又， 所以， 所以． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. ，，成等差数列 D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的关系求得通项公式，再结合等差数列的性质逐项判断即可. 【详解】当时，， 又，所以，则是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故数列为等差数列， 所以，，成等差数列，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远， 所以当或时，取得最大值，故D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 有三个不同零点 C. 若函数的对称中心为，则 D. 当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，求的导函数，进而结合导数的符号判断极值点类型；选项B，对进行因式分解，再求解的根；选项C，利用三次函数对称中心的性质求解横坐标，进而得到纵坐标，再计算即可；选项D，根据的范围求出的取值范围，再分析在该区间上的单调性，进而确定的取值范围. 【详解】，令，得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是极大值点，是极小值点，所以A错误； 对于B，，由，得， 所以有两个不同零点，B错误； 对于C，对于三次函数，对称中心为， 若函数的对称中心为，， ，所以，C正确； 对于D，当时，，由A知在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，D正确. 11. 如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 直线和所成的角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 二面角的平面角的大小为 D. 点满足，，，若，则平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角空间向量法计算判断A；根据等体积法的等高等底可判断B；根据面面角空间向量法计算可判断C；证明面面平行，根据面面平行的性质可判断D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则， 对于A，， 故，故， 即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，三棱锥的体积转化为三棱锥的体积， 三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故B正确； 对于C，设平面法向量为， ，因为， 所以，所以令，得， 所以平面法向量为， 取平面法向量为， 设二面角为， 则， 所以二面角的大小为，故C正确； 对于D，若，则，则点在线段上， 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故， 因为平面，平面， 故平面， 同理可证平面， 因为平面，平面，且， 故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，13，14，20，24，25，27，40，45，48则该组数据的第43百分位数为_____． 【答案】24 【解析】 【详解】一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，13，14，20，24，25，27，40，45，48，共10个数， 因为，不是整数， 所以该组数据的第百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24． 13. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先结合奇函数与对称性条件推出周期，再化简，最后利用奇偶性代入解析式求值即可. 【详解】由题设可得， 由是奇函数，所以， 用代替，则，故，所以，即是周期为6的函数， 所以. 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理得 ， 即，而，则，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，由锐角，得，解得， 因此 ， 由，得，即， 所以的范围是． 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）如图所示，取的中点，的中点，连接，，，， 因为是正三角形，，则， 又为的中点，所以， 又底面四边形为菱形，， 所以是等边三角形，所以， 因为，平面，平面，所以平面． 又平面，进而， 同理可得， 因为，平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，取的中点，的中点，连接，，，，求出，利用线面垂直的判定定理得到平面．利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到平面． （2）求出与平面所成的角就等于与平面所成的角．利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到，从而得到就是与平面所成的角． 在中，求出，即为直线与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角． 因为是菱形，，， 由余弦定理得AB=，，是等边三角形． 因为底面，底面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 如图，连接，则平面，， 所以就是与平面所成的角． 因为是等边三角形，， 所以，． 在中，PC=，AC=2，则PA=，所以PF=3． 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 17. 已知椭圆E：（）的离心率为，，，且原点到直线的距离等于． （1）求椭圆的方程； （2）设点（）在椭圆上，直线交轴于点．点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在点，理由如下： 假设存在点满足题意，设， ，直线DA的方程为：， 令，； ，直线DB的方程为：，直线DB与x轴交于点N， 令，则． ，， ， 则， 所以，（注：点在椭圆E上，）， 则，存在点使得． 【解析】 【分析】（1）由离心率得出关系，利用原点到直线CD的距离可求出得椭圆方程； （2）假设存在点满足题意，设，利用求出，能求出说明存在，不能求出说明不存在． 【小问1详解】 由，得， 由点，可知直线CD的方程为，即． 由于原点到直线CD的距离为，即， 得，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 18. 现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． （1）若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； （2）对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立． （i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率； （ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短? 【答案】（1） （2）（i），；（ii）需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）（i）计算药物对两种致病菌都没杀灭的概率，再用对立事件的概率公式计算治愈率； （ii）分别列出先使用A和先使用B两种情况下痊愈天数的所有可能取值，对应计算各取值的概率，再根据期望公式分别计算两种情况的痊愈天数期望，比较两个期望的大小. 【小问1详解】 设使用治疗方案C治愈疾病为事件，使用治疗C方案能杀灭致病菌为事件， 则. 因为事件发生则事件必发生，故, . 【小问2详解】 （i）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率，则有，． （ii）设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为，则， ， 所以 ． 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为 同理得， ， 则有 ， 从而有，故需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短． 19. 已知函数，． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：，． 【答案】（1） （2）要证明，即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立． （3）由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 . 【解析】 【分析】（1）通过导数的几何意义，确定切线斜率，进而可求解； （2）构造函数，通过二次求导，确定单调性，求得最值，即可证明； （3）由（2）得到，即可证明. 【小问1详解】 解：，即切点为， , 将代入，得，即切线斜率． 由点斜式，代入，， 得切线方程为，整理为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 2i 3. 在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（ ） A. 8 B. 16 C. 64 D. 32 4. 已知，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 0 6. 设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 数列中，，对任意，，，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. ，，成等差数列 D. 当或4时，取得最大值 10. 已知函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 有三个不同零点 C. 若函数的对称中心为，则 D. 当时， 11. 如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 直线和所成的角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 二面角的平面角的大小为 D. 点满足，，，若，则平面 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，13，14，20，24，25，27，40，45，48则该组数据的第43百分位数为_____． 13. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知椭圆E：（）的离心率为，，，且原点到直线的距离等于． （1）求椭圆的方程； （2）设点（）在椭圆上，直线交轴于点．点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 18. 现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． （1）若有某种治疗方案C，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案C痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； （2）对疾病有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗，无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，，药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立． （i）分别求使用药物A和药物B一个疗程的治愈概率； （ii）请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短? 19. 已知函数，． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $