精品解析：2025年江苏省无锡市锡山区数学中考二模试题

2024－2025学年春学期期中调研试卷 初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 若二次根式有意义，则的值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是确定事件的是（ ） A. 打开手机正好显示8点 B. 抛掷正方体骰子一次出现4点 C. 明天会下雨 D. 任意画一个三角形，它内角和等于 5. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线向上平移3个单位可得抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，E、F分别是、上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B满足，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为1．则k的值为（ ） A. 52 B. 60 C. 75 D. 90 10. 定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（ ） A. ① B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 去年2024年江苏省无锡市以万元的人均高居全国第二，仅次于北京，则216900用科学记数法表示为__________． 12. 分解因式：________． 13. 计算的结果为________． 14. 中，，，，则边上的中线长为__________． 15. 请写出一个函数表达式：__________，使得该函数图像关于原点对称，并经过点． 16. 如图，是的外接圆，，则__________． 17. 如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是__________． 18. 如图，矩形中，，，点E是对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点E作的垂线，交边于点F，则__________；若，的面积为y，则y与x的函数关系式为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 为了解同学们对今年的社会实践活动景点的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的活动景点”的问卷调查，A．惠山古镇、锡惠公园；B．南长街、南禅寺；C．灵山胜景、拈花湾；D．鼋头渚、蠡园；E．水浒、三国影视城．调查结果统计图部分如图所示： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为______名，选择“B．南长街、南禅寺”活动景点所对应的扇形圆心角的度数是______； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有1800名学生，试估计选择“鼋头渚、蠡园”活动景点的学生有多少名？ 23. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏．将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是__________； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片．求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率__________．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 24. 如图，已知． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若，，则的半径为__________． 25. 如图，经过的顶点、，分别与、相交于点、，连接、交于点，且平分． （1）求证：； （2）若，，当时，求的值． 26. 高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆／分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量（辆／分钟） 20 26 32 38 44 第5车道车流量（辆／分钟） 33 30 27 24 21 （1）与x的函数表达式为__________； （2）在12时，通过计算判断与的大小关系； （3）如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 27. 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）． （1）若，求的长； （2）当点从点运动到点的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值． （3）当点从点运动到点时，点也随之运动， ①四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是求出函数解析式，如果不是说明理由； ②求点经过的路径长． 28. 已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年春学期期中调研试卷 初三数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 若二次根式有意义，则的值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．利用积的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 下列事件是确定事件的是（ ） A. 打开手机正好显示8点 B. 抛掷正方体骰子一次出现4点 C. 明天会下雨 D. 任意画一个三角形，它内角和等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、打开手机正好显示8点，是随机事件，不符合题意； B、抛掷正方体骰子一次出现4点，是随机事件，不符合题意； C、明天会下雨，是随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，它内角和等于，是确定事件，符合题； 故选：D． 5. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积， 根据（r为圆锥底边圆的半径，l为母线）计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 6. 把抛物线向上平移3个单位可得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：把抛物线向上平移3个单位可得， 故选：C． 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设有x间房，根据人数相等列一元一次方程即可． 【详解】解：设有x间房， 则， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，，E、F分别是、上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题关键．连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由三角形中位线定理可得，时，有最小值，有最小值，此时点与重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，， ， 在中，， ， M、N分别为、的中点， 是的中位线， ， 时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为， 的最小值是， 故选：A 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B满足，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为1．则k的值为（ ） A. 52 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作交于点，交于点，由折叠和平行四边形的性质，得到，，证明，得到，，从而得出的面积为25，再根据和同底，得到的面积为30，再结合反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于点， ， 由折叠的性质可知，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 的面积为1， 的面积为25， 和同底， ， 的面积为30， 反比例图象经过点C， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 10. 定义在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，为正整数，则称点为该函数的“倍值点”． ①点是一次函数的“2倍值点”； ②若二次函数存在唯一的“2倍值点”，则； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“倍值点”； ④若函数的“倍值点”在以点为圆心，为半径的圆内部，则为不小于3的所有整数．上述说法正确的有（ ） A. ① B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、一次函数及二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据新定义列出关系式是关键．依据题意，根据“倍值点”的定义逐个判断分析可以得解． 【详解】解：对于①，由题意，，为正整数，点为该函数的“倍值点”， ． 又， 点是一次函数的“2倍值点”，故①正确． 对于②，由题意， “2倍值点”的， ． 联立方程组， ． 二次函数存在唯一的“2倍值点”， ． 或，②错误． 对于③，联立方程组， ． ． 为正整数， ． 反比例函数总存在二个的“倍值点”． 设其中一点为，另一个点为， ． 这两个“倍值点”不关于原点对称，故③错误． 对于④，联立方程组， ． 函数的“倍点”为． 点与点的距离为． 又当时， ．即， 又为正整数， 不合题意，故④错误． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 去年2024年江苏省无锡市以万元的人均高居全国第二，仅次于北京，则216900用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式进行分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算的结果为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算，即可求出答案． 【详解】解：原式==1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同分母分式的加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减的运算法则． 14. 中，，，，则边上的中线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理的运用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，根据勾股定理逆定理判定直角三角形，再根据直线三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：中，，，， ∵，， ∴是直角三角形，， ∴边上的中线长为， 故答案为： ． 15. 请写出一个函数表达式：__________，使得该函数图像关于原点对称，并经过点． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，正比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．设一次函数的解析式为，代入求出k的值即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵该函数图象经过点， ∴， ∴此函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，是的外接圆，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，圆周角定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 17. 如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：，， 的面积 ， ， ∴， ∴， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 18. 如图，矩形中，，，点E是对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点E作的垂线，交边于点F，则__________；若，的面积为y，则y与x的函数关系式为__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，过点E作于G，延长交于H，可证明四边形是矩形，得到，，，，则可证明，得到；设，则，，即；证明，可得，则，，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于G，延长交于H， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算及特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值，零指数幂计算后再算加减即可； （2）利用完全平方公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键； （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】（1）解： 由题意可得， ∵ ∴ 即， （2） 解不等式①得，， 解不等式①得，， ∴不等式组的解集是． 21. 如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中 ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ． 22. 为了解同学们对今年的社会实践活动景点的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的活动景点”的问卷调查，A．惠山古镇、锡惠公园；B．南长街、南禅寺；C．灵山胜景、拈花湾；D．鼋头渚、蠡园；E．水浒、三国影视城．调查结果统计图部分如图所示： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为______名，选择“B．南长街、南禅寺”活动景点所对应的扇形圆心角的度数是______； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有1800名学生，试估计选择“鼋头渚、蠡园”活动景点的学生有多少名？ 【答案】（1）， （2） 补全条形统计图如下： （3）名 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据A的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用乘以类所占的百分比即可得出答案； （2）用总人数减去其它景点的人数求出的人数，从而补全统条形统计图； （3）用七年级的总人数乘以的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为：（名）， 选择“．南长街、南禅寺”活动景点所对应的扇形圆心角的度数是； 故答案为：40，126； 【小问2详解】 选择“．鼋头渚、蠡园”活动景点的人数为（人）， 【小问3详解】 （名） 答：估计选择“鼋头渚、蠡园”活动景点的学生有360名． 23. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏．将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是__________； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片．求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率__________．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种， ∴卡片人物恰好是哪吒的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种， ∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率为 24. 如图，已知． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若，，则的半径为__________． 【答案】（1） 如图所示，点D、点O为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）运用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点，交于点，作的角平分线与线段交于点，以点为圆心，以为半径画圆即可； （2）根据题意得到，如图所示，过点作，设圆的半径为，即，在中，，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据角平分线的性质定理得到角平分线上的点到角两边的距离相等，结合内切圆的特点得到即为所求点位置； 【小问2详解】 解：∵，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径为，即， 在中，，即， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用无刻度的直尺和圆规作垂直，角平分线，圆心的确定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键． 25. 如图，经过的顶点、，分别与、相交于点、，连接、交于点，且平分． （1）求证：； （2）若，，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：，， ， 平分， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据圆内接四边形的性质得到，则可证明，然后证明，从而得到结论； （2）先证明，则可判断，利用相似三角形的性质可计算，，进而证明，然后利用相似比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ， ， ， 又，， ， ，即， ∴，； ，， ， ． 26. 高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆／分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量（辆／分钟） 20 26 32 38 44 第5车道车流量（辆／分钟） 33 30 27 24 21 （1）与x的函数表达式为__________； （2）在12时，通过计算判断与的大小关系； （3）如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【答案】（1）与x的函数表达式为 （2） （3）时到时，第2车道的方向设置为直行，时到时，第5车道的方向设置为左转 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解题意，掌握一次函数的运用是关键． （1）根据表格信息运用待定系数法即可求解； （2）根据自变量求函数值，再比较即可； （3）根据题意分别得到各自车道的最大拥堵时间，由此即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，当时，，当时，， ∴设，把代入得， ， 解得，， ∴， ∴与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，，当时，， ∴， 当时，，当时，， ∴时到时，第2车道的方向设置为直行，时到时，第5车道的方向设置为左转． 27. 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）． （1）若，求的长； （2）当点从点运动到点的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值． （3）当点从点运动到点时，点也随之运动， ①四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是求出函数解析式，如果不是说明理由； ②求点经过的路径长． 【答案】（1） （2） （3）①，② 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，结合得，可证明，即可求得； （2）找中点，作于，则由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，则是的中位线，设 ，则，结合（1）可知，利用，求得，根据二次函数的性质求得的最大值，即可知的最大值； （3）①过点作，于点，，连接，则有四边形为矩形，，，，结合题意证明，有，，即可知四边形为正方形，那么，四边形的面积，利用等腰三角形的性质即可求得； ②由①知，四边形为正方形，则点在的角平分线上运动，可知点的运动路径在线段的长，即是当线段最大时的的值，由（1）可知，，，，设，则，结合正方形的性质有，化简并利用二次函数的性质和等腰直角三角形的性质求解即可，注意由小变大后再变小，分和和讨论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，找中点，作于， 由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设 ，则， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为， ∴圆心到边的距离的最大值为； 【小问3详解】 解：①过点作，于点，，连接，如图， ∴， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，， 则四边形为正方形， ∵， ∴四边形的面积 ， ∵线段的长， ∴， 那么，， ②由①知，四边形为正方形，则点在的角平分线上运动， ∴点的运动路径在线段的长，即是当线段最大时的的值， 由（1）可知，，，， 设，则， ∵， ∴，化简得 当时，， ， ∵ ∴点沿射线运动 ∵当点与点重合时，点运动到点，此时， ∴当时，点沿射线向上运动， 当时，点运动到点，，此时最大， 当时，点沿射线向上运动， 当时，点与点重合 ∴点经过的路径长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的判定和性质，三角形的外接圆，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质和勾股定理等知识．解题的关键在于对动点知识的理解，并熟练掌握与灵活运用数形结合思想． 28. 已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或； （3）点Q的横坐标是或4或或． 【解析】 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $