专题05一元一次不等式期末复习讲义(21大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题05一元一次不等式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记不等式、一元一次不等式、不等式的解与解集、一元一次不等式组基础定义，能区分不等式与一元一次方程。 2.牢固掌握不等式 3 条基本性质，重点熟记系数化为 1 时负数要变号这条易错知识点。 3.牢记一元一次不等式（组）解题五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1；熟练用数轴表示解集，掌握不等式组四种解集规律。 4.梳理常见不等关系关键词：大于、小于、不大于、不少于、至多、至少等文字对应的不等符号。 1.运算能力：规范解一元一次不等式、不等式组，减少去分母漏乘、去括号变号失误。 2.识图能力：依托数轴快速确定不等式（组）解集，借助数轴解决简单含参数不等式问题。 3.建模能力：从实际应用题里提炼不等关系，列出一元一次不等式（组），结合现实取舍不合理解。 4.辨析能力：对比等式与不等式变形区别，自主排查错题、总结易错点。 1.基础题：选择、填空零失误，快速搞定概念辨析、不等式性质运用、简单解集书写。 2.计算题：不等式、不等式组解答题步骤完整、格式规范，确保计算满分。 3.应用题：熟练攻克方案选择、最值问题（费用最少、用料最低）等期末高频大题，答题条理清晰。 4.拔高题：能应对简单含参不等式逆向题型，规避期末高频陷阱考点，单元相关考题失分控制在 5 分以内。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04.一元一次不等式的定义 题型05.求不等式的解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.不等式组的定义 题型09.求不等组的解集 题型10.求不等式组的整数解 题型11.由不等式组解集求参数 题型12.由不等式组解集的情况求参数 题型13.不等式组和方程组结合的问题 题型14.列一元一次不等式组 题型15.不等式组的经济问题 题型16.不等式组的方案选择问题 题型17.不等式组行程与分配问题 题型18.不等式组的销售利润问题 题型19.列一元一次不等式 题型20.用不等式解决实际问题 题型21.用不等式解决几何问题 知识点01:基础概念 1.不等式：用不等号连接的式子。常见符号：＞、＜、≥、≤、≠ 不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 2.一元一次不等式：只含一个未知数、未知数次数为 1、分母不含未知数的整式不等式。标准形式：ax+b＞0、ax+b＜0 3.不等式的解：满足不等式的每一个未知数的值。 4.不等式的解集：所有解的集合；解集是范围，解是单个数值。 5.解不等式：求不等式解集的过程。 6.一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成。 7.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 知识点02:不等式基本性质（本章最核心、学生最大易错点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 知识点03:一元一次不等式解法与数轴规范 1.解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 2. 数轴画图规则 不等符号 标点画法 画线方向 ＞、＜ 空心圆圈 大于向右，小于向左 ≥、≤ 实心圆点 大于向右，小于向左 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05:含参数不等式（难点） 1.先把参数当作常数，正常求解不等式（组）； 2.依据 “有解、无解、限定整数解个数”，借助数轴定参数范围； 3.重点检验端点能否取等号。 知识点06:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:高频易错汇总 1.系数化为 1、去分母时乘负数，忘记变号； 2.去分母漏乘不含分母的常数项； 3.数轴实心、空心混用，画线方向出错； 4.应用题关键词看错，不等号选用错误； 5.参数题型端点等号判断出错； 6.实际问题忽略未知数为正整数。 题型01.不等式的定义 1．与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意将文字关系转化为数学不等式即可． 【详解】解：与2的差为，负数是小于的数， ∴根据题意可得不等式 ． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 3．据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是，最高气温是得到取值范围即可． 【详解】解：明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是． 故选C． 题型02.不等式的解集 4．下列的值中，是不等式的解的是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【解析】略 5．关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据关于的不等式的解集为，得出的关系，即可求出答案． 【详解】关于的不等式的解集为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变． 6．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型03.不等式的性质 7．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变． 不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A、，不等式两边同时加，可得， ∴A说法正确，不符合题意； B、，不等式两边同时减，可得， ∴B说法正确，不符合题意； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， ∴C说法错误，符合题意； D、，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得， ∴D说法正确，不符合题意． 8．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，故A错误． B．不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，故B正确． C．不等式两边先乘以，得，再两边同时减去，可得，故C错误． D．不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，故D错误． 9．若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐项判断即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键. 【详解】解：∵ ， 根据不等式性质：不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向不变；乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变. 对各选项逐一判断： A 不等式两边同时加，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； B 不等式两边同时减，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； C 不等式两边同时乘，是负数，不等号需改变方向，得，因此变形错误，符合题意； D 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； 故选：C. 题型04.一元一次不等式的定义 10．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 11．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 12．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 题型05.求不等式的解集 13．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， 在数轴上表示为： 14．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据不等式解集的不等号方向变化，利用不等式的基本性质判断的系数的正负，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：不等式 的解集为，不等号方向发生改变， 根据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 可得 ， 移项得 ， 系数化为得． 15．方程组的解共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】通过代入第一个方程 ，并结合第二个方程 ，根据 和 的符号分四种情况讨论，解方程组并验证解是否满足条件． 本题考查了绝对值，不等式解集，分类思想，解方程组，熟练掌握解不等式，绝对值，解方程组是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组为 ， ∴ 由第一式得 ， ∴， ∴或 当即时，或 解得或，符合题意， 故方程组的解为或； 当即时，或 解得或，（都不符合题意，舍去） 当，无解； 当即时，或 解得（舍去）或； 故方程组的解为； 故方程组的解为或； 故选：B． 16．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴表示： (2)，数轴表示： (3)，数轴表示： (4)，数轴表示： 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型06.求不等式的整数解 17．不等式的非负整数解是______． 【答案】，， 【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在解集中找出符合条件的非负整数即可． 【详解】解： 移项，得： 系数化为，得： 非负整数是指大于等于的整数，因此不等式的非负整数解为，，． 18．已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】运用整体思想，将，得到，结合，求出的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 【详解】解：， 将，得， ∵， ∴， 解得， ∴可取．（答案不唯一） 19．在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为小于的最大整数是， 所以不等式的最大整数解是． 20．求不等式的正整数解． 【答案】，正整数解有1，2，3 【分析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化为1，最后找出整数解即可． 【详解】解：， 去分母、去括号，得，     移项、合并同类项，得，     系数化为1，得，     ∴不等式的正整数解有1，2，3． 题型07.数轴上表示不等式解集 21．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为如图所示，这个不等式可以是______． 【答案】(答案不唯一） 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集；解题的关键是根据数轴上的空心圆圈和箭头方向确定解集形式，再构造符合条件的一元一次不等式． 先根据数轴确定解集为，再构造一个解为的一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知，该不等式的解集为， 可构造一元一次不等式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 22．如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出未知数系数为负数，并且不等式的解集为的不等式即可． 【详解】解：根据题意可得，（答案不唯一）． 23．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集为 在数轴上表示不等式的解集，应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈即可. 【详解】解： ， 则解集在数轴上表示如下： 故选C 24．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集． 【详解】解： 解得， ∴在数轴上表示不等式的解集如下： 题型08.不等式组的定义 25．下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式． 26．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 27．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 题型09.求不等组的解集 28．关于的一元一次不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【详解】解：不等式组的解集为 ． 29．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先依次求出不等式与的解集，再确定不等式组的解集，进而选出数轴表示正确的选项． 【详解】解：解不等式组， 解①得，， ； 解②得，， ， ； 故不等式组的解集为． 30．关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，从而确定个整数解，再求出的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组共有个整数解， ∴整数解为，，， ∴． 31．解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”原则确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为； （2）解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 题型10.求不等式组的整数解 32．不等式组的整数解有（     ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】B 【分析】先分别求解每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法得到公共解集，最后找出范围内的整数解即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴解集内的整数解为：，共个． 33．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为， 由不等式组的整数解只有个，可得整数解为， 则的取值范围为． 34．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先求得不等式组的解集为，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解，即、0、1， ∴，解得， ∵是整数， ∴的取值为、0、1、2、3、4． ∴满足条件的整数的值之和为． 35．解不等式组：，并写出它所有的整数解； 【答案】不等式组的解集为，整数解为，，0，1，2 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 整数解为，，0，1，2 题型11.由不等式组解集求参数 36．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，进而求得k的值． 【详解】解：由，解得； 由，解得． 由图象知不等式组的解集为， 则， ∴． 37．不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式，再根据已知解集，结合一元一次不等式组的解集确定法则，即可求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， ∴m的取值范围是． 38．若关于x的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的不等式组恰好有2个整数解，即可得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组恰好有2个整数解， ∴整数解为和0 ∴， 解得， 故选：D． 39．已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将关于，的方程组中两个方程相加得到，再由题意列出关于的不等式求解即可； （2）先解不等式组中不含参数的不等式解集，再由不等式组解集情况求解含参数的不等式，最后结合（1）中的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 则， ， ，解得； （2）解：， 解②得， 不等式组的解集为， 对于不等式①解集，只有当时，才有， 则， 取正整数， 或， 由（1）知，则． 题型12.由不等式组解集的情况求参数 40．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， ∵不等式组无解， ∴， 则． 41．若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解每个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解，整数解为， 的取值范围是． 42．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【答案】B 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故所有整数解的和是9或10． 43．已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，结合该不等式组无解，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：， 解不等式， 得． 解不等式， 得， 该不等式组无解， ， ． 题型13.不等式组和方程组结合的问题 44．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】3 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 45．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】先利用加减消元法求出，即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④． 【详解】解：， 用得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为， 把代入，解得， 把代入，解得， 不符合题意，故①错误； ②当时，因为，得， 所以x，y的值互为相反数，故②正确； ∵，， 则， ∴， ∴，故③错误； ∵, ∴， ∵， ∴， ∴S的最大值为，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键在于能够根据题意求出． 46．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把当作已知数，求出、的值，再根据，列出关于的不等式组，求出的取值范围即可； （2）由的范围，根据绝对值性质去绝对值符号即可得． 【详解】（1）解：， ，得，解得， 将代入②，得，解得． ∵，， ，解得． （2）解：∵， ∴，． ∴． 47．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组用m表示x，y，根据x为非正数，y为负数，得出不等式组，即可求解； （2）不等式化为，由解为可得，可得m的范围，结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得． （2）解：由得，， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 由m为整数得，． 题型14.列一元一次不等式组 48．某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 49．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 50．某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数． (1)列出a、b满足的不等式． (2)该研学小组最少有多少名学生？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)该研学小组最少有名学生 【分析】（1）根据题干描述的人数关系列出对应不等式，即可作答； （2）通过枚举法，对b从小到大取值讨论，找到满足不等式的最小正整数a，b，计算总人数即可得到最少人数． 【详解】（1）解：根据题意，男生人数多于女生人数，可得，女生人数的2倍多于男生人数，可得，人数为正整数，且a，b为正整数， 因此a，b满足的不等式为（a，b为正整数） （2）解：要得到最少总人数，即求的最小值，且a，b为正整数， 对b从小到大取值讨论： 当时，不等式组变为，即，没有符合条件的正整数a； 当时，不等式组变为，即，符合条件的正整数.此时总人数为（名）， 答：该研学小组最少有5名学生． 题型15.不等式组的经济问题 51．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 52．一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品的原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 53．据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； (2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 题型16.不等式组的方案选择问题 54．为响应“阳光体育”运动，某校购进，两种实心球，种个，种个，共花费元．已知种实心球的单价比种实心球的单价高“”元（“”是被墨水弄脏的数字）．根据题意，设种实心球的单价为元，列出一元一次方程：，解这个方程，得到． (1)根据解答过程，“”的数字为________； (2)根据需要，学校决定再购进，两种实心球共个，总费用不超过元，且购买种实心球不少于个．若实心球单价不变，共有几种购买方案？ 【答案】(1)30 (2)3种 【分析】（1）把方程的解代入求解即可； （2）设学校再购买种实心球个，购买种实心球个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：设学校再购买种实心球个，购买种实心球个，根据题意得： ，解得：． 为正整数， 的值为，即有三种购买方案 答：共有3种购买方案． 55．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元 (2)共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球13个；②购进A品牌足球8个，B品牌足球12个；③购进A品牌足球9个，B品牌足球11个. 购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元 【分析】（1）设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元，根据题意，得：，解答即可； （2）设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得 ，解答即可． 【详解】（1）解：设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元， 根据题意，得：， 解得：． 答：一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元； （2）解：设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得， 解得， 由m是正整数， 故的值为， 故共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球个； ②购进A品牌足球8个，B品牌足球个； ③购进A品牌足球9个，B品牌足球个； 设总利润为w元，根据题意，得， 又w随m的增大而增大， 故时，w取得最大值，此时（元）， 故购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元． 56．某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 【答案】(1)每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； (2)该服装厂有3种进货方案； (3)用礼盒包装的长裤买了14条． 【分析】（1）设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元，根据购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元列出方程并解方程即可； （2）设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，根据题意列出不等式组并解不等式组，求出整数解即可； （3）设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，由题意得到，由题意可得， ，解得，进一步求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元， 则， 解得， ∴， 答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； （2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得， ， 解得， ∵两种布料购进的匹数均为整数， ∴或或， 答：该服装厂有3种进货方案； （3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得， ， 即， 由题意可得， 把代入并整理得到，， 即， 解得， 由及,可得， 代入得到， 由得到，解得， ∴， 代入，符合题意， 答：用礼盒包装的长裤买了14条． 题型17.不等式组行程与分配问题 57． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 58．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 59．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2)小明的说法是正确的，理由见解析 (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 题型18.不等式组的销售利润问题 60．某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． (1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ (2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 【答案】(1)每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． (2)见解析 (3)购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设每台A型电饭煲进价为x元，则求得每台B型电饭煲进价，根据题意列等式求解即可； （2）设购买A型电饭煲a台，则购买B型电饭煲台，根据列出出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a为整数即可得出各进货方案； （3）根据总利润等于单个利润乘以购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．或比较两者之间的利润大小，竟可能选择利润大的型号即可获取更多的利润． 【详解】（1）解：（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． （2）设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲台， ， 解得， ∵a为整数， ∴a＝25、26、27、28，共4种方案， 方案1：A型号25台，B型号25台， 方案2：A型号26台，B型号24台， 方案3：A型号27台，B型号23台， 方案4：A型号28台，B型号22台； （3）方法一：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， 方案1利润：（元）， 方案2利润：（元）， 方案3利润：（元）， 方案4利润：（元）， ∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元， 方法二：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， ∵每台A型电饭煲利润大于每台B型电饭煲利润， ∴A型电饭煲的数量越多，获利越多， 则方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元． 61．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级·班作为班级劳动实践基地．班级计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获7千克，每平方米番茄每月可收获5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)若班级计划投入种植成本80元且恰好用完，两种蔬菜都种植，请求出所有符合条件的种植方案； (3)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)方案1：种植黄瓜1平方米，番茄12平方米；方案2：种植黄瓜4平方米，番茄8平方米；方案3：种植黄瓜7平方米，番茄4平方米 (3)黄瓜种植面积的可能整数值为3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元，列出方程组，解方程组即可； （2）设种植黄瓜m平方米，种植番茄n平方米，根据两种蔬菜的种植成本共80元，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可； （3）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设种植黄瓜m平方米，种植番茄n平方米，根据题意得： ， ∵、n为正整数， ∴，，， 答：共有3种符合条件的方案：方案1：种植黄瓜1平方米，番茄12平方米；方案2：种植黄瓜4平方米，番茄8平方米；方案3：种植黄瓜7平方米，番茄4平方米； （3）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意得： ， 解得：， ∵t为正整数， ∴或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 62．2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 【答案】(1) A种品牌排球的单价是30元，B种品牌排球的单价是50元 (2) 共有3种购买方案 (3) 为了节约资金，学校应选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个，理由见解析 【分析】(1)设A种品牌排球的单价是x元，则B种品牌排球的单价是y元，再根据购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元；B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元，列出关于的二元一次方程组求解即可； (2)设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，根据商店“优惠促销”活动及学校给出的已知条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，又由m为整数，确定购买方案即可； (3)由(2)得三种购买方案及总购买资金，比较数值大小即可得出资金最少的购买方案． 【详解】（1）解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元， 根据题意，得，解得， 答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元； （2）解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个， 根据题意，得，解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； （3）解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下： 由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为(元)； 方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为(元)； 方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为(元)； ∵， ∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个． 题型19.列一元一次不等式 63．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式：________． 【答案】 【分析】根据答对题数，答错或不答题数，结合得分规则和“得分超过85分”的不等关系，列出对应不等式． 【详解】解：已知答对道题，则答错或不答的题数为道，答对总得分为，答错或不答总扣分为， 由得分超过85分可得不等式：． 64．用不等式表示“与10的和不小于的一半”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：∵与10的和不小于的一半， ∴， 故选：A． 65．用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列不等式即可； （2）当小丽进电梯后电梯警示音未响起，得出，当小华进电梯后，电梯因超重而警示音响起，列出不等式，得到不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：根据题意得 解得． 题型20.用不等式解决实际问题 66．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 【答案】(1)A款服装单价为70元，B款服装单价为60元 (2)最多能采购A款服装150件 【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元； （2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件， 根据题意得， 解得 ∴最多能采购A款服装150件． 67．用粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）制作粮食酒的出酒率约为，用芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）制作芋头酒的出酒率约为．（出酒率）． 第一次实验分别蒸馏出的粮食酒和芋头酒共42千克；第二次实验芋头糟醅量不变，所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，蒸馏出的酒总量比第一次多30千克． (1)第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)现有粮食糟醅和芋头糟醅共200千克，要想出酒率不低于，其中粮食糟醅至少为多少千克？ 【答案】(1)第一次实验用了100千克粮食糟醅，60千克芋头糟醅 (2)160千克 【分析】（1）设第一次实验用了x千克粮食糟醅，y千克芋头糟醅，根据第一次实验分别蒸馏出的粮食酒和芋头酒共42千克；第二次实验芋头糟醅量不变，所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，蒸馏出的酒总量比第一次多30千克，列出方程组，解方程组即可； （2）设粮食糟醅有m千克，则芋头糟醅有千克，根据出酒率不低于，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一次实验用了x千克粮食糟醅，y千克芋头糟醅， 根据题意得：， 解得：， 答：第一次实验用了100千克粮食糟醅，60千克芋头糟醅； （2）解：设粮食糟醅有m千克，则芋头糟醅有千克． 根据题意得：， 解得：． 答：其中粮食糟醅至少为160千克． 68．列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． (1)每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ (2)本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 【答案】(1)每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元 (2)件 【分析】（）设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元，根据题意列出方程组解答即可； （）设购进甲材料件，则购进乙材料件，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】（1）解：设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元； （2）解：设购进甲材料件，则购进乙材料件， 由题意得，， 解得， 为非负整数， 的最大值为， 答：最多购进甲材料为件． 题型21.用不等式解决几何问题. 69．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 70．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 71．如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元一次不等式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记不等式、一元一次不等式、不等式的解与解集、一元一次不等式组基础定义，能区分不等式与一元一次方程。 2.牢固掌握不等式 3 条基本性质，重点熟记系数化为 1 时负数要变号这条易错知识点。 3.牢记一元一次不等式（组）解题五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1；熟练用数轴表示解集，掌握不等式组四种解集规律。 4.梳理常见不等关系关键词：大于、小于、不大于、不少于、至多、至少等文字对应的不等符号。 1.运算能力：规范解一元一次不等式、不等式组，减少去分母漏乘、去括号变号失误。 2.识图能力：依托数轴快速确定不等式（组）解集，借助数轴解决简单含参数不等式问题。 3.建模能力：从实际应用题里提炼不等关系，列出一元一次不等式（组），结合现实取舍不合理解。 4.辨析能力：对比等式与不等式变形区别，自主排查错题、总结易错点。 1.基础题：选择、填空零失误，快速搞定概念辨析、不等式性质运用、简单解集书写。 2.计算题：不等式、不等式组解答题步骤完整、格式规范，确保计算满分。 3.应用题：熟练攻克方案选择、最值问题（费用最少、用料最低）等期末高频大题，答题条理清晰。 4.拔高题：能应对简单含参不等式逆向题型，规避期末高频陷阱考点，单元相关考题失分控制在 5 分以内。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04.一元一次不等式的定义 题型05.求不等式的解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.不等式组的定义 题型09.求不等组的解集 题型10.求不等式组的整数解 题型11.由不等式组解集求参数 题型12.由不等式组解集的情况求参数 题型13.不等式组和方程组结合的问题 题型14.列一元一次不等式组 题型15.不等式组的经济问题 题型16.不等式组的方案选择问题 题型17.不等式组行程与分配问题 题型18.不等式组的销售利润问题 题型19.列一元一次不等式 题型20.用不等式解决实际问题 题型21.用不等式解决几何问题 知识点01:基础概念 1.不等式：用不等号连接的式子。常见符号：＞、＜、≥、≤、≠ 不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 2.一元一次不等式：只含一个未知数、未知数次数为 1、分母不含未知数的整式不等式。标准形式：ax+b＞0、ax+b＜0 3.不等式的解：满足不等式的每一个未知数的值。 4.不等式的解集：所有解的集合；解集是范围，解是单个数值。 5.解不等式：求不等式解集的过程。 6.一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成。 7.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 知识点02:不等式基本性质（本章最核心、学生最大易错点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 知识点03:一元一次不等式解法与数轴规范 1.解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 2. 数轴画图规则 不等符号 标点画法 画线方向 ＞、＜ 空心圆圈 大于向右，小于向左 ≥、≤ 实心圆点 大于向右，小于向左 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05:含参数不等式（难点） 1.先把参数当作常数，正常求解不等式（组）； 2.依据 “有解、无解、限定整数解个数”，借助数轴定参数范围； 3.重点检验端点能否取等号。 知识点06:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:高频易错汇总 1.系数化为 1、去分母时乘负数，忘记变号； 2.去分母漏乘不含分母的常数项； 3.数轴实心、空心混用，画线方向出错； 4.应用题关键词看错，不等号选用错误； 5.参数题型端点等号判断出错； 6.实际问题忽略未知数为正整数。 题型01.不等式的定义 1．与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 题型02.不等式的解集 4．下列的值中，是不等式的解的是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 5．关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 题型03.不等式的性质 7．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 题型04.一元一次不等式的定义 10．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 11．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 12．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型05.求不等式的解集 13．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为_______． 15．方程组的解共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 16．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06.求不等式的整数解 17．不等式的非负整数解是______． 18．已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 19．在使不等式成立的x的值中，最大整数解是（    ） A． B． C． D． 20．求不等式的正整数解． 题型07.数轴上表示不等式解集 21．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为如图所示，这个不等式可以是______． 22．如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等式______． 23．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 24．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 题型08.不等式组的定义 25．下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 26．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 题型09.求不等组的解集 28．关于的一元一次不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A． B． C． D．无解 29．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 30．关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 31．解不等式组： (1) (2) 题型10.求不等式组的整数解 32．不等式组的整数解有（     ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 33．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是_____． 34．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 35．解不等式组：，并写出它所有的整数解； 题型11.由不等式组解集求参数 36．不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 37．不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 38．若关于x的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 39．已知关于，的方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 题型12.由不等式组解集的情况求参数 40．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 41．若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 42．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 43．已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 题型13.不等式组和方程组结合的问题 44．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为__________． 45．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④ 46．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 47．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 题型14.列一元一次不等式组 48．某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 50．某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数． (1)列出a、b满足的不等式． (2)该研学小组最少有多少名学生？ 题型15.不等式组的经济问题 51．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 52．一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 53．据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 题型16.不等式组的方案选择问题 54．为响应“阳光体育”运动，某校购进，两种实心球，种个，种个，共花费元．已知种实心球的单价比种实心球的单价高“”元（“”是被墨水弄脏的数字）．根据题意，设种实心球的单价为元，列出一元一次方程：，解这个方程，得到． (1)根据解答过程，“”的数字为________； (2)根据需要，学校决定再购进，两种实心球共个，总费用不超过元，且购买种实心球不少于个．若实心球单价不变，共有几种购买方案？ 55．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 56．某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 题型17.不等式组行程与分配问题 57． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 58．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 59．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 题型18.不等式组的销售利润问题 60．某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． (1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ (2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 61．为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级·班作为班级劳动实践基地．班级计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获7千克，每平方米番茄每月可收获5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)若班级计划投入种植成本80元且恰好用完，两种蔬菜都种植，请求出所有符合条件的种植方案； (3)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 62．2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． (1)求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 题型19.列一元一次不等式 63．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式：________． 64．用不等式表示“与10的和不小于的一半”，正确的是（   ） A． B． C． D． 65．用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 题型20.用不等式解决实际问题 66．为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 67．用粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）制作粮食酒的出酒率约为，用芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）制作芋头酒的出酒率约为．（出酒率）． 第一次实验分别蒸馏出的粮食酒和芋头酒共42千克；第二次实验芋头糟醅量不变，所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，蒸馏出的酒总量比第一次多30千克． (1)第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)现有粮食糟醅和芋头糟醅共200千克，要想出酒率不低于，其中粮食糟醅至少为多少千克？ 68．列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． (1)每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ (2)本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 题型21.用不等式解决几何问题. 69．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    70．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 71．如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $