精品解析：福建龙岩市第二中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

龙岩二中2025～2026学年第二学期高一第一次月考数学试题 命题人、审题人：高一数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上. 1. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法结合复数的虚部计算可得. 【详解】由，得的虚部为. 故选：B 2. 设i是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把已知代入，利用复数代数形式的乘法及加法运算化简，求得坐标得答案． 【详解】∵， ∴， ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限． 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算及其几何意义，是基础题． 3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. －2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求得向量的坐标，再根据与共线求解. 【详解】解：因为向量，， 所以向量， 因为与共线， 所以， 解得， 故选：D 4. 的三角形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 5. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可 【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点， 所以 , 故选：A 6. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 即，解得. 故选：A. 7. 中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由根据正弦定理和两角和的正弦公式可求得，再根据可得是等腰三角形，即可判断. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 如图所示， 在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则， 显然，因此平行四边形为菱形，平分， 又，则有，即， 于是得是等腰三角形，所以， 又，所以为等边三角形. 故选：. 8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解 【详解】设为斜边上的高，则圆的半径， 设为斜边的中点，，则， 因为，， 则 ，故当时， 的最小值为. 故选：C. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可. 【详解】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD 10. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若，则的值为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得且， 所以当且时与的夹角为锐角，故B错误； 对于C，因为，所以，解得，故C正确； 对于D，由题意得，. 因为，所以，解得， 当时，，， 此时，，，故D错误. 故选：AC. 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由正弦定理结合平方关系求解判断；对B，由，得，根据正切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C，由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合求解判断；对D，由三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由正弦定理，得，所以. 因为，所以，解得或. 因为，所以，，故A正确； 对于B，在锐角中，，则， 所以，故B错误： 对于C，. 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为的面积为1，即，所以， 所以， 当且仅当，等式成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复数，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 【答案】 【解析】 【分析】在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】如图，在中，，所以. 在中，因为，所以. 由正弦定理得,故，故， 在中，易得. 故答案为：60. 14. 平面四边形中，，则的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，设，且， 在中，利用余弦定理，求得，即，再在中，利用余弦定理，化简得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，因为，设，且， 在中，可得 ， 即，可得， 在中，可得， 所以， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，得到，结合数量积的计算公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，，且，的夹角为，可得， 则. 【小问2详解】 解：因为，所以， 即，即， 可得，即，解得. 16. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）计算出，根据纯虚数得到方程和不等式，求出； （2）求出和，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而得到投影向量 【小问1详解】 ，因为是纯虚数， 所以且，解得； 【小问2详解】 当时，，故， ，故． 设，则； 所以在上的数量投影向量为． 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为的中点，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设条件及正弦定理求得，求得，即可求解；（2）先利用同角三角函数平方关系得到，在中，由正弦定理得，得.因为为中点，得.在中，由余弦定理计算得到答案； 【小问1详解】 由正弦定理得， 即 所以， 所以. 又，得，因为，所以 【小问2详解】 解法1：因为，所以. 在中，由正弦定理得，即，得. 因为为中点，所以. . 在中，由余弦定理得 ， 所以. 解法2：因为，所以. 在中，由正弦定理得，即，得. 因为为中点，所以. ， 在中，由正弦定理得，即，得. 在中， 由余弦定理得， 所以. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可； （3）（ⅰ）由题意可得，根据共线定理得到，利用基本不等式求解即可； （ⅱ）根据三形的面积公式可得，再结合，将转化为的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，且、不共线，所以，； 【小问2详解】 因为、、三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，即， 所以， 又因为， 即，又、不共线， 所以，解得， 所以． 【小问3详解】 （i）根据题意． 同理可得：， 由（2）可知，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 化简得，又因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立． （ⅱ）根据题意，， ， 所以 ， 由（i）可知，则， 所以， 所以， 易知，当时，有最大值，又因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2025～2026学年第二学期高一第一次月考数学试题 命题人、审题人：高一数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上. 1. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设i是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. －2 C. D. 2 4. 的三角形式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则与的夹角为锐角 C. 若，则的值为 D. 若，则 11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复数，则___________. 13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 14. 平面四边形中，，则的最大值为__________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值； 16. 已知复数，其中． （1）设，若是纯虚数，求实数m的值； （2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量的坐标． 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为的中点，，，求. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $