精品解析：福建连城县第一中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

连城一中2025—2026学年下期高一年级月考1 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：共8小题，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 所以. 故选：A 3. 已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 故选：B. 5. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 6. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 7. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，， 由正弦定理，即，得 km. 在中，，，故， 由正弦定理，即，得 km. 在中，由余弦定理， 代入得，故 km. 故选：A 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 三、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D. 【详解】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得. 【详解】对于A，由可得， 因，则，则，或， 即或， 因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确； 对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误； 对于C，由正弦定理，，又， 代入解得，故C正确； 对于D，由上分析可得：，, 故 ，设， 又,则，则， 则，且， 则， 故当时，的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是虚数单位，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 13. 中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可. 【详解】 如图，以边,为邻边做平行四边形， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形中，，， 在中，由余弦定理得： ， 所以，， 故答案为： 14. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量的夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果； （2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值. 【小问1详解】 因为，且， 所以，. 解得， 所以； 【小问2详解】 设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，， 所以，得. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可. （2）利用余弦定理和正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，且， 则， 所以． 【小问2详解】 由， 则， 又，则． 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）点为线段的中点，且，，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求出角的大小； （2）利用中点向量公式和余弦定理求解即可． 【小问1详解】 由得， 所以， 因为是锐角，所以； 【小问2详解】 点是中点，且， ，平方得， 即， 由余弦定理：， 即， 联立解得： 的值为1． 18. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为． （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【小问1详解】 由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； 【小问2详解】 由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； 【小问2详解】 方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2025—2026学年下期高一年级月考1 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：共8小题，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 3. 已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 三、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则为纯虚数 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是虚数单位，则___________． 13. 中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 14. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量夹角的正弦值. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及值． 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）点为线段的中点，且，，求的值． 18. 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为． （1）求的“广义坐标”； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $