专题05 全等三角形的基本解题模型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材北师大版

专题05 全等三角形的基本解题模型 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 全等三角形模型之一线三等角模型 题型2 全等三角形模型之倍长中线模型 题型3 全等三角形模型之截长补短模型 题型4 全等三角形模型之手拉手模型 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 一线三等角模型 2. 倍长中线模型 3. 截长补短模型 4. 手拉手模型 1. 一线三等角模型：以同一直线上三个相等角为背景，结合坐标轴或几何图形构造全等，侧重考查从复杂图形中剥离模型的抽象能力。 2. 倍长中线模型：已知三角形中线条件下，通过加倍延长构造全等，常与中位线、线段不等关系综合，强调辅助线规范作法。 3. 截长补短模型：用于证明线段和差关系（如a+b=c），与角平分线、等腰三角形性质深度结合，考查转化与构造思维。 4. 手拉手模型：以共顶点的两个等腰三角形旋转为背景，综合考查 SAS 判定及旋转角、对应边夹角等结论，常出现在压轴题。 考情解码：一线三等角模型侧重同一直线上三个相等角构造全等，常用于证明线段相等或角相等；倍长中线模型通过加倍延长中线构造全等，解决中线相关问题；截长补短模型通过截取或延长线段证和差关系；手拉手模型利用共顶点等腰三角形旋转证全等，高频考查综合运用。 知识点一 全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【易错警示】 - 找等角：利用平角180°及三角形内角和推导等角，勿直接假设第三个角相等。 - 对应顶点：等角顶点需对应，对应边找准，否则全等判定易错。 - 分类：等角可在同侧或异侧，注意锐角、钝角情况。 即时即练 综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意得，可得，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明，则有和，即有成立； （3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， 则． （2）解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）解：同（2）可得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 知识点二 全等三角形模型之倍长中线模型 【模型解析】（1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） （2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 【易错警示】 - 倍长：延长中线至相等，构造全等（SAS），勿只延长一半。 - 连线：倍长后需连接顶点与延长点，才能形成全等三角形。 - 结论：得对应边平行或相等，勿忘证明三点共线（如有需要）。 即时即练 【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 知识点三 全等三角形模型之截长补短模型 【模型解析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 【易错警示】 - 目的：证明线段和差关系（如a+b=c），勿乱用。 - 截长：在长边上截取一段等于短边；补短：延长短边使等于长边。 - 全等：构造后必须证明全等，且对应边要正确连线，勿遗漏证明步骤。 即时即练 同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点四 全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 【易错警示】 - 条件：两个等腰三角形顶角相等，且共顶点，拉手线为对应边。 - 全等：拉手线构成的三角形全等（SAS），勿找错对应边。 - 结论：拉手线相等，且夹角等于顶角（或互补），需证明旋转关系。 即时即练 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型1 全等三角形模型之一线三等角模型 例1．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【详解】（1）证明：， 在和中 ，， （2）证明： 在和中 ，， （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）成立，理由如下： 在和中 例2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【详解】（1）解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． （2）证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【技巧总结】 1. 找等角：同一直线上三个相等的角，其两侧三角形必全等。 2. 用外角：利用外角性质证明另一组角相等。 3. 证全等：结合已知边等（如等腰底边），用AAS或ASA证全等，进而得对应边、角相等。 【变式训练1-1】已知：中，，． (1)如图1，当点在线段上时，连接，在直线左侧作，且，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段上时，连接，在直线下方作，且，过点作于，连接交于，求的值； (3)当点在射线上时，连接，在直线左侧作，且，连接交直线于，若，请在备用图中画出图形，再直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，得到，证明，证明，则，得到，即可得到结论； （3）分两种情况：当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于M，作交的延长线于点，设，则， 证明及即可求出结论；点D在线段上，同理，即可求出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于M，作交的延长线于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，点D在线段上， 同理可证：， ， ， ， ，即， 设，则， ， ， ， 综上所述，或． 【变式训练1-2】数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 题型2 全等三角形模型之倍长中线模型 例3．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例4．综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 【技巧总结】 1. 遇中线：直接延长一倍，构造全等三角形。 2. 连顶点：连接中线端点与对应顶点，得平行四边形或全等。 3. 证相等：倍长后得对边平行且相等，转移边角关系，常用于证线段不等或求取值范围。 【变式训练2-1】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)EF=2AD，EF⊥AD，见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； （3）解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 【变式训练2-2】【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)，理由见解析 (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 题型3 全等三角形模型之截长补短模型 例5．如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 例6．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【技巧总结】 1. 截长：在长线段上截取一段等于短线段，构造全等。 2. 补短：延长短线段使等于长线段，再证全等。 3. 目的：将分散的线段集中到同一三角形中，利用全等证明和差关系（如 \(a+b=c\)）。 【变式训练3-1】“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 【变式训练3-2】在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 题型4 全等三角形模型之手拉手模型 例7．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明，可推出，再根据和推出； （2）当点在延长线上时，通过证明，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结论依然成立； （3）分点在线段上和延长线上两种情况，结合前两题的全等三角形结论，分别计算出． 【详解】（1）解：，即，，即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （2）解：成立，理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （3）解：当点在上时， 由（1）可知， ，， ， ； 当点在延长线上时， 由（2）可知， ，， ， ， 综上，或． 例8．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【技巧总结】 1. 识特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，拉手线相连。 2. 证全等：用SAS证拉手线所在三角形全等。 3. 得结论：拉手线相等，夹角等于顶角，连线与底边夹角相等，常用于旋转全等问题。 【变式训练4-1】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 【变式训练4-2】已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 1．在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 2．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．在等边中，是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，若，，则以下五个结论：（    ） ①是等边三角形；②；③的周长是11；④；⑤ 其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由旋转得到BD=BE,根据旋转角60°即可判断①；根据旋转得到△BCD≌△BAE，由此证得∠BAE=∠C=60°，即可判断②；利用②的全等得到CD=AE，即可推导的周长=AC+BD，由此判断③；利用全等及平行线判断∠AEB的大小，即可判断④；利用“8字形”即可判断⑤. 【详解】由旋转得到BD=BE，∠DBE=60°， ∴是等边三角形，故①正确； 由旋转得到△BCD≌△BAE， ∴∠BAE=∠C=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°， ∴∠ABC=∠BAE， ∴AE∥BC，故②正确； ∵△BCD≌△BAE， ∴AE=CD, ∵是等边三角形， ∴DE=BD=5， ∵AC=BC=6， ∴的周长=AD+AE+DE=AC+BD=11，故③正确； ∵∠ABC=∠DBE=60°，点D在AC上， ∴∠CBE<120°, ∵AE∥BC, ∴∠CDB=∠AEB>60°， ∵∠BDE=60°， ∴∠ADE<60°， ∴∠ADE<∠BDC,故④错误； 设AB交DE于G， ∵∠BAE=∠BDE=60°，∠AGE=∠BGD, ∴180°-∠BAE-∠AGE=180°-∠BDE-∠BGD, ∴,故⑤正确， 故选：C. 5．如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 6．如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 7．如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 8．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 9．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 10．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 11．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 12．（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形的基本解题模型 亡了内容导航 01复习目标一明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构一系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1全等三角形模型之一线三等角模型 题型2全等三角形模型之倍长中线模型 题型3全等三角形模型之截长补短模型 题型4全等三角形模型之手拉手模型 04综合通关一综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、 错因与正解 0, 复习目标 常考考点 命题风向 1. 一线三等角模型：以同一直线上三个相等角为背景，结合坐标轴或几何图 形构造全等，侧重考查从复杂图形中剥离模型的抽象能力。 1. 一线三等角模型 2.倍长中线模型：已知三角形中线条件下，通过加倍延长构造全等，常与中 2. 倍长中线模型 位线、线段不等关系综合，强调辅助线规范作法。 3. 截长补短模型 3.截长补短模型：用于证明线段和差关系（如a+b=c),与角平分线、等腰 4. 手拉手模型 三角形性质深度结合，考查转化与构造思维。 4.手拉手模型：以共顶点的两个等腰三角形旋转为背景，综合考查S4S判定 及旋转角、对应边夹角等结论，常出现在压轴题。 考情解码：一线三等角模型侧重同一直线上三个相等角构造全等，常用于证明线段相等或角相等；倍 长中线模型通过加倍延长中线构造全等，解决中线相关问题；截长补短模型通过截取或延长线段证和 差关系；手拉手模型利用共顶点等腰三角形旋转证全等，高频考查综合运用。 02 知识重构 脉|络|重|构 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两个等搬二角形烘顶点 特征祉 同一直线上二个相等角 顶确相等 特征 手拉手模型 一线三等角模型 常与等腰二角形结合 连接对应顶点 解题关键 利用外角性质 利用SAS证全等 解题关键 全等三角形基本 证明角相等导出边相等 证明线段和差关系 特征 解题模型 特征 三角形中有中线 在较长线段上截取一段等于短线段 倍长中线模型 截长法 截长补短模型 延长中线一倍 证明剩余部分等于另一段 解题关键 构造全等三角形 延长短线段等于长线段 补短法 证明斑长后三角形全等 重1点I梳I理 知识点一全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角(“K型图”) 钝角一线三等角 条件：∠A=∠CED=∠B,AE=DE; 结论：△ABE兰△ECD,AB+CD=BC。 2)一线三等角(K型图)模型（异侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角 钝角一线三等角 以从 条件：∠DCF=∠ABC=∠AED,AE=DE;结论：△ABE兰△ECD,AB-CD=BC。 1)（同侧型)证明：，∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=∠AED,∴.∠AEC=∠AED十∠BAE, ,'∠AEC=∠AED+∠CED,∴.∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C,∠BAE=∠CED,AE=ED;∴.AABE兰△ECD, .AB=EC,BE=CD,.BC=BE+EC,∴AB+CD=BC。 2)（异侧型)证明：：∠DCF=∠ABC,∴.∠ECD=∠ABE ,'∠ABC=∠AEB+∠A,∠AED=∠AEB+∠CED,∠ABC=∠AED, ∴.∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,∴.∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED,∠ECD=∠ABE,AE=ED;.△ABE兰△ECD, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=EC,BE=CD,BC=EC-BE,∴AB-CD=BC。 【易错警示】 找等角：利用平角180°及三角形内角和推导等角，勿直接假设第三个角相等。 、 对应顶点：等角顶点需对应，对应边找准，否则全等判定易错。 分类：等角可在同侧或异侧，注意锐角、钝角情况。 即时即练综合与实践 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB=AC,且满足 LBDA=LAEC=∠BAC=a (I)如图1，当α=90°时，猜想线段DE、BD、CE之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当0<α<180°时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证 明； (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与 CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是12，请求出△FBD与△ACE的面积之和. B m A E m A E m A 图1 图2 图3 知识点二全等三角形模型之倍长中线模型 【模型解析】(1)倍长中线模型（中线型） 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线。 结论：△ABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，.BD=CD,,∠BDA=∠CDE,∴.△ABD≌△ECD(SAS) (2)倍长类中线模型（中点型） E 倍长类中线 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，∴.BD=DC,,∠BDE=∠CDF,.△EDB≌△FDC(SAS) 【易错警示】 倍长：延长中线至相等，构造全等(S4S),勿只延长一半。 ·连线：倍长后需连接顶点与延长点，才能形城全等三角形。 ·结论：得对应边平行或相等，勿忘证明三点共线（如有需要）。 即时即练【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在ABC中，AB=6,AC=4,求BC边上的中线 AD的取值范围 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,易证△ACD兰△EBD,于是我们把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围. 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线等条件时，可以考虑作辅助线，即 把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为 “倍长中线法”。 【问题解决】(1)如图1，AC与BE的位置关系是；AD的取值范围是 【问题应用】(2)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD, 试探究线段AE与AD的数量关系。 【拓展延伸】(3)如图3，在ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过点G 作GF平行于AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F,若AB=I0,AC=6,求BE的长. GD 图1 图2 图3 知迟点三全等三鱼形模型之截长补短模型 【模型解析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线 等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于己知线段。 【常见模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC-AD 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 【易错警示】 ·目的：证明线段和差关系（如a+b=c),勿乱用。 ·截长：在长边上截取一段等于短边；补短：延长短边使等于长边。 全等：构造后必须证明全等，且对应边要正确连线，勿遗漏证明步骤。 即时即练同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可 以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题 图① 图② 图③ 图④ (1)(1)在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB，,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题， (2)如图③，在ABC中，∠ABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关 系 (3)如图④，在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,AD、BG分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， 4-60=3,4G:空，直接写出GC 知识点四全等三角形模型之手拉手模型 1)双等边三角形型 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD 证明：，△ABC和△DCE均为等边三角形，∴.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), .BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，∠CMB=∠AMF,∴.∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA-=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 ✉全 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=90° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又.'∠CMB=∠AMN,∴.∠ANMM=∠BCM=90°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 条件：BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠BCM=∠AFM;④CF平分∠BFD。 证明：，∠BCA=∠ECD,∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又.BC=AC,CE=CD,∴.△ACD≌△BCE(SAS),∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD, 又，∠CMB=∠AMF,∴.∠BCM仁∠AFM,过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【易错警示】 ·条件：两个等腰三角形顶角相等，且共顶点，拉手线为对应边。 ·全等：拉手线构成的三角形全等(S4S),勿找错对应边。 ~结论：拉手线相等，且夹角等于顶角(@或互补)，需证明转关系。 即时即练ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC,BE=BD, ∠DBE=∠ABC=90°)的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由。 D B 图(1) 图(2) 03 题型突破 题型1全等三角形模型之一线三等角模型 例1.一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满 足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D M D 图1 图2 图3 A E 图4 (I)如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于点D,过点C 作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°得LDBA= 又知道 ∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE,进而得到AD=CE,AE= (②)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE. (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之间的数量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满足 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌aCAE是否成立？若成立，请给 出证明；若不成立，请说明理由。 例2.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： B G B b1入 A 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 ∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到ABC兰，推理依据 是 进而得到AC=,BC=· 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，∠BAD=LCAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF 交于点G.求证：点G是DE的中点； (3)如图3，己知四边形ABCD和DEFG,LADC=∠EDF=9O°，AD=CD,DE=DF,△AFD的面积为 S,△DCE的面积为S2,试猜想S和S2的数量关系，并说明理由 【技巧总结】 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.找等角：同一直线上三个相等的角，其辆侧三角形必全等。 2.用外角：利用外角性质证明另一组角相等。 3.1 证全等：结合已知边等（如等腰底边），用AAS或AS4证全等，进而得对应边、角相等。 【变式训练1-1】已知： ABC中，∠ACB=90°，AC=CB 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上时，连接AD,在直线AC左侧作AE⊥AD,且AE=AD,过点E作 EH⊥AC于H,求证：EH=AC; (2)如图2，当点D在线段AC上时，连接BD,在直线BC下方作BE⊥BD,且BE=BD,过点E作 EH L BC于H,连接AE交BC于M,求D M的值， (3)当点D在射线CB上时，连接AD,在直线AC左侧作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交直线AC于M, 若4C=3CM,请在各用图中面出图形，再直接写出、的值。 SAEM 【变式训练1-2】数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足 分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.”在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得 到一些线段之间的数量关系，然后进行求解： 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE; 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC, 连DC交OB延长线于点E.猜想AO与BE的数量关系，并说明理由： 【知识迁移】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以ABC的AB,AC边向外 作等腰RtABAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 题型2全等三角形模型之倍长中线模型 例3.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法。 B 图(1) 图(2) (I)如图1，AD是ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E,使 DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC,接下来，在△ABE中利用三角形的 三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： (2)如图2，AB=AE,AC=AF,LBAE=LCAF=90°，点D为BC的中点，连接AD.求证：EF=2AD. 例4.综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某 特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题， 例：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，BE平分∠ABC,试判断BC,CD,AB之 间的等量关系 小颖的方法：如图②，延长BE,CD相交于点F,构造ABE≌DFE和等腰三角形BCF即可判断. D 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)按照小颖的方法，判断BC,CD,AB之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 (2)如图③，在ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F,AE=EF,试说明 AC=BF. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【技巧总结】 1.遇中线：直资延长一倍，构造全等三角形。 2.连顶点：连接中线端点与对应顶点，得平行四边形域全等。 3.证相等：倍长后得对边平行且相等，转移边角关系，常用于证线段不等或求取值范围。 【变式训练2-1】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. E 图1 图2 图3 (1)如图1，AD是ABC的中线，AB=6,AC=10,求AD的取值范围. 我们可以延长AD到点E.使DE=AD,连接BE,根据SAS可证ADC≌EDB,所以BE=AC.接下来， 在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是：一；（直接填结 果，不用写出求解过程) (2)由第(1)问的方法得到启发，如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线， CD=AB,∠BDA=∠BAD,试说明：AC=2AE; (3)如图3，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°.点D为BC的中点，判断线段EF与AD的关系，并说 明理由. 【变式训练2-2】【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5.4,AD=3,若AC边的长度为奇数，求AC的长.小 明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E使AD=DE,连接BE.由已知和作图 能得到△EDB≌△ADC,所以AC=BE. 图① 图② 图③ 【思考发现】 (1)如图①，△EDB≌aADC的理由是_； A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请根据小明的方法思考，直接写出AC的长可能为-（写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、 证明)的结论集中到同一个三角形之中， (3)如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于G,AC=BF.探究∠AFG与LGAF的关系，并说明理由： 【深入探究】 (4)如图③，在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,且LACB=∠DCE=90°，连接AD,BE,F为AD的 中点，连接FC并延长交BE于H,CF=4,CH=2,求aBCE的面积. 题型3全等三角形模型之截长补短模型 例5.如图，AD∥BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线， D B (1)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长 例6.“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵 活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问 题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习.如图，在四边形ABCD中，AB=AD, E,F分别是直线BC,CD上的点 B B F 图① 图② ()如图①，若LABC=∠ADC=90°，E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EAF=;∠BAD,试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, 请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若∠ABC+LADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【技巧总结】 1.截长：在长线段上截取一段等于短线段，构造全等。 2.补短：延长短线段使等于长线段，再证全等。 3. 目的：将分散的线段集中到同一三角形中，利用全等证明和差关系（如Ma+b=cV)。 【变式训练3-1】“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图 形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角)的数量关系问题.某数学小组借助 以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD中， AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. B F D 图1 图2 图3 ()如图1，若AB⊥CB,AD⊥CD,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EAF=-,∠BAD,试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系 数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,先证△ABG与△ADF的全等， 再证△AEF与△AEG的全等，可得到EF,BE,DF之间的数量关系.经过以上分析，直接写出线段EF, BE,FD之间的数量关系为 (2如图2，若∠ABC+LADC=180,点E,点F分别在线段CB,DC的延长线上，且满足∠EF=∠BAD, 试探究线段EF,BE,DF之间的数量关系，并请说明理由， (3)如图3，若LABC+∠ADC=180°不变，点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF，试探究∠EAF与∠BAD的数量关系，并说明理由. 【变式训练3-2】在四边形ABCD中，AB=AD. G 、D B 图1 图2 图3 (1I)若∠BAD=120°，∠B=LADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，试探究线段BE, EF,FD之间的数量关系.小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,如图1，先证明 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系.请你： ①直接写出LGAF的度数：∠GAF=; ②根据小亮同学的思路，直接判断BE,EF,FD之间的数量关系： (②如图2，若∠B+∠D=180°，点E,F分别是BC,CD上的点，∠EAF=∠B1D,(1)中的结论是否仍 然成立？请说明理由 (3)如图3，若∠ABC+∠ADC=180°，点E,F分别是CB,CD延长线上的点，若EF=BE+DF,试判断 ∠EAF和∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 题型4全等三角形模型之手拉手模型 例7.综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系。 问题情境：己知，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，点D是直线BC上的一个动 点，连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,∠ADE=∠AED=45°，连接DE,CE. 图1 图2 备用图 实践探究： (1I)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数 量关系与位置关系：① ,② (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论 是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点D在射线BC上运动的过程中，如果 BC=6,CD=4,请直接写出线段CE的长 例8.综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知 识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. 图1 图2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【发现问题】 (I)如图I,在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连接BE,CF,延长BE交CF 于点D.则BE与CF的数量关系为： 【类比探究】 (2)如图2，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=I20°，连接BE,CF,延长 BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及LBDC的度数，并说明理由. 【技巧总结】 1.识特征：两个等腰三角形供顶点，顶角相等，拉手线相连。 2.证全等：用S4S证拉手线所在三角形全等。 3.得结论：拉手线相等，夹角等于顶角，连线与底边夹角相等，常用于旋转全等问题。 【变式训练4-1】在aABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），E是△ABC外一点， 连接AD、AE,已知AD=AE,∠DAE=LBAC,连接CE,DE. 图1 图2 (1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=度： (2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段CB的延长线上时，(2)中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由. 【变式训练4-2】已知ABC与ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD,连接BD与EC相交于点 F,BD与AC相交点G. D 图1 图2 图3 (1)猜想：如图1所示，当LBAC=60°时，则∠BFC= (2)探究：如图2所示，当∠BAC=90°时，请求出∠BFC的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当AB∥CE,AB=5,EC=8,请求出DF的长度. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 04 综合通关 1.在ABC中，AC=6,中线AD=7,则AB的长度不可能是() A.7 B.9 C.17 D.19 2.如图，在ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O,BD交AC于点D, CE交AB于点E,若己知ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE长为() D 0 A·3 B. 3 D.4 3.如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点，连接AD,过点A作AE⊥AD，且 AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长度为() D B A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 4.在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD,将△BCD绕点B顺时针旋转6O°得到△BAE,连接ED, 若BC=6,BD=5,则以下五个结论：() E ①BDE是等边三角形；②AEI/BC;③ADE的周长是II;④LADE=LBDC;⑤∠AED=∠ABD 其中正确的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图，在等边ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED=EC.若ABC的边 长为1，AE=3,则CD=一· 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E 6.如图已知ABC中，AD为BC边上的中线，AE平分∠CAD交BC边于点E,∠BAD+∠CAE=90°， AD=5,则AC=· A B D E C 7.如图，ABC的边AC与△ABE的边BE相交于点D,BE⊥AE,过点C作CF⊥BE,交BD于点F,且 DE=DF,CF=BF,若AE=4,DE=3,则ABC的面积是 E A B 8.己知：ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一点，过点B作BG⊥直线AD于点G,过 点C作CF⊥直线AD于点F. 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 9.【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板. 如图：在ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在aDEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了相应的 问题. D B D E B E 图1 图2 图3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF,垂足 为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N. (1)图1中，AM=3,CN=8,求MN的长，请补充小明的过程， :∠ABC=90°， .∠ABM+∠CBN=90°， :AM⊥DF,CN⊥DF, .∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∠ABM+∠BAM=90°， ∠BAM=LCBN, (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE ,垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=8,BE=2,连 接CE,请求出△ACE的面积. 10.【问题初探】 ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板， (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，：AB=BC, LABD=∠CBE=9O°，DB=EB,△ABD≌△CBE.依据的是判定定理 A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由。 【拓展延伸】 3 (3)如图(3)，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD,BC=二CD,连接AC,BD,∠ACD=45° ,A到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积. B 459 图1 图2 图3 11.八年级(2)班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： (1)如图1，AD是ABC的中线，AB=6,AC=4,写出一个符合条件的AD的整数值. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE.从而得到AD的取值范围是 所以AD的可能取值为； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形. 【问题解决】 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠A0B+∠C0D=180°，连接AC,BD,E是AC的中点，连接OE, 若∠C0E=20°，求∠D的度数； (3)如图3，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长EO交BD于点F,OF=2,OE=5,求△B0D的面 积. 12.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=LADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系.小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G, 使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明aAEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 _； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=18O°.E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的 延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由 G D B A E E 图1 图2 图3 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 05 错题留痕