专题04 图形的轴对称（暑假复习讲义）新八年级数学新教材北师大版

专题04 图形的轴对称 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 轴对称图形的识别 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型3 画轴对称图形 题型4 轴对称中的折叠问题 题型5 利用等腰（等边）三角形性质求解 题型6 利用等腰（等边）三角形性质证明 题型7 根据线段垂直平分线的性质求解与证明 题型8 根据角平分线的性质定理求解与证明 题型9 利用轴对称求解将军饮马问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 轴对称图形识别及性质（对应点连线被对称轴垂直平分）。 2. 垂直平分线与角平分线性质。 3. 等腰三角形：“三线合一”、等边对等角。 4. 最短路径问题（将军饮马模型）。 5. 折叠问题中的角度或线段计算。 1. 强化轴对称识别与实际应用：从概念辨析转向生活情境（如台球、光线反射、折叠问题）中的对称分析。 2. 聚焦“三线合一”与最值问题：重点考查等腰三角形性质及利用垂直平分线、角平分线解决将军饮马类最短路径问题。 3. 注重尺规作图融合：常结合角平分线、垂直平分线的尺规作图进行推理或计算。 4. 渗透分类讨论思想：针对等腰三角形顶角/底角不确定及折叠中对应点位置进行分类讨论。 考情解码：根据2026年新教材考情，第五章《图形的轴对称》重点考查轴对称的概念辨析与实际应用，常见题型包括折叠问题、光线反射及台球路径等生活情境。核心考点为垂直平分线与角平分线的性质，等腰三角形的“三线合一”仍是高频切入点。命题注重尺规作图（作对称点、垂直平分线）与几何计算的融合，同时通过等腰三角形顶点、底边不确定情况及折叠中对应点位置渗透分类讨论思想。 知识点一 轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【易错警示】 - 概念区别：轴对称图形是一个图形的自身性质；轴对称是两个图形关于某条直线对称，勿混淆。 - 对称轴：是直线，不是线段或射线；作图时画成虚线。 - 对应点：对称轴垂直平分对应点连线。 即时即练1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】 解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，故A、C、D均不符合题意； B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意． 2．如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【答案】/24度 【分析】本题考查角的和差计算以及用一元一次方程解决几何问题，关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合直角的度数建立方程求解． 【详解】解：设， ∵沿线段对折， ∴； 又∵比大， ∴； ∵四边形是长方形， ∴，即， ∴，解得； 故答案为： 3．如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是_______． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质得到，，，由此可得到的周长． 【详解】解：由于轴对称的性质， ∴，， 的周长为， 故答案为：． 知识点二 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【易错警示】 - 等边对等角：前提是同一个三角形中，边相等则对角相等，勿颠倒因果。 - 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合，必指明“底边”，腰上一般不成立。 - 分类讨论：顶角或底角不确定时，需分情况讨论。 即时即练1．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 知识点三 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【易错警示】 - 三边相等、三角相等（均为60°），具有等腰三角形所有性质。 - “三线合一”：每条边上的中线、高及对角平分线都重合，勿认为只有一条。 - 混淆：等边三角形是特殊的等腰三角形，但反之不成立；判定时勿只用“一个角60°”，缺边条件。 即时即练1．如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 2．如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)30° (2)4 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键； （1）根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据即可得出的度数， （2）证明△是等边三角形得，再根据含有角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）解：△是等边三角形， ， ， ， ， △是直角三角形， 在中，， （2）解：，， △是等边三角形， ， 在中，， ． 知识点四 线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【易错警示】 - 性质：中垂线上的点到线段两端距离相等，勿反用（距离相等点在中垂线上是判定）。 - 作图：需作中点且垂直，二者缺一不可；对称轴是直线，勿画成线段。 - 三角形：三边中垂线交于外心，勿与中线、角平分线混淆。 即时即练如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 【答案】8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将的周长转化为的长度．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再将的周长替换为，而的长度等于的长度，代入已知的数值即可求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； ∴的周长， ∵， ∴的周长为； 故答案为：8． 知识点五 角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【易错警示】 - 性质：角平分线上的点到角两边距离相等，勿忘“距离”是垂直的线段长度，非斜线段。 - 判定：内部到两边距离相等的点在角平分线上，注意“内部”条件。 - 交点：三角形三角平分线交于内心，勿说成中线交点。 即时即练1.如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 2.如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，关键是由三角形面积的不同表示方法得到等积式；过点作，则，又根据，即可求得的长． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即：， 故答案为：． 题型1 轴对称图形的识别 例1．下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 例2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形判断即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 【技巧总结】 找一条直线，使图形沿直线对折后两侧完全重合，可逐点验证；常见图形如线段、角、等腰三角形、圆，注意平行四边形不是轴对称，可通过观察或折纸判断。 【变式训练1-1】“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：第3个中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 第1、2、4个中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【变式训练1-2】戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 例3．如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． 例4．如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 【技巧总结】 成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。 【变式训练2-1】如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ，， A，B，C正确，而D错误， 故选：D． 【变式训练2-2】如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等的性质、线段垂直平分线的判定与性质，连接交于，根据轴对称的性质得出，，，即可判断A，从而得出垂直平分，即可判断B、C，最后再根据全等三角形的性质即可判断D，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于，   ，和关于直线对称， ，，，故A正确，不符合题意； 垂直平分，故B正确，不符合题意； 点为直线上一点， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 题型3 画轴对称图形 例5．如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题)、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质 是正确解答此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，，此时点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求； （2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。 例6．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在格点（正方形的交点）上，且和关于某条直线成轴对称．请在图中画出个不同的． 【答案】画图见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了作轴对称图形，根据轴对称图形的性质作图即可，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求（答案不唯一）． 【技巧总结】 成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。 【变式训练3-1】如图，在正方形网格中，顶点都在格点上，每个小正方形网格的边长代表1个单位长度． (1)在图中画出关于直线m的对称图形； (2)如图，点P在直线m上，连接和，则，请你说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． （1）根据轴对称的概念画出图形即可； （2）过点A、C作直线m的垂线、，垂足分别为D、E，证明即可解答． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：理由如下：如图，分别过点A、C作直线m的垂线、，垂足分别为D、E． 由图知，，， ∴， ∴． 【变式训练3-2】如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、利用网格求三角形面积、无刻度直尺作图 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求． 题型4 轴对称中的折叠问题 例7．如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在上方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ， ； 当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ； 综上分析可知，此时或． 例8．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 【技巧总结】 折叠即轴对称，折痕是对称轴；对应点连线被折痕垂直平分，对应边角相等，设未知数表示折后线段，利用勾股定理或全等列方程，注意重合点与折痕位置关系。 【变式训练4-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由折叠的性质知，，由平角的定义求出，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴，即； （2）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴． 【变式训练4-2】阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 题型5 利用等腰（等边）三角形性质求解 例9．已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为是解题的关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度，则顶角为度． 根据三角形内角和定理，得，即， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 例10．八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【技巧总结】 等边对等角，三线合一（顶角平分线、底边中线、高线重合）；常作底边高线构造直角三角形，设未知数表示角度或边长，结合外角或内角和列方程，注意分类讨论顶角与底角。 【变式训练5-1】如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 【变式训练5-2】如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 题型6 利用等腰（等边）三角形性质证明 例11．如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 例12．如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【技巧总结】 先由边等推角等或由角等推边等，运用三线合一转移条件，常作辅助线（底边中线或高线）构造全等三角形，通过等量代换与平行线性质，按逻辑顺序严密推导结论。 【变式训练6-1】如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴． 【变式训练6-2】如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 题型7 根据线段垂直平分线的性质求解与证明 例13．如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 例14．如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，E为垂足．若，四边形的周长为14，则的长度为______． 【答案】5 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得，，再结合题意求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形的周长为14， ∴， 故答案为：5． 【技巧总结】 垂直平分线上点，到线段两端距离相等；由此得等腰三角形或等边，常连接对称点构造全等，利用直角与等边转化条件，设未知数表示线段长，通过勾股定理列方程求解。 【变式训练7-1】在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 【变式训练7-2】如图，在中，，过点C作于点D，在的延长线上取点E，连接，使． (1)求证：； (2)探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，在上截取，连接，证明，再证明，结合全等三角形的性质可得结论. 【详解】（1）证明： （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接． 由（1）得， 在和中 . 题型8 根据角平分线的性质定理求解与证明 例15．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 例16．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由作图可知平分，进而由角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【技巧总结】 角平分线上点到角两边距离相等；常作垂线构造等距条件，结合面积法或全等三角形，转移线段长，设未知数表示距离，利用勾股定理或等积关系列方程求解。 【变式训练8-1】如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，过作于点，由角平分线性质可得，然后代入即可求出的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练8-2】如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 题型9 利用轴对称求解将军饮马问题 例17．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 例18． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【技巧总结】 作定点关于直线对称点，连接对称点与另一动点，与直线交点即最短路径点；利用两点间线段最短及轴对称等距转化，求线段和最小值，注意动点在线上变化。 【变式训练9-1】如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)6，理由见解析 (2)10 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 【变式训练9-2】综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 1．2026年11月9日是第35个全国消防日．下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 3．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 4．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点C、D的对应点分别是，，交于，再将四边形沿折叠，点的对应点分别是、，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠得，则，，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：由折叠得， ， ∴，， ， ， ． 5．已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【答案】 80 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解. 【详解】解： 等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为. 6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 7．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 8．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】由折叠可得，，，由，得，则，当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小，根据的面积为，，求出，即可求解． 【详解】解：、分别沿、向外翻折，得到，， ，，， ， ， ， 当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小， 的面积为，， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 9．如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 10．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)8 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： （3）解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 11．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 12．如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 14．如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04图形的轴对称 了内容号航 01 复习目标一明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构一系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破→汇总常考题型， 举一反三，方法提炼 题型1 轴对称图形的识别 题型2根据成轴椒对称图形的特征进行判断 题型3画轴对称图形 题型4 轴蚁对称中的折叠问题 题型5 利用等腰（等边）三角形性质求解 题型6 利用等腰（等边）三角形性质证明 题型7 根据线段垂直平分线的性质求解与证明 题型8根据角平分线的性质定理求解与证明 题型9利用轴对称求解将军饮马问题 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 复习目标 常考考点 命题风向 1. 强化轴对称识别与实际应用：从慨念辨析转向生活情境（如 1. 轴对称图形识别及性质（对应点 连线被对称轴垂直平分)。 台球、光线反射、折叠问题)中的对称分析。 2.垂直平分线与角平分线性质。 2.聚焦“三线合一”与最值问题：重点考查等腰三角形性质及 3等腰三角形："三线合。、等 利用垂直平分线、角平分线解决将军饮马类最短路径问题。 3.注重尺规作图融合：常结合角平分线、垂直平分线的尺规作 边对等角。 4最短路径问题（将军饮马模型）。 图进行推理或计算。 4.渗透分类讨论思想：针对等腰三角形顶角底角不确定及折 5.折叠问题中的角度或线段计算。 叠中对应点位置进行分类讨论。 考情解码：根据2026年新教材考情，第五章《图形的轴对称》重点考查轴对称的概念辨析与实际应 用，常见题型包括折叠问题、光线反射及台球路径等生活情境。核心考点为垂直平分线与角平分线的 性质，等腰三角形的“三线合一”仍是高频切入点。命题注重尺规作图（作对称点、垂直平分线）与 几何计算的融合，同时通过等腰三角形顶点、底边不确定情况及折叠中对应点位置渗透分类讨论思想。 02 知识重构 脉|络1重|构 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定义 折色法 轴对称漫形 图形识别方法 一、轴对称现象 实例 观卓法 定义 找对称抽 两个图形成轴对称 对你轴 找对应点 性质应用思路 八、解题方法与口诀 对应点连线 被对称轴垂直平分 利用性质转化 二、探索轴对称的性质 对应线设相等 沿轴折福垂合 轴对称图形 对应角相等 左线垂直平分，线段角相等 轴对称性质 记忆口快 轴对称性 轴对称，三线合 等三角形 线段 垂直平分线性庆 混清轴对粉图形与成轴对称 三、简单的轴对称图形 穷 轴对称性 忽视对称轴为直线 角平分线性质 应用性质找错对应元素 七、高频易错点 图形的轴对称 铀对称性 最短路径建模错误 等腰三角形 三线合性质 尺规作图痕迹不全 剪纸 轴对称图形只 图案设计 四、利用轴对称进行设计 标志 轴对称性质应用 将军欢马模型 最短路径问 垂直平分线与角平分线性质 六、高频考点 基本原理 等腰三角形袖对称性 作线段垂直平分线 最短路径问题求解 五、尺规作图 作角平分线 已知图形与对称轴 作轴对称图形 作对称点 重I点I梳I理 知识点一轴对称图形和轴对称 (1)轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条 直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 (2)轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直 线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. (3)轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形， 而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形 关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形， (4)轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对 应角相等 【易错警示】 概念区别：轴对称图形是一个图形的自身性质；轴邮对称是两个图形关于某条直线对称，勿混淆。 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·对称轴：是直线， 不是线段或射线；作图时画成虚线。 对应点：对称轴垂直平分对应点连线， 即时即练1 下列图形中，是轴对称图形的是( 米※专·治 2.如图，在长方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大18°，则 ∠EBF的度数是 3.如图，∠AOB内一点P,PP分别是点P关于OA、OB的对称点，PP交OA于M,交OB于N,若 PP=10cm,则△PMN的周长是 知识点二等腰三角形的性质 (1)等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角〉 (2)等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相 重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 若∠I=∠2，则BD=CD,AD⊥BC; 符号：在△ABC中，AB=AC, 若BD=CD,则∠I=∠2，AD⊥BC; 若AD⊥BC,则∠I=∠2，BD=CD 【易错警示】 等边对等角：前提是同一个三角形中，边相等则对角相等， 勿颠倒因果。 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合，必指明“底边”，腰上般不成立。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分类讨论：顶角或底角不确定时，需分情况讨论。 即时即练1.浏水月夜民宿用等腰ABC形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使AB=AC,并用 AD连接和加固支架.己知D是BC边的中点，且∠BAC=70°，则∠BAD= D 2.如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且CD=CE,若∠ADE=20°，则∠C的度数 为 D 知识点三等边三角形的性质 (1)等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°： (3)等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 【易错警示】 三边相等、三角相等（均为60），具有等腰三角形所有性质。 ·“三线合一”：每条边上的中线、高及对角平分线都重合，勿认为只有一条。 混淆：等边三角形是特殊的等腰三角形，但反之不成立；判定时物只用“一个角60”，缺边条件。 即时即练1.如图，直线m∥n,等边ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D,若∠a=18°， 则∠B的度数为() 7 1n A.72° B.78° C.86° D.82 2.如图，在等边ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长 线于点F. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求∠F的度数； (2)若CD=2,求DF的长. 知识点四线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线： 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作己知线段的垂直平分线 【易错警示】 性质：中垂线上的点到线段两端距离相等，勿反用（距离相等点在中垂线上是判定）。 作图：需作中点且垂直，二者缺一不可：对称轴是直线，勿画成线段。 三角形：三边中垂线交于外心，勿与中线、角平分线混淆。 即时即练如图，在ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,若BC=8cm,则△AEF的 周长为 cm. 知迟点五角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作己知角的角平分线： 【易错警示】 ·性质：角平分线上的点到角两边距离相等，勿忘“距离”是垂直的线段长度，非斜线段。 ·判定：内部到两边距离相等的点在角平分线上，注意“内部”条件。 交点：三角形三角平分线交于内心，勿说成中线交点。 即时即练1.如图，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,若AB=8cm, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC=6cm,S4Bc=14cm2,则DE的长为cm. E B D 2.如图，OP平分∠AOB,PF⊥OA于点F,点D在OB上，DH⊥OP于点H,若OD=4,OP=8, PF=3.5,则DH的长为 F D 03 题型突破 题型1 轴对称图形的识别 例1.下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是() 0床T 例2.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是() 时和。岁丰 【技巧总结】 找一条直线，使图形沿直线对折后两侧完全重合，可逐点验证；常见图形如线段、角、等腰三角形、圆， 注意平行四边形不是轴对称，可通过观察或折纸判断。 【变式训练1-1】“长安回望绣成堆，山顶千门次第开."长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古 城.以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有() 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式训练1-2】戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业.下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称 的是() 的 A. D 题型2根据成轴对称图形的特征进行判断 例3.如图是一个风筝设计图，其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD,AB>AD),AC与 BD相交于点O,BD⊥AC,且A0=OC,则下列推断不正确的是() A.AD=CD B.△ABD≌△CBD C.∠ABD=LCBD D.ABC是等边三角形 例4.如图，△AOD关于直线I进行轴对称变换后得到△B0C,下列结论中不正确的是() A A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.I垂直平分AB,CD D.OA=OC,OB=OD 【技巧总结】 成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。 【变式训练2-1】如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上.则下列结论错误的是() A.∠ANM=∠BNM B.∠MAP=∠MBP C.AM=BM D.AP=BN 【变式训练2-2】如图，ABC和aA'B'C'关于直线I对称，点P为直线1上一点，则下列说法中错误的是() A.△ABC≌△A'B'C B.I垂直平分CC' C.PC=PC' D.∠BAC=∠CAC 题型3画轴对称图形 例5.如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形.ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题： (用直尺画图). (1)画出ABC关于直线DE对称的△AB,C; (2)在直线DE上画出点P,使PB+PC最小. 例6.如图，在3×3的正方形网格中，ABC和△DEF的顶点都在格点（正方形的交点）上，且ABC和 △DEF关于某条直线成轴对称.请在图中画出4个不同的△DEF. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B B 图① 图② 图③ 图④ 【技巧总结】 成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系， 找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。 【变式训练3-1】如图，ABC在正方形网格中，顶点都在格点上，每个小正方形网格的边长代表1个单位 长度。 (1)在图中画出ABC关于直线m的对称图形△AB,C; (2)如图，点P在直线m上，连接AP和CP,则AP=CP,请你说明理由 【变式训练3-2】如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC.请仅用无刻度的直尺，完 成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）· M (1)作ABC关于直线MN对称的△A,B,C: (2)求ABC的面积； (3)在直线MN上找一点P,使得PA+PB最短. 题型4轴对称中的折叠问题 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，M,N分别是边AC,AB上的动点，沿着直线MN将 △AMN对折，点A的对称点是点.若A'N∥BC,求∠CMN的度数 B 例8.美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏.如图，将长方形卡纸ABCD(AB<AD)沿折痕BD折 叠，点C落在了点C处，BC'交AD于点N. B (1)如果∠CBD=20°，那么∠ABC'=_°： (2)点E为线段AN上一点，将三角形ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点A处，如果∠CBD=a,请 用a的代数式表示∠CBE; (3)将三角形ABN沿BN折叠，点A落在点A处，当∠DBA2=9°时，求出∠CBD的度数. 【技巧总结】 折叠即轴对称，折痕是对称轴；对应点连线被折痕垂直平分，对应边角相等，设未知数表示折后线段，利 用勾股定理或全等列方程，注意重合点与折痕位置关系。 【变式训练4-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕， D 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠CBD的度数； (2)如图2，若LA'BE'=46°，求∠CBD的度数； (3)如图3，若∠A'BE'=a,求∠CBD的度数（用含O的式子表示）. 【变式训练4-2】阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 IA 折叠 OC为折狼 OA与OB重合 A(B) 图1 E 图2 图3 图4 (1)如图1，若∠A0B=56°，则LB0C=_°； (②)折叠长方形纸片，BC,BD均为折痕，折叠后，点A落在点A,点E落在点E. ①如图2，当点E在BA'上时，求∠CBD的度数； ②如图3，若∠A'BE'=42°，求∠CBD的度数； ③如图4，若∠A'CB=30°，∠A'BE'=n°，则DBE的度数为_°（用含n的式子表示）· 题型5利用等腰（等边）三角形性质求解 例9.己知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，则它的顶角的度数为 例10.八年级(1)班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，AB=AC,为了方便灌溉，从顶点A修了一 条与底边BC垂直的水渠AD,己知BD=20m,则CD= m. B D 【技巧总结】 等边对等角，三线合一（顶角平分线、底边中线、高线重合）；常作底边高线构造直角三角形，设未知数 表示角度或边长，结合外角或内角和列方程，注意分类讨论顶角与底角。 【变式训练5-1】如图，等腰ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、 AC于点E、F.若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式训练5-2】如图，在ABC中，AB=AC,∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B,C重合）， 当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为 D 题型6利用等腰（等边）三角形性质证明 例11.如图，在ABC中，AB=AC,BD=CD,点P为射线AD上一点，连接PB,PC. D (1)求证：AP⊥BC; (2)求证：PB=PC. 例I2.如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF,AB=DE,∠BAC=∠EDF. B A D C (1I)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠A=40°，AB=AC,求∠F的度数. 【技巧总结】 先由边等推角等或由角等推边等，运用三线合一转移条件，常作辅助线（底边中线或高线）构造全等三角 形，通过等量代换与平行线性质，按逻辑顺序严密推导结论。 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式训练6-1】如图，在ABC中，AB=AC=AD,BE=CF,点E、F在边BC上. D (I)求证：ABE≌ACF; (2)若∠BAE=30°，求∠D的度数. 【变式训练6-2】如图，在ABC中，∠A=90°，P为边BC上的一点，D为BP的中点，E为CP的中点， 过点D作DFBP交AB于点F,过点E作EG⊥CP交AC于点G. B E (1)求∠FPG的度数. (2)如图，连接FG,若FG∥BC,求证：AG=PG, 题型7根据线段垂直平分线的性质求解与证明 例13.如图，在ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC、AB于点E、F,过点A作AD⊥BC于 点D,且D为线段CE的中点，若ABC的周长为26，AF=5,则BD的长为 B ED C 例14.如图是一风筝的骨架图，AC是BD的垂直平分线，E为垂足.若AB=2,四边形ABCD的周长为14 ,则CD的长度为 【技巧总结】 垂直平分线上点，到线段两端距离相等；由此得等腰三角形或等边，常连接对称点构造全等，利用直角与 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等边转化条件，设未知数表示线段长，通过勾股定理列方程求解。 【变式训练7-1】在ABC中，DE垂直平分AC,连接CE,CE平分∠ACB. E (1)若∠CEB=46°，求∠B的度数. (2)若BC=4,ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？ 【变式训练7-2】如图，在ABC中，AB=AC,过点C作CD⊥AB于点D,在CA的延长线上取点E,连 接BE,使BE=BC. E (1)求证：∠E=∠ABC; (2)探究BD、AD、AE之间的数量关系，并说明理由. 题型8根据角平分线的性质定理求解与证明 例15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S4BD=15,则CD的 长为 B D 例16.如图，在ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分 别交AB,AC于点E、F:②分别以点E、F为圆心，大于F的长为半径画孤，两弧相交于点G:@ 作射线AG交BC边于点D,若CD=5,AB=14,则△ABD的面积是 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G E B 【技巧总结】 角平分线上点到角两边距离相等；常作垂线构造等距条件，结合面积法或全等三角形，转移线段长，设未 知数表示距离，利用勾股定理或等积关系列方程求解。 【变式训练8-1】如图，OC是∠AOB的平分线，过OA上一点D,作DE⊥OB,分别交OB,OC于E,F, 若OD=6,EF=2,则△DOF的面积为 D E B 【变式训练8-2】如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN,CF⊥AM,垂足分别为E,F,过点 C作CD∥AN,交AM于点D,在射线EN上取一点B,使∠CBE=2∠DCA. M D B (1)求证：CF=CE; (2)求证：DF=BE. 题型9利用轴对称求解将军软马问题 例17.如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点M,N分别是线段BD、BC上的动点，AB> BD且S△4Bc=10,AB=5,则CM+MN的最小值为· D 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例18.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顶《古从军行》里的一句诗，由此却引申出 一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题 A A· ●B B 图1 图2 (I)如图1，若点A和点B分别在直线1的两侧，请作出示意图，在直线1上找到点C,使得CA+CB有最小 值，并说明作图依据：-； (2)如图2，若点A和点B在直线1的同侧，请在直线1上作出点P,使得PA+PB有最小值，并说明理由. 【技巧总结】 作定点关于直线对称点，连接对称点与另一动点，与直线交点即最短路径点；利用两点间线段最短及轴对 称等距转化，求线段和最小值，注意动点在线上变化。 【变式训练9-1】如图，直线m是ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=6, AC=4,BC=7. (I)求PA+PB的最小值，并说明理由. (2)求△APC周长的最小值 【变式训练9-2】综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题时抽象出数 学模型：直线1同侧有两个定点A,B,在直线1上存在点C,使得CA+CB的值最小. 小明的作法是：如图2，作点B关于直线1的对称点B,连接AB',则AB'与直线1的交点即为点C,且 CA+CB的最小值为AB的长. B 图1 图2 图3 图4 图5 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C,连接AC',BC',B'C', 证明AC+BC<AC'+BC'即可. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请完成图3中小明的证明： (2)如图4，在ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若AB=6,AC=5, BC=8,则△APC周长的最小值为 ； (3)如图5，己知M0N=35°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长 取最小值时，∠APB的大小为 度 04 综合通关 1.2026年11月9日是第35个全国消防日.下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是() 顺 消防报警按钮 地上消防栓 发声报警器 推车式灭火器 2.如图，ABC与△AB'C'关于直线1对称，∠B=35°，∠C'=50°，则∠A的大小为() C50° 3.5o B'B A.85° B.90° C.95° D.105 3.如图，已知∠A0B,以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA,OB于点C,D;以点O为圆 心，大于OC长为半径画弧，分别交边OA,OB于点E,F;连接CF,DE,交点为G,作射线OG,则下 列结论一定正确的是() F B A.EC=EG B.CF⊥OA C.OG=EG D.∠A0G=∠B0G 4.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E,交BC于F),点C、D的对应点分别是 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C,D,ED交BC于G,再将四边形C,D,GF沿FG折叠，点CD的对应点分别是C2、D2,GD2交EF 于H,若∠FEG=32°，则∠EFC2=() G D A.84° B.85 C.64° D.90° 5.己知等腰三角形的底角等于50°，则顶角等于_°. 6.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则ABC的周长为 7.如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直，点P为线段 BC上一动点，连接PE,若AD=8,则PE的最小值为 B D 8.如图，在锐角ABC中，∠BAC=45°，BC=5,ABC的面积为8，P为BC上一动点，将△ABP、 △ACP分别沿AB、AC向外翻折，得到△ABD,△ACE,连接DE,则ADE面积的最小值为 A 9.如图，ABC与aDEF关于直线I对称，其中LB=90°，AB=4cm,DF=5cm,BC=3cm· 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求∠E的度数. (2)求ABC的周长. 10.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，ABC的三个顶点都在其格点上. B (I)ABC的面积为 (2)画出ABC关于直线1的轴对称图形△A,B,C: (3)在直线1上求作一点P,使PB+PA值最小.（保留作图痕迹，不写作法） 11.如图，已知：∠A=∠E,AB=EB,点D在AC边上，且∠ABE=∠CBD. E (1)求证：△EBD≌△ABC; (2)如果O为CD中点，LBDE=65°，求L0BD的度数. 12.如图，己知四边形ABDC的面积为16，AD平分∠BAC,AB+AC=10. D 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求点D到AC的距离DE的长： (2)若∠C+∠B=180°，求证：BD=DC. 13.如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线OA对称，点P关于直线OB的对称点是点D,连接 CD交OA于点M,交OB于点N. (1)若∠A0B=a,求∠COD的度数： (2)若CD=6,aPMN的周长为 14.如图，在ABC中，∠A=90°，P为边BC上的一点，D为BP的中点，E为CP的中点，过点D作 DFBP交AB于点F,过点E作EG⊥CP交AC于点G, B E (1)求∠FPG的度数. (2)如图，连接FG,若FG∥BC,求证：AG=PG. 05 错题留痕 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课