专题03 三角形（暑假复习讲义）新八年级数学新教材北师大版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形 了内容号航 01复习目标一明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构一系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破一汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1判断三边是否能构成三角形 题型2判断是否能使两三角形全等 题型3利用三边关系化简绝对值 题型4根据三角形的中线求解 题型5利用三角形的中线、高线、角平分线求解 题型6利用全等三角形的性质求解 题型7与全等三角形有关的多结论问题 题型8全等三角形的判定与性质综合 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 01 复习目标 常考考点 命题风向 1. 1.三角形内角和定理及直角三角形的 强化全等证明规范：从直观判断转向严谨的演绎推理，重 两锐角互余。 点考查判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS)的准确选取及证明 过程的逻辑层次。 2.三角形三边关系：两边之和大于第 2. 三边。 注重尺规作图融合：新增或强化已知三边、两边及其夹角 3.重要线段：中线、角平分线、高线。 作三角形，常与全等性质综合考查。 4.全等三角形：判定(SSS、SAS、ASA、 3.突出实际情境应用：利用全等三角形测距（如河宽、零件 AAS)与性质应用。 检验)成为应用题热点。 5.全等测距：利用全等解决实际问题。 4.渗透数学思想：涉及分类讨论（等腰三角形边角不确定）、 转化与建模思想。 考情解码：根据2026年新教材考情，第四章《三角形》在夯实基础知识的同时，显著强化了逻辑推 理与作图能力。核心考查点包括三角形内角和定理及三边关系的实际应用，以及按角度或边长对三角 形进行分类。重点聚焦全等三角形的四种判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS)与性质的灵活对应，避 免“边边角”的错误。高频题型为几何证明的说理填空、利用尺规作三角形， 以及结合生活情境（如 测量距离)构造全等解决问题。 02 知识重构 脉|络重|构 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 白 定义与要素 角 顶点 锐角三角形 边边边，角边角 按角分 直角三角形 全等判定口诀 角角边，边角边 七、解题方法与口诀 钝角三角形 三角形分类 按角分三类 不等边三角形 三角形分类口诀 按边分三类 一、认识三角形 按边分 等腰三角形 全等判定条件混清 等边三角形 高线作图忽视纯角三角形 六、高频易错点 两边之和大于第三边 三边关系 三角形分类标准不清 两边之差小于第三边 三边关系的应用 内角和定理 三角形纳角和等于180° 内角和与外角性质 五、高频考点 三角形 中线 三角形的重要线段 角平分线 全等三角形判定与证明 高线 构造全等三角形 四、利用三角形全等测距离 定义 解决实际问题 全等图形 性质 Sss 二、图形的全等 对应顶点 ASA 三、全等三角形的判定 全等三角形 对应边 AAS 对应角 SAS 重I点|梳I理 知识点一三鱼形有送概念 1.三角形有关概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形 (2)直角三角形两个锐角互余。 (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段： 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段； 2.三角形基本元素的定理 ()三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边： (2)三角形的内角和等于180°. 3.三角形的分类 不等边三角形 [锐角三角形 (1)按边分类可以分为 底边和腰不相等的等腰三角形； (2)按角分类可以分为 直角三角形 等腰三角形 等边三角形 钝角三角形 【易错警示】 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·三边关系：任意两边之和大于第三边，之差小于第三边，判断能否构成三角形时物只验一组。 ·高、中线、角平分线：都是线段；钝角三角形的高可能在外部，勿遗漏。 稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有。 即时即练1.一个三角形的三边长分别为2,5，x. (1)求x的取值范围； (2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长. 2.(1)在ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是AC边上的中线.若LBAD=40°，则 ∠BAC= ;若AC=6Cm,则AE= cm. (2)在ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30Cm,则 AD=」 cm 知迟点二全等三角形的性质 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形，它们就是全等三角形： 相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角： 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 3.画三角形(1)两角及其夹边；(2)两边及夹角；(3)三边；(4)两角及一角对边. 【易错警示】 ·对应：全等测对应边相等、对应角相等，需找准对应顶点，勿错配。 ~用途：性质用于“已知全等推边角相等”，不可用性质直接证明全等。 注意：周长、面积相等是推论，但面积相等的三角形不一定全等。 即时即练如图，△ABC≌△DEC,BC=2,CD=3,点B,C,D在同一直线上，点E在AC上，延长DE交 AB于点F. B (1)求AE的长； (2)求∠BFD的度数. 知识点三全等三角形的判定 判定方法 简记 条件 三边对应相等 SSS 三条边分别相等 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两边及其夹角对应相等 SAS 两边及夹角分别相等 两角及其夹边对应相等 ASA 两角及夹边分别相等 两角及其中一角的对边对应相等 AAS 两角及一对边分别相等 注意：AAA(三角对应相等)只能判定相似，不能判定全等；SS4不能判定全等。 【易错警示】 -SS4(或ASS)不能判定全等。 -A44不能判定全等，只能判定相似。 ·对应：判定条件中的边角必须是对应边和对应角，书写顺序要一致。 公共边、公共角、对顶角是隐含条件，勿遗漏。 即时即练如图，在△ADE和△BCF中，A,C,D,B四点在同一直线上，AC=BD,AE=BF, DE=CF. G D (1)求证：∠E=∠F; (2)若∠F=38°，∠A=104°，求∠EGC的度数. 知识点四利用三角形全等测距离 原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河 宽等)。 常见方案： 测量情境 构造全等方法 池塘宽度 SAS(构造对顶角相等) 河宽 ASA(构造同位角相等) 底部不可达的高度 AAS或ASA 【易错警示】 构造全等：构造时要确保对应边、对应角相等，常用S4S或AS4。 误差：忽略测量误差或江具精度，结果会不准确。 ·条件：假设不可测点要能通过全等转化为可测线段，注意不能直接用SSA。 即时即练王强同学用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90),点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合. (1I)求证：△ADC≌△CEB; (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形ABED的面积. 03 题型突破 题型1判断三边是否能构成三角形 例1.下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是() A.1,2,4 B.8,6,4 C.15,5,6 D.1,3,4 例2.下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是() 4.1cm,2cm,3cm B.2cm,3cm,4cm C.3cm,4cm,5cm D.5cm,6cm,10cm 【技巧总结】 只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成， 排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。 【变式训练1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是() 4.4cm,4cm,8cm B.8cm,16cm,7cm C.I1cm,5cm,5cm D.13cm,10cm,20cm 【变式训练1-2】以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是() A.4cm,5cm,6cm B.7cm,8cm,16cm C.4cm,4cm,8cm D.3cm,5cm,10cm 题型2判断是否能使两三角形全等 例3.根据下列已知条件，能唯一画出ABC的是() A.AB=5,BC=4,CA=10 B.∠A=45°，∠B=70°，AB=6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.AB=4,BC=3,∠A=30° D.∠C=90°，AB=6 例4.下列选项所给条件不能画出唯一ABC的是() A.LA=50°，∠B=30,AB=2 B.∠A=50°，∠B=30°，BC=9 C.∠A=30°，AB=8,BC=7 D.AC=5,AB=6,BC=9 【技巧总结】 检查已知条件是否符合SSS、SAS、ASA、AAS,注意边角对应位置，SAS中角必须是夹角，SSA不一定全等， 可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。 【变式训练2-1】如图，点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF,∠ACB=∠F.只需添加一个条件 即可证明△ABC≌△DEF,这个条件可以是·（写出一个即可） D B 【变式训练2-2】如图，给出下列四组条件： ①AB=DE,∠C=∠F,∠A=∠D；②AB=DE,LB=LE,BC=EF；③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F；④ AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,其中能使△ABC≌△DEF的条件是 题型3利用三边关系化简绝对值 例5.已知a,b,c为三角形的三边，则式子a+b-c-a-b-c=() A.2a B.2b C.0 D.2a-2c 例6.己知ABC的三边分别为a、b、c,化简：a+b-c--a+b+c-c-b-a= 【技巧总结】 1.判正负：根据三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负。 2.去绝对：正数直接去，负数变相反数。 3.凑两边：将式子重组为(a+b-c)、(a-b-c)等形式，利用三边关系确定符号，再合并化简。 【变式训练3-1】若a,b,c分别为ABC三边，化简：a-b-c+a+b-c+c-a+b. 【变式训练3-2】a,b,c为ABC的三边，化简：a+b+c-a-b-c-la+b-c. 题型4根据三角形的中线求解 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例7.在ABC中，AB=AC,ABC的中线BD将ABC的周长分为12和15，则ABC的边BC的长为 例8.如图，AR为ABC的中线，AP为△APC的中线，AP为△APC的中线，，按此规律，APn为 △APnC的中线： B P PPC (1)若AB=12cm,AC=16cm,则△ACP的周长与△ABP的周长相差cm, (2)若ABC的面积为64，则△APC的面积为 【技巧总结】 中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三 边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。 【变式训练4-1】如图，ABC的面积是12，点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点，则 △AFG的面积是 【变式训练4-2】如图，ABC的面积为7，分别倍长（延长一倍）AB、BC、CA得到△AB,C,再分别倍 长AB,BC,CA得到△A,B,C2,…，按此规律，倍长2026次后得到的△A26B2026C2026的面积为 题型5利用三角形的中线、高线、角平分线求解 例9.如图，AD为ABC的中线，BE为△ABD的角平分线. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠ABE=16°，求∠ABD的度数. (2)若ABC的面积为60，BD=5,则点A到BC边的距离为多少？ 例IO.如图，在ABC中，AD是BC上的中线，点E是AD的中点，连接CE,EF⊥BC. A FD (1)若∠DEF=20°，∠BAD=37°，求∠B的度数； (2)若ABC的面积为24，CD=4,求线段EF的长度. 【技巧总结】 中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助线 构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。 【变式训练5-1】如图，在ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A,B重合），CD与BE交 于点O. (1)若CD是中线，BC=7,AC=5,则△BCD与△ACD的周长差为 (2)若∠ABC=64°，CD是ABC的高，求∠B0C的度数. 【变式训练5-2】数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题.有 三名同学的作品如下： B D D 图1 图2 图3 (1)小香：如图1，已知ABC的高AD=abcm,面积为(a2b2+2ab)cm2,求BC的长度. (2小涵：如图2，己知D是BC中点，AB-AC=2cm,C△MBD=16cm，,求C4cD. (3)小宇：如图3，已知AD平分∠BAC,∠B=40°，∠C=60°，求∠DAC. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型6利用全等三角形的性质求解 例11.如图，已知△ABC≌△EBD,若AB=5,BD=8,则CE的长为 C E B D 例12.如图，CA⊥AB,垂足为A,AB=12厘米，AC=6厘米，射线BM⊥AB,垂足为B,一动点P从 点A出发以3厘米/秒的速度沿射线AN运动，同时动点D从点B出发沿射线BM运动.设点D运动的速度 为v厘米/秒，当v= 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与ABC全等， M D B N 【技巧总结】 全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线， 通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。 【变式训练6-1】如图，△ABC≌aDCE,∠B=40°，∠E=65°，点B、C、E在同一条直线上，则∠ACD的 度数为」 【变式训练6-2】如图，ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,直线1经过点C且 与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径 向终点A运动.点P和点Q的速度分别为lcm/s和2cm/s,两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B 时计时结束.设运动时间为t秒.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥1于点F,当t= 为何值时，△PEC与QFC全等. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型7与全等三角形有关的多结论问题 例13.如图，Rt△ABC中，LACB=90°，CD是AB边的中线，AE平分∠CAB,CF⊥AB,AE与CF相 交于点G.下列结论一定成立的是() ①△ACD与△BCD的面积相等；②∠ACF=∠B;③△ACE≌△CFD;④LCEG=LCGE A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 例14.如图，在ABC中，AD是BC边上的高，LBAF=LCAG=90°，AB=AF,AC=AG.连接FG,交 DA的延长线于点E,连接BG,CF.则下列结论：①BG=CF;②BG⊥CF;③EF=EG;④BC=2AE, 其中正确的有(） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【技巧总结】 先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难，利 用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。 【变式训练7-1】如图，AD是ABC的中线，E,F分别是AD,AD延长线上的点，连接BF,CE,且 CE∥BF,有下列说法：①DE=DF;②△ABD和△ACD面积相等；③CE=BF;④aBDF≌aCDE;⑤ ∠CEF=∠F其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式训练7-2】如图1，已知AB=AC,D为∠BAC的角平分线上一点，连接BD、CD;如图2，己知 AB=AC,D、E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE;如图3，已知AB=AC,D、E、 F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF;.,依此类推，第n个图形中全等三 角形的对数是() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 A.2n-1 B.3(n+1 C.n-) D.n(n+1) 2 2 题型8全等三角形的判定与性质综合 例15.如图，BE,CF分别是ABC的边AC,AB上的高，且BP=CA,AB=QC.求证： B (1)△ABP≌△QCA: (2)AP⊥AQ 例16.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为对角线BD上一点，∠A+∠CED=180°，且AD=BE. E (1)求证：△ABD≌△ECB (2)若BC=15,DE=9,求AD的长. 【技巧总结】 先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关 键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。 【变式训练8-1】如图，在ABC中，D是BC的中点，连接AD,E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交 ED的延长线于点F, B 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)若AB=AC,求证：AD⊥BC. (2)若EF=12,求DF的长。 【变式训练8-2】【问题初探】 (1)如图①，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线1作垂线，垂足分别为D, E,则DE,BD,CE的数量关系是 【变式探究】 (2)如图②， 在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E,己知BD=I0,CE=5,求DE的长； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AF是边BC上的高.延长FA 交DE于点G,设△ADG的面积为S,△AEG的面积为S2,猜想S,,S2的大小关系，并说明理由 图① 图② 图③ 04 综合通关 1.在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是() A.3,6,8 B.2,3,5 C.1,2,1 D.8,4,3 2.给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是() A.AB=4cm,∠A=60°，∠B=30°B.AB=4cm,BC=3cm,∠A=30 C.AB=4cm,BC=6cm B=30 D.AB =4cm BC=5cm,AC=6cm 3.如图，把等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE放在一起，A、C、D三点在一条直线上，其中 LACB=∠DCE=90°，点E在CB上，连接AE交BD于点F.若AE=18,AF=21.1,则BDE的面积为() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.27.9 B.28.7 C.26.9 D.27.4 4.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰ABC的周长为10，其中 一条边长是3，则它的优美比”是() A B.9 c.9 46 D. 3或 46 5.己知三角形的三边长分别是5,7，x,且x为整数，请写出一个满足条件的x的值： 6.图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段AB,其像 可视为线段CD,光线AC与光线BD交于小孔点O.已知点O到像CD的距离OE与点O到蜡烛火焰AB的 距离OF相等，且点E,O,F三点共线.像的高度CD为2cm,则蜡烛火焰AB的高度为 cm. 像 蜡烛 图1 图2 7.如图，ABC中，AB=AC=4,P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若S△ABC=3 ,则PE+PF= 8.如图，AB=10cm,BC=16cm,∠B=∠C，,如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动， 同时，点Q从C点出发以xcm/s的速度沿射线CD运动，经过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与以 P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是 9.己知：如图，∠ABD=∠CBE,AB=BD,BC=BE,若AD=2,DC=3,BC=4. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (1I)证明：△ABC马DBE (2)求△DFC与△BFE的周长的和. IO.如图，CD是ABC的角平分线，E是CD的中点，过点E作EF⊥AB于点F,连接BE. (1)若∠A=36°，∠ABC=66°，求∠DEF的度数： (2)若BD=8,EF=6,求△BCE的面积. 11.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明， 人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的“风筝图案中，风筝的一角 (∠E)缺失，为修补该风筝，现测得：LBAF=∠DAC,∠B=∠D,AB=AD,AC=50Cm. B G H E (1)求修补完风筝后AE的长度， (2)若△CHG用纸面积为75cm2,求△EHF的用纸面积. 12.△ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC,BE=BD,∠DBE=LABC=90°)的 三角板， D 图(1) 图(2) 【问题初探】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与CE的 数量关系，并说明理由. 13.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. E B B4 E D 图(1) 图(2) (I)如图1，AD是ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E,使 DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下来，在△ABE中利用三角形的 三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： (2)如图2，AB=AE,AC=AF,LBAE=LCAF=90°，点D为BC的中点，连接AD,求证：EF=2AD. 14.在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上方一点，且∠ADB=90°. B 图1 图2 (1)如图1，过点C作CE⊥AD, ①求证：△ACE≌△ABD; ②若BD=9,CE=20，,求DE的长. (2)如图2，延长AD交BC于点F,若BD恰好平分∠ABC,且DF=8,请求出△ADC的面积. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 05 错题留痕 专题03 三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 判断三边是否能构成三角形 题型2 判断是否能使两三角形全等 题型3 利用三边关系化简绝对值 题型4 根据三角形的中线求解 题型5 利用三角形的中线、高线、角平分线求解 题型6 利用全等三角形的性质求解 题型7 与全等三角形有关的多结论问题 题型8 全等三角形的判定与性质综合 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 三角形内角和定理及直角三角形的两锐角互余。 2. 三角形三边关系：两边之和大于第三边。 3. 重要线段：中线、角平分线、高线。 4. 全等三角形：判定（SSS、SAS、ASA、AAS）与性质应用。 5. 全等测距：利用全等解决实际问题。 1. 强化全等证明规范：从直观判断转向严谨的演绎推理，重点考查判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）的准确选取及证明过程的逻辑层次。 2. 注重尺规作图融合：新增或强化已知三边、两边及其夹角作三角形，常与全等性质综合考查。 3. 突出实际情境应用：利用全等三角形测距（如河宽、零件检验）成为应用题热点。 4. 渗透数学思想：涉及分类讨论（等腰三角形边角不确定）、转化与建模思想。 考情解码：根据2026年新教材考情，第四章《三角形》在夯实基础知识的同时，显著强化了逻辑推理与作图能力。核心考查点包括三角形内角和定理及三边关系的实际应用，以及按角度或边长对三角形进行分类。重点聚焦全等三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）与性质的灵活对应，避免“边边角”的错误。高频题型为几何证明的说理填空、利用尺规作三角形，以及结合生活情境（如测量距离）构造全等解决问题。 知识点一 三角形有关概念 1.三角形有关概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. （2）直角三角形两个锐角互余。 (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段； 2.三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于. 3.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 【易错警示】 - 三边关系：任意两边之和大于第三边，之差小于第三边，判断能否构成三角形时勿只验一组。 - 高、中线、角平分线：都是线段；钝角三角形的高可能在外部，勿遗漏。 - 稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有。 即时即练1．一个三角形的三边长分别为2，5，x． (1)求x的取值范围； (2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)这个三角形的周长为12 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系，可得， ∴； （2）解：当时，由，所以周长为； 当时，由，故不能构成三角形； 综上所述，这个三角形的周长为12． 2．（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 知识点二 全等三角形的性质 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 【易错警示】 - 对应：全等则对应边相等、对应角相等，需找准对应顶点，勿错配。 - 用途：性质用于“已知全等推边角相等”，不可用性质直接证明全等。 - 注意：周长、面积相等是推论，但面积相等的三角形不一定全等。 即时即练如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）∵， ， ； （2）∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 知识点三 全等三角形的判定 判定方法 简记 条件 三边对应相等 SSS 三条边分别相等 两边及其夹角对应相等 SAS 两边及夹角分别相等 两角及其夹边对应相等 ASA 两角及夹边分别相等 两角及其中一角的对边对应相等 AAS 两角及一对边分别相等 注意：AAA（三角对应相等）只能判定相似，不能判定全等；SSA不能判定全等。 【易错警示】 - SSA（或ASS）不能判定全等。 - AAA不能判定全等，只能判定相似。 - 对应：判定条件中的边角必须是对应边和对应角，书写顺序要一致。 - 公共边、公共角、对顶角是隐含条件，勿遗漏。 即时即练如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 知识点四 利用三角形全等测距离 原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河宽等）。 常见方案： 测量情境 构造全等方法 池塘宽度 SAS（构造对顶角相等） 河宽 ASA（构造同位角相等） 底部不可达的高度 AAS或ASA 【易错警示】 - 构造全等：构造时要确保对应边、对应角相等，常用SAS或ASA。 - 误差：忽略测量误差或工具精度，结果会不准确。 - 条件：假设不可测点要能通过全等转化为可测线段，注意不能直接用SSA。 即时即练王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40cm (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积． 题型1 判断三边是否能构成三角形 例1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 例2．下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A中，∵ ，不满足两边之和大于第三边， ∴ 不能组成三角形，符合题意； 选项B中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项C中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意； 选项D中，∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，不符合题意． 【技巧总结】 只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成，排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。 【变式训练1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 【变式训练1-2】以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是利用三边关系进行判断；根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，验证每组线段中较短两边之和是否大于第三边，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A选项中，，满足三边关系，能构成三角形； B选项中，，不满足三边关系，不能构成三角形； C选项中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； D选项中，，不满足三边关系，不能构成三角形； 故选：A． 题型2 判断是否能使两三角形全等 例3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 例4．下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据、、、等判定唯一三角形，同时考虑情况可能不唯一即可解答． 【详解】解：选项A：（两角及夹边，），能唯一画出； 选项B：（两角及一边，），能唯一画出； 选项C：（两边及非夹角，），有两个交点，不能唯一画出； 选项D：（三边，），满足三角形三边关系，能唯一画出； 故选C． 【技巧总结】 检查已知条件是否符合SSS、SAS、ASA、AAS，注意边角对应位置，SAS中角必须是夹角，SSA不一定全等，可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。 【变式训练2-1】如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练2-2】如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是___________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，符合题意； ②∵ ∴，符合题意； ③， ∴，符合题意； ④，满足边边角，无法证得． 故答案为：①②③ 题型3 利用三边关系化简绝对值 例5．已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，， ． 故选：D． 例6．已知的三边分别为a、b、c，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 【技巧总结】 1. 判正负：根据三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负。 2. 去绝对：正数直接去，负数变相反数。 3. 凑两边：将式子重组为(a+b-c)、(a-b-c)等形式，利用三边关系确定符号，再合并化简。 【变式训练3-1】若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 【变式训练3-2】a，b，c为的三边，化简：． 【答案】． 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 题型4 根据三角形的中线求解 例7．在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____． 【答案】7或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据中线的定义得到，设，则，需分类讨论周长被分成的两部分，并利用三角形三边关系验证． 【详解】解：设，则． 中线将周长分为两部分：和． 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系； 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系． 故答案为：或． 例8．如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 【技巧总结】 中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。 【变式训练4-1】如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 【答案】 【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ， ∵是的中点， ， 是的中点， ， 同理可得：，， ∴． 【变式训练4-2】如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【答案】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：如图，连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵， ∴， ∴的面积为． 题型5 利用三角形的中线、高线、角平分线求解 例9．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 例10．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 【技巧总结】 中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助线构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。 【变式训练5-1】如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【变式训练5-2】数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 题型6 利用全等三角形的性质求解 例11．如图，已知，若 ，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 例12．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 【技巧总结】 全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线，通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。 【变式训练6-1】如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点在同一条直线上 ∴的度数为 故答案为：． 【变式训练6-2】如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 题型7 与全等三角形有关的多结论问题 例13．如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 例14．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 【技巧总结】 先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难，利用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。 【变式训练7-1】如图，是的中线，E，F分别是，延长线上的点，连接，，且，有下列说法：①；②和面积相等；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． 根据平行线的性质得，可判断⑤正确；然后利用“角角边”证明和全等，可判断④正确；根据全等三角形对应边相等可得，，可判断①③正确；最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵， ∴，故⑤正确， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确， ∴，，故①③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 【变式训练7-2】如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 【详解】解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 题型8 全等三角形的判定与性质综合 例15．如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 例16．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 【技巧总结】 先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。 【变式训练8-1】如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是的中点， 在和中， ． （2）， 是的中点， 在和中， ． 【变式训练8-2】【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 【答案】A 【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意． ∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． 2．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 3．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. 4．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 5．已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再选取范围内的整数即可． 【详解】解：根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 化简得． 因为为整数， 所以在内的整数均满足条件， 此处取． 故答案为（答案不唯一）． 6．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 7．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：①；②，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等，分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得：， ，， 将代入，得，解得； 情况2：， 此时对应边：，， ，即， 解得：， ，， 将代入，得，解得， 综上，的值为或． 9．已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 【答案】(1)见详解 (2)16 【分析】（1）先结合角的和差关系得出，再证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， 则与的周长的和 ． 10．如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 11．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，风筝的一角缺失，为修补该风筝，现测得：，，，． (1)求修补完风筝后的长度． (2)若用纸面积为，求的用纸面积． 【答案】(1)的长度为 (2)的用纸面积为 【分析】（1）证明，即可得到答案； （2）证明，根据图形间的面积关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴修补完风筝后的长度为． （2））∵， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的用纸面积为 12．和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴． 13．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．在中，，，点为直线上方一点，且．    (1)如图1，过点作， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，延长交于点，若恰好平分，且，请求出的面积． 【答案】(1)①见解析；②11 (2)32 【分析】（1）①利用即可证明； ②由全等三角形的性质求得，，再利用线段的和与差计算即可求解； （2）作交的延长线于点，证明，求得，同理证明，求得，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴，， ∴； （2）解：作交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $