学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（上海专用，沪教版选修一+选修二全部：平面解析几何+空间向量与立体几何+数列+导数及其应用、计数原理、概率统计）

**基本信息** 覆盖沪教版选修一、二全部内容，以立体几何、概率统计、解析几何等综合题设计，体现数学思维的逻辑性与数学眼光的抽象性，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|二项式定理、回归方程、复数等|基础巩固，梯度分布（1-6题4分，7-12题5分）| |选择题|4/18|导数应用、随机变量性质等|概念辨析，如单调性与导函数关系的逻辑推理| |解答题|5/78|立体几何（异面直线角）、概率统计（分布列）、解析几何（椭圆面积）、函数新定义|综合应用，如投篮比赛数据的数学建模，函数“距离”新定义的创新探究|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 数学·参考答案 1、 填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 36 3. 4. 5. 6. 0 7. 8 . 2 9. 10 . 1440 11. 4 12 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B B A A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即．……（7分） （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离．……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，.……（7分） （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）甲获胜的场次为第五场(分)和第八场(分)，共场， 故从上述8场比赛中随机选择一场，甲获胜的概率；……（3分） （2）甲得分的场次：，共场， 乙得分丙得分的场次：，共场. 的可能取值：0,1,2， 总选法：， ：选场乙丙，，概率， ：选场乙丙和场乙丙，，概率， ：选场乙丙，，概率， 分布列如下： 0 1 2 数学期望：.……（10分） （3）以频率估计获胜概率：甲：，乙：，丙：， 三人获胜场数符合二项分布， ，， 所以……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此．……（4分） （2）由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是．……（11分） （3）． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1．……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）当时，， ，对恒成立，故；……（4分） （2），令， 则， 当时，，故在R上单调递增， 无最小值，不合要求， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为直线的“距离”不小于2，故， 即，令，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故；……（11分） （3）设，， 若对任意，都有，直线与的“距离”相等， 即与都存在最小值，且最小值相等， 设在处取得最小值，在处取得最小值， 故，， ， 其中，， 则，， 故，， 若，因为在R上严格增，所以，故， 要想恒成立，需满足且， 由于的任意性，可知是偶函数， 若，此时直线与重合，是偶函数满足要求， 综上，是偶函数.……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 A4考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一+选修二全部。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 3．已知随机变量，，且，，则__________． 4．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________； 5．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 6．设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为 __________ ． 7．若在上单调递增，则的取值范围是________． 8．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 9．有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 10．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 11．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 12．数列满足，若，且，则的最大值为__________________ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 14．定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 16．已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（    ）. A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 18．（14分）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 19．（14分）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 20．（18分）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 21．（18分）已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)对于，求证：； (2)设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： (3)设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 A4考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一+选修二全部。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 3．已知随机变量，，且，，则__________． 4．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________； 5．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 6．设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为 __________ ． 7．若在上单调递增，则的取值范围是________． 8．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 9．有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 10．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 11．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 12．数列满足，若，且，则的最大值为__________________ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 14．定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 16．已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（    ）. A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 18．（14分）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 19．（14分）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 20．（18分）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 21．（18分）已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)对于，求证：； (2)设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： (3)设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 2. 4 6. 7 8 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第15~16题每题5分) 13[AJ[B][C][D] 14[A][B][C][D] 15 [A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(14分) D C A B C A B 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分)学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 ■ 人 岁蜘训并 15 [A][B][C][D] 13 [A][B][C][D] 健有限5少) 张书： 16 [A][B][C][D] 40 0∞M+NNHO 9∞M+WNHO ∞ANN H 9∞JM+WNHO 0∞6 ANN H 0∞6 A W H 0∞M+NNHO 0∞M+NNHO 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) D C B R C 0 B 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 20.(18分) y ○ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 11 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（14分） 18.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （14分） 20.（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（18分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选修一+选修二全部。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故答案为： 2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 【答案】36 【详解】根据表中数据可知，， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得， 故答案为：36. 3．已知随机变量，，且，，则__________． 【答案】 【详解】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 4．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________； 【答案】 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 故答案为： 5．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 6．设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为 __________ ． 【答案】 【详解】由已知，得，所以 ， ， ， , , 所以，，， 依次类推，所以数列具有周期性，且周期为4，且. . 得. 故答案为：. 7．若在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 8．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 9．有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 【答案】 【详解】由题意，， 故所求为. 故答案为：. 10．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 【答案】1440 【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法； 再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序. 故答案为：. 11．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 【答案】4 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 12．数列满足，若，且，则的最大值为__________________ 【答案】 【详解】因为，所以可设， 又，所以，， 所以我们猜想，现在利用数学归纳法证明之， 设当时，公式成立， 则当时，， ， 综上所述，， 结合恒等式，有， 当时，即时，表达式有最大值. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 14．定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若在上恒成立，则函数在上严格单调增， 反之，函数在上严格单调增，则有， 如函数在上严格单调增，而且， 所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件. 15．已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 16．已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（    ）. A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 【答案】A 【详解】假设有这样的三角形存在，因为在抛物线上，焦点， 设，则，，， 因为，所以，， 设第一象限的点的横坐标大于2，假设，则， 则，故， 所以，显然不成立， 所以不存在这样的三角形满足这3个条件. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即．……（7分） （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离．……（14分） 18．（14分）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，.……（7分） （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故.……（14分） 19．（14分）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 【详解】（1）甲获胜的场次为第五场(分)和第八场(分)，共场， 故从上述8场比赛中随机选择一场，甲获胜的概率；……（3分） （2）甲得分的场次：，共场， 乙得分丙得分的场次：，共场. 的可能取值：0,1,2， 总选法：， ：选场乙丙，，概率， ：选场乙丙和场乙丙，，概率， ：选场乙丙，，概率， 分布列如下： 0 1 2 数学期望：.……（10分） （3）以频率估计获胜概率：甲：，乙：，丙：， 三人获胜场数符合二项分布， ，， 所以……（14分） 20．（18分）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 【详解】（1）设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此．……（4分） （2）由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是．……（11分） （3）． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1．……（18分） 21．（18分）已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． (1)对于，求证：； (2)设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： (3)设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 【详解】（1）当时，， ，对恒成立，故；……（4分） （2），令， 则， 当时，，故在R上单调递增， 无最小值，不合要求， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为直线的“距离”不小于2，故， 即，令，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故；……（11分） （3）设，， 若对任意，都有，直线与的“距离”相等， 即与都存在最小值，且最小值相等， 设在处取得最小值，在处取得最小值， 故，， ， 其中，， 则，， 故，， 若，因为在R上严格增，所以，故， 要想恒成立，需满足且， 由于的任意性，可知是偶函数， 若，此时直线与重合，是偶函数满足要求， 综上，是偶函数.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $