专题03 整式乘法与因式分解9高频考点84题（期末真题汇编，安徽专用）七年级数学下学期

**基本信息** 专题03整式乘法与因式分解期末试题汇编，覆盖9个高频考点，精选安徽多地期末真题，注重基础运算与综合应用，融入几何直观与实际情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约25题|幂的运算、公式变形、因式分解基础|结合芯片尺寸考科学记数法，设置完全平方参数求解难点| |解答题|约20题|乘法公式综合、几何图形验证、化简求值|通过“回形”正方形面积推导公式，设计“知二推一”公式变形题|

专题03 整式乘法与因式分解 高频考点概览 考点01幂的基础运算（选择、填空基础题） 考点02乘法公式基础计算（解答题高频） 考点03公式变形“知二推一”（填空、解答重难点） 考点04因式分解综合题（期末必考解答题） 考点05整式混合运算（中档解答题） 考点06完全平方参数求解（难点填空） 考点07化简求值（期末高频解答题） 考点08幂的逆用（填空压轴难点） 考点09 乘法公式与几何图形（期末高频解答题） 考点01 幂的基础运算（选择、填空基础题） 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、负整数指数幂、合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键；根据合并同类项，幂的乘方，负整数指数幂，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意；      C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中计算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、负整数指数幂 【分析】本题考查幂的运算性质． 根据负整数指数幂、同底数幂的乘除法、幂的乘方逐一分析各选项是否正确即可． 【详解】解：A：，故选项A错误； B：，故选项B错误； C：，故选项C正确； D：，故选项D错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、负整数指数幂、同底数幂相乘、零指数幂 【分析】本题考查幂的运算性质，包括负整数指数幂、零指数幂、同底数幂相乘及积的乘方，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）下面括号内填入后，等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、合并同类项、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，等式不成立，不符合题意； B、，等式不成立，不符合题意； C、，等式不成立，不符合题意； D、，等式成立，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）中芯国际在2025年春季宣布成功研制出全球首个芯片，已知为米，用科学记数法表示为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 米， 故选：A． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）计算． 【答案】3 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂 【分析】本题考查立方根和零指数幂的计算，根据立方根和零指数幂运算法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：3． 8．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）计算：______． 【答案】26 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了倒用幂的乘方法则和同底数幂除法法则，以及整体代入法求值，熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂乘法法则是解题的关键．由得，然后逆用幂的乘方法则和同底数幂乘法法则将转化成底数为，再将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ， 故答案为：8． 10．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）定义一种运算：若，则称；计算________． 【答案】1 【知识点】负整数指数幂、有理数乘方逆运算 【分析】由新定义运算可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是新定义运算，乘方运算的含义，负整数指数幂的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键． 考点02 乘法公式基础计算（解答题高频） 11．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据平方差公式，完全平方公式展开，合并同类项计算即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】实数的混合运算、整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据立方根、算术平方根、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先根据平方差公式、完全平方公式、多项式除单项式进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（23-24七年级下·安徽池州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、绝对值、负整数指数幂，算术平方根，再进行加减运算，即可作答． （2）先算完全平方公式、平方差公式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（23-24七年级下·安徽六安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的运算，利用平方差、完全平方差公式进行计算； （1）根据平方差公式的运算即可求解； （2）根据完全平方公式公式的运算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 15．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】实数的混合运算、整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】（1）先计算算术平方根、负整数指数幂、零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后结算加减； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握算术平方根、负整数指数幂、零指数幂和绝对值的运算法则以及完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 16．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算、积的乘方运算 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可； （2）首先计算单项式相乘和积的乘方运算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】此题考查了平方差公式，单项式相乘和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 17．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 18．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值4 (3)2 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）计算得，可知，即可比较大小； （2）由变形得，再根据，，可得答案； （3）先得到，然后代入到中得到据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，即：， ∴； （2） ， ∵，， ∴ ∴当，时，多项式有最小值4； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 考点03 公式变形“知二推一”（填空、解答重难点） 19．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，则的值为（　　） A．17 B．1 C． D．15 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值，先根据多项式乘以多项式的法则，进行计算，求出，再利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数满足，则下列结论错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了代入求值．根据条件，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：当时，由得，解得，则，故，正确； 选项B：若，则，解得．此时，正确； 选项C：当时，且，则，但选项C中结果为6，错误； 选项D：当时，展开左边，右边，等式成立，正确； 故选：C． 21．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若，则___________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，先求出，再根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 22．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）若，则的值为 ______ ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】将和看作一个整体，利用完全平方公式变形计算即可． 本题考查了完全平方公式，解题的关键是利用整体的数学思想，灵活运用完全平方公式． 【详解】解：， ． 故答案为：． 23．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是______________． 【答案】7 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，根据已知条件设元求解是关键．设，，得，，利用完全平方公式变形得，代入计算即可得答案． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：7． 24．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知， 则： （1） __________ （2）__________ 【答案】 19 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、实数的混合运算 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，熟练运用完全平方公式，整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）先通分，再把代入进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ； （2）． 25．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，． (1)求的值； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)184 (2)57 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、单项式乘多项式的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了完全平方公式的变形应用，单项式乘以多项式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）首先表示出，，，然后利用代入求解即可． 【详解】（1）； （2）由题意得：，，， ，， ． 26．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若满足，求的值； (2)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查的是完全平方公式的变式应用及在图形中的应用， （1）设，则：，得出，根据求出结论即可； （2）设，则，，由题意得，，设，，则，，根据完全平方公式求出结论即可． 【详解】（1）解：设，则：， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）解：设，则，， ∴，，， 设，， 则，， ∴， 正方形的面积为． 27．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据，代入数值即可求解； （2）对进行平方可得，在对原式变形，可得，开平方即可求解； （3）根据题意可得，，进而得出，代入，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， ∴， 即． ∴． （3）解：∵长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 28．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键． （1）由观察图可得两种方法表示出图的总面积为和，关于，的等式； （2）由题意得，，两个等式作差可求得此题结果； （3）由题意得，从而可解得此题结果； 【详解】（1）解∶用两种方法表示出图的总面积为和 ， 关于，的等式， 故答案为：， ，； （2）根据题意，得：，， ； （3）根据题意，得图中阴影部分的面积为 ， 当，时， 图中阴影部分的面积为 ． 考点04 因式分解综合题（期末必考解答题） 29．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）先利用平方差公式分解因式，再计算整式的加减，进行化简即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 30．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）计算、因式分解： (1)计算：． (2)因式分解：． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】实数的混合运算、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了实数的混合运算和因式分解，涉及到求绝对值、算术平方根、立方根以及完全平方公式因式分解等知识点．掌握以上知识是解题的关键． （1）先去绝对值、求算术平方根和立方根，再进行加减即可得出答案； （2）首先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式； 31．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】（1）先提公因式4，然后再利用平方差公式进行分解即可得； （2）先用分组分解法分解，再利用平方差公式继续分解即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，因式分解的一般步骤为：一提（公因式），二套（套用平方差公式、完全平方公式），注意一定要分解到不能再分解为止． 32．（23-24七年级下·安徽六安·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 33．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 34．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解、如：，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下： =……分组 =……组内分解因式 =……整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，且，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． （1）根据分组分解法可以分解题目中的因式，本题得以解决； （2）根据因式分解法可以分解题目中的式子，即可得到或，根据，本题得以解决． 【详解】（1）解： ． （2）． 理由：因为， 所以， 所以， 所以， 所以或． 因为，所以． 35．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），回答下列问题：    (1)观察并说明上述操作能验证的等式． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式与几何图形、平方差公式分解因式 【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由， 可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是， （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． 36．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用、求一个数的平方根 【分析】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法，配凑出多个完全平方公式，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解;原式; （2）解： 当时，取得最小值． （3）解： 即 又 ， 的平方根为． 37．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)5或或1或 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，解题的关键是： （1）模仿例题即可求解； （2）先提公因式法，然后模仿例题即可求解； （3）将常数进行分解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 38．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为 ． 再如为十字分式方程，可化为 ． 应用上面的绪论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则_________，_________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、因式分解的应用、约分、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键； （1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解； （2）结合运用“十字方程”得到，再把通分加减变形，再整体代入求值即可； （3）将原方程变形为，再因式分解变形为，结合运用“十字方程”得到再代入求值即可； 【详解】（1）解：可化为， ， 故答案为：； （2）由已知得， ； （3）原方程变为， ， ， ； 考点05 整式混合运算（中档解答题） 39．（23-24七年级下·安徽宣城·期末） 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】根据完全平方式和平方差公式进行展开后，再合并同类项即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了利用完全平方式和平方差公式进行整式乘法运算，掌握完全平方式和平方差公式是解题的关键． 40．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）对于实数规定，例如：．若，求的整数值． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、求一元一次不等式组的整数解、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义的实数运算，整式的混合运算，解不等式组，理解新定义的运算是解题的关键．根据新定义的运算并结合整式的混合运算对进行化简，再由题意列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数 41．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式运算的应用； （1）阴影部分面积正方形的面积矩形的面积，即可求解； （2）将，代入面积，即可求解； 能表示出面积，并正确运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 （平方米）； （2）解：当，时， （平方米）． 42．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）（1）计算∶ （2） 【答案】（1）3；（2） 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式乘法混合运算、实数的混合运算 【分析】（1）根据乘方，求算术平方根，零次幂，求立方根，负整数指数幂分别计算，再进行加减运算即可； （2）先根据积的乘方计算，再计算单项式乘单项式，单项式乘单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查乘方，求算术平方根，零次幂，求立方根，负整数指数幂，整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 43．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． (2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请补全等式并说明它的正确性． 【答案】(1)25 (2)，，，证明见解析 【知识点】有理数四则混合运算、整式乘法混合运算 【分析】此题考查了新定义，整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据“三角形数”的定义进行求解即可； （2）由题意得到等式，根据整式的混合运算进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为：； （2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：， 证明： 右边． ∴等式成立． 故答案为：，， 44．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）（1）填空： __________； __________； __________； （2）猜想： __________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1）；；； （2） （3） 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差，及其推广公式，正确找到规律是解题的关键． （1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：；；； （2）猜想∶ (其中为正整数，且)； 故答案为：； （3）利用（2）猜想的结论计算： ， =， = 45．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列关于自然数的等式：             ①             ②             ③ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第个等式：______________________； (2)请写出第个等式：______________________； (3)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 【答案】(1) (2) (3)（为正整数），理由见解析 【知识点】数字类规律探索、整式的混合运算 【分析】本题考查数字变化的规律， （1）根据所给等式，观察各部分的变化规律，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题； 根据所给等式用表示第个等式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， …， 观察各部分的变化规律可知， 第个等式可表示为：（为正整数）， 当时，得：， ∴第个等式为， 故答案为：； （2）由（1）知： 当时，得：， ∴第个等式为， 故答案为：； （3）由（1）知：第个等式可表示为（为正整数）， 验证如下： 左边 右边， ∴等式成立． 46．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学操作性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：1＋2×1＋1＝4；     第二个等式：4＋2×2＋1＝9； 第三个等式：9＋2×3＋1＝16；     第四个等式：16＋2×4＋1＝25. 第个等式可写为：．老师引导同学们将这个等式相加，做了如下推理： 整理得： ， ； 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 【问题解决】 (1)你能写出【类比推广】中的第5个等式：______；猜想第n个等式：______，请你证明这个猜想． (2)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． （1）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （2）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可， 【详解】（1）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原式成立； （2）解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 47．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】整式的混合运算、异分母分式加减法、实数的大小比较、不等式的性质 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，整式的混合运算，乘法公式，熟练掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将与作差，根据无理数的估算以及不等式的性质，即可求解； （2）将与作差，根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开合并，再根据平方的非负性即可求解； （3）将与作差，通分化简，根据已知条件可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： ，， ， ， ， ，即 （3）解： ， m、n都是正实数， ，， ， ，即． 48．（23-24七年级下·安徽六安·期末）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)观察：从整体看，图2和图3的大正方形的边长都为，所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①．由于整个图形的面积等于各部分面积的和，所以图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ________，记为结论②； 同样，图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：________，记为结论③． (2)思考： 由结论①和结论②，可以得到等式________________ 由结论②和结论③，可以得到等式________________ (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】整式的混合运算、完全平方公式在几何图形中的应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算的运用，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键． （1）根据图形结合正方形面积和三角形面积公式求解，即可解题； （2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （3）根据结论求出，然后进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由图知，图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：， 图3中的大正方形的面积又可以用含字母的代数式表示为：， 故答案为：，． （2）解：由结论①和结论②，可以得到等式； 由结论②和结论③， ，整理后，可以得到等式； 故答案为：，． （3）解：由题知， ，，， ， ， ， ， 解得． 考点06 完全平方参数求解（难点填空） 49．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若是完全平方公式，则m的值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．根据完全平方公式的形式，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：C． 50．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为_______． 【答案】25 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：25． 51．（22-23七年级下·安徽池州·期末）如果能写成一个完全平方的形式，那么等于_______． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 52．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的多项式是完全平方式，则________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式的定义，形如的式子叫完全平方式． 根据完全平方式的定义，将多项式进行变形即可求出k的值． 【详解】解：因为是完全平方式， 所以， 所以， 即， 所以， 故答案为：． 53．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法求最小值，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ， ， ， 的最小值为2； （3）解：∵ ， ， ， ， ， 的最小值为4． 考点07 化简求值（期末高频解答题） 54．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）若，，则的值是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】将变形为，整体代入，即可． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 55．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 56．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 57．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，多项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 58．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；12 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式，单项式乘多项式运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 59．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14 【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先利用平方差公式和单项式乘以多项式法则化简，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵， ∴原式． 60．（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查的是整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．先把原式去括号合并同类项，得到最简结果，然后再把和的值，代入计算即可求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 61．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据去括号，合并同类项化简代数式，然后将代入即可求解． 【详解】解：原式＝ ， 当时，原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键． 62．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是______； （2）若，则的值是______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 63．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以a，b，c为系数的二次多项式，即，其中a，b，c均为实数，例如，，则． （1）当时，_____． （2）若，则 _____． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义，求得，再令，可求得，再化简即得答案． 【详解】（1）， ，， ， 当时，， 故答案为：． （2），， ， 令， 则， 即， ， 即． 故答案为：． 考点08 幂的逆用（填空压轴难点） 64．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【答案】D 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，以及幂的乘方．熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方法则，可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 65．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，同底数乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 66．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为______． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】由得，然后倒用幂的乘方法则和同底数幂除法法则将转化成底数为，再将整体代入求值即可． 本题主要考查了倒用幂的乘方法则和同底数幂除法法则，以及整体代入法求值，熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂除法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：4． 67．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则_________． 【答案】200 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则计算得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：200． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，运用相关运算法则正确将原式进行变形是解题的关键． 68．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如果，则________． 【答案】3 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】根据公式，得，代入计算即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 69．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）若，则的值为 _______． 【答案】36 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】直接逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法公式并能灵活运用是解题关键． 70．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期末）已知，，， （1）______； （2），，之间满足的等式关系为______． 【答案】 2 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）逆用同底数幂除法法则计算即可； （2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：2； （2）∵，，， ∴， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键． 71．（22-23七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝_______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______ 【答案】 / 【知识点】零指数幂、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据零指数幂即可求解； （2）设，，根据新定义可得，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴ ∴ ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 72．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）计算： 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查的是负整数指数幂，零次幂的含义，积的乘方运算，先分别计算负整数指数幂，零次幂，积的乘方，再合并即可； 【详解】解： ； 73．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果，那么规定．例如；如果，那么． (1)根据规定，（6，1）＝______，______． (2)记（3，6）＝a，（9，15）＝b，，若，求x值． 【答案】(1)0；-3 (2)x=90 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据新定义进行解答便可； （2）根据新定义得3a=6，9b=15，92c=x，再将两个等式相乘再结合已知条件a+2b=4c得38c=90x，进而根据（9，x）=2c，得到x的方程，便可求得结果． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：0；-3； （2）∵（3，6）=a，（9，15）=b，（9，x）=2c， ∴3a=6，9b=15，92c=x， ∴3a•9b•92c=6×15x， ∴3a•32b•34c=90x， ∴3a+2b+4c=90x， ∵a+2b=4c， ∴38c=90x， ∴（92c）2=90x， ∵92c=x， ∴x2=90x， 解得x=0（舍）或x=90． 【点睛】本题考查了新定义运算，整数指数幂的运算，掌握同底数幂的乘法，零次幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 74．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相除，掌握幂的乘方运算和同底数幂相除法则的逆用是解题关键． （1）先逆用幂的乘方法则变形，然后再把代入计算即可； （2）先逆用同底数幂相除和幂的乘方运算法则变形，然后再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 考点10 乘法公式与几何图形（期末高频解答题） 75．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键． （1）由观察图可得两种方法表示出图的总面积为和，关于，的等式； （2）由题意得，，两个等式作差可求得此题结果； （3）由题意得，从而可解得此题结果； 【详解】（1）解∶用两种方法表示出图的总面积为和 ， 关于，的等式， 故答案为：， ，； （2）根据题意，得：，， ； （3）根据题意，得图中阴影部分的面积为 ， 当，时， 图中阴影部分的面积为 ． 76．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若满足，求的值； (2)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是完全平方公式的变式应用及在图形中的应用， （1）设，则：，得出，根据求出结论即可； （2）设，则，，由题意得，，设，，则，，根据完全平方公式求出结论即可． 【详解】（1）解：设，则：， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）解：设，则，， ∴，，， 设，， 则，， ∴， 正方形的面积为． 77．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以． 【探究】（1）若，，，求的值． 【延伸】（2）若，求的值． 【应用】（3）如图，在四边形中，，连接，，交点为，且，，，若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据完全平方公式得出，则，再由即可得解； （2）先求出，结合完全平方公式得出即可得解； （3）设，，则，由得，结合完全平方公式可得，最后代入即可得解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3）设，，则， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是通过完全平方公式的变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 78．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1是长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为x，正方形边长为y，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． （1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）先利用完全平方公式变形求得，然后根据阴影部分的面积为，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形的边长为，此时面积为， 小正方形可以看作是由大正方形减去四个长方形，此时面积为， ∴， 即； 故答案为： （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 79．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足，求的值． 解：∵ ∴ 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足 (1)请直接写出的值为_______． (2)求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ (4) 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）根据整式加减运算法则计算即可． （2）根据题目中的完全平方公式变形求解即可； （3）由图及题中条件可知正方形的边长为，正方形的边长为，则由长方形的面积为40平方单位得到，设，，则，且再利用完全平方公式变形得到，代入式子计算可得到阴影部分的面积和． 【详解】（1）解： （2）解：， （3）解：由图及题中条件可知正方形的边长为，正方形的边长为，则由长方形的面积为40平方单位得到， 阴影部分面积为， 设，， 则，且， ∵， ∴， ， 阴影部分面积为． 80．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【答案】(1)①②③ (2)1 (3)见解析， (4) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解： ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． （4）解： ． 81．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 【答案】(1)② (2)（i）3；（ii）16204 【分析】本题考查平方差公式与几何的综合应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）（i）利用（1）中结论进行求解即可；（ii）将式子转化为，再利用（1）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得：； 由图2可得：； ∴； 故答案为：②； （2）（i）∵，， ∴； （ii） ． 82．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． （注：   ） 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)6 (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，理解完全平方公式和平方差公式的结构特征是解决问题的关键． （1）设，则，由得，根据求出的值即可； （2）设正方形的边长为可得，进而得出阴影部分的面积，设，进而得出，根据求出的值，再求出的结果即可． 【详解】（1）解：设，则， 由得， 由得，， ， 即； （2）解：因为正方形的边长为． 所以， 所以． 而， 所以阴影部分的面积． 设， 则， 所以， 因为，所以， 从而， 所以． 即阴影部分的面积是24． 83．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 【答案】(1)D (2)①见解析；② 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式在几何中得应用，解题的关键是利用公式表示出图形的面积； （1）表示出两个图阴影部分的面积，再根据相等即可求解； （2）①计算出，再根据为整数，得出是3的倍数即可；②利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解得出即可求解． 【详解】（1）解：根据图1知，阴影部分的面积是等于大正方形的面积减去小正方形的面积为， 图2知，阴影部分的面积是矩形的面积为， 故， 故选：D； （2）解：①， ∵为整数， ∴整数， ∴是3的倍数， ∴（为整数）是3的倍数； ②∵， ∴，，， ， ∵， ∴． 84．（24-25七年级下·安徽·期中）【实践操作】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是________． 【应用探究】 （2）利用（1）中的公式简便计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）90000；（3） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是正确解答的关键． （1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； （3）利用（1）的结论，连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； 故答案为：； （2） ； （3） ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式乘法与因式分解 高频考点概览 考点01幂的基础运算（选择、填空基础题） 考点02乘法公式基础计算（解答题高频） 考点03公式变形“知二推一”（填空、解答重难点） 考点04因式分解综合题（期末必考解答题） 考点05整式混合运算（中档解答题） 考点06完全平方参数求解（难点填空） 考点07化简求值（期末高频解答题） 考点08幂的逆用（填空压轴难点） 考点09 乘法公式与几何图形（期末高频解答题） 考点01 幂的基础运算（选择、填空基础题） 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中计算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）下面括号内填入后，等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）中芯国际在2025年春季宣布成功研制出全球首个芯片，已知为米，用科学记数法表示为（   ）米 A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）计算． 8．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）计算：______． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，则的值为______． 10．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）定义一种运算：若，则称；计算________． 考点02 乘法公式基础计算（解答题高频） 11．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 12．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·安徽池州·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级下·安徽六安·期末）计算： (1) (2) 15．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算： (1)； (2)． 16．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）计算： (1) (2) 17．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 考点03 公式变形“知二推一”（填空、解答重难点） 19．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，则的值为（　　） A．17 B．1 C． D．15 20．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数满足，则下列结论错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若，则___________． 22．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）若，则的值为 ______ ． 23．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是______________． 24．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知， 则： （1） __________ （2）__________ 25．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，． (1)求的值； (2)求图中阴影部分的面积． 26．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若满足，求的值； (2)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 27．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 28．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 考点04 因式分解综合题（期末必考解答题） 29．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）分解因式： (1)； (2)． 30．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）计算、因式分解： (1)计算：． (2)因式分解：． 31．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）分解因式 (1) (2) 32．（23-24七年级下·安徽六安·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 33．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 34．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解、如：，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下： =……分组 =……组内分解因式 =……整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，且，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 35．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），回答下列问题：    (1)观察并说明上述操作能验证的等式． (2)已知，求的值． 36．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 37．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 38．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为 ． 再如为十字分式方程，可化为 ． 应用上面的绪论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则_________，_________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 考点05 整式混合运算（中档解答题） 39． （23-24七年级下·安徽宣城·期末） 40．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）对于实数规定，例如：．若，求的整数值． 41．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 42．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）（1）计算∶ （2） 43．（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． (2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请补全等式并说明它的正确性． 44．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）（1）填空： __________； __________； __________； （2）猜想： __________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 45．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列关于自然数的等式：             ①             ②             ③ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第个等式：______________________； (2)请写出第个等式：______________________； (3)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 46．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学操作性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：1＋2×1＋1＝4；     第二个等式：4＋2×2＋1＝9； 第三个等式：9＋2×3＋1＝16；     第四个等式：16＋2×4＋1＝25. 第个等式可写为：．老师引导同学们将这个等式相加，做了如下推理： 整理得： ， ； 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 【问题解决】 (1)你能写出【类比推广】中的第5个等式：______；猜想第n个等式：______，请你证明这个猜想． (2)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 47．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 48．（23-24七年级下·安徽六安·期末）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)观察：从整体看，图2和图3的大正方形的边长都为，所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①．由于整个图形的面积等于各部分面积的和，所以图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ________，记为结论②； 同样，图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：________，记为结论③． (2)思考： 由结论①和结论②，可以得到等式________________ 由结论②和结论③，可以得到等式________________ (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值． 考点06 完全平方参数求解（难点填空） 49．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若是完全平方公式，则m的值为（  ） A． B． C． D．3 50．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为_______． 51．（22-23七年级下·安徽池州·期末）如果能写成一个完全平方的形式，那么等于_______． 52．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的多项式是完全平方式，则________． 53．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________； (2)用配方法求代数式的最小值； (3)若实数a，b满足，求的最小值． 考点07 化简求值（期末高频解答题） 54．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）若，，则的值是（     ） A． B．1 C． D． 55．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 57．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）先化简，再求值，其中． 58．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中，． 59．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）先化简，再求值：，其中，． 60．（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 61． （22-23七年级上·安徽芜湖·期末）先化简，再求值：，其中． 62．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是______； （2）若，则的值是______． 63．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以a，b，c为系数的二次多项式，即，其中a，b，c均为实数，例如，，则． （1）当时，_____． （2）若，则 _____． 考点08 幂的逆用（填空压轴难点） 64．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 65．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 66．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为______． 67．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则_________． 68．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如果，则________． 69．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）若，则的值为 _______． 70．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期末）已知，，， （1）______； （2），，之间满足的等式关系为______． 71．（22-23七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝_______； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______ 72．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）计算： 73．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果，那么规定．例如；如果，那么． (1)根据规定，（6，1）＝______，______． (2)记（3，6）＝a，（9，15）＝b，，若，求x值． 74．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 考点10 乘法公式与几何图形（期末高频解答题） 75．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 76．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若满足，求的值； (2)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若，，长方形的面积为200．求正方形的面积． 77．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以． 【探究】（1）若，，，求的值． 【延伸】（2）若，求的值． 【应用】（3）如图，在四边形中，，连接，，交点为，且，，，若，求四边形的面积． 78．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1是长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为x，正方形边长为y，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 79．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若x满足，求的值． 解：∵ ∴ 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题，若x满足 (1)请直接写出的值为_______． (2)求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？ (4) 80．（24-25七年级下·安徽六安·期末）数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 81．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 82．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． （注：   ） 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 83．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 84．（24-25七年级下·安徽·期中）【实践操作】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是________． 【应用探究】 （2）利用（1）中的公式简便计算：； （3）计算：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $