05平面向量基本定理的应用-2024-2025学年高一下学期数学暑假作业（巩固篇）

2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 05 有关平面向量基本定理的运算 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 5．（24-25高一下·浙江杭州·期末）在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 8．（24-25高一下·四川广安·期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 10．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，平行四边形中，为的中点，与交于F，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 11．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，已知是的中点，若P是上的一点，且满足与交于点E，则（   ） A． B．在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一·山东枣庄·期末）设是边上的点，，若，则    13．（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则 .（用、表示） 14．（24-25高一下·河南鹤壁·期中）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，． (1)用，表示； (2)若，，求实数t的值． 16．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. (1)用表示； (2)求的值； (3)求的值． 17．（24-25高一下·广东揭阳·期中）如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，求的余弦值． 18．（24-25高一下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 19．（24-25高一·河北衡水·期末）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 05 有关平面向量基本定理的运算 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算可得，计算即可求解. 【详解】由题意可得，，因为为的中点， 所以，则，所以.故选：A 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【详解】在中，因为，即为的中点，所以，又因为，所以，因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的表达式，由题意可知存在，使得，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，，， 所以，，又因为、、三点共线，所以存在，使得，即，因为、是平面内的一组基底，所以，解得，．故选：D． 4．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，易得，设，可得，利用平面向量基本定理求出的值，即可求得答案. 【详解】 如图，点是的中点，则，因点在线段上，则存在，使得，又，则得，即，因三点共线，故，解得，则，即，可得，即.故选：D. 5．（24-25高一下·浙江杭州·期末）在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，，再由，化简即可求解. 【详解】因为，即，又点平分线段， 所以.故选：D. 6．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则，故， 因三点共线，故设，则，因，则，解得．故选：D． 7．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以，又三点共线，所以， 所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值为16.故选：B. 8．（24-25高一下·四川广安·期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，进而可得，利用三点共线可求得，进而利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为，所以，又因为三点共线，所以设，又，所以，所以，又三点共线，所以，解得， 所以，所以.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】设，，结合平面向量基本定理得出对应系数关系，计算求解判断各个选项. 【详解】设，，则 .因为，所以，所以，故A错误，B，C，D正确.故选：BCD. 10．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，平行四边形中，为的中点，与交于F，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据分析平行四边形的性质和向量的几何意义，结合平面向量的基本概念，向量的线性运算，向量的数量积运算以及向量的模长运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，则，，则为直角三角形，且，则，所以在方向上的投影向量为，A正确；对于B，平行四边形中，为的中点，所以，则， ，B正确；对于C，，C错误；对于D，，，则，D错误.故选：AB. 11．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，已知是的中点，若P是上的一点，且满足与交于点E，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据向量的线性运算可得；对于B，由，结合可直接得到投影向量；对于C，根据向量的数量积可直接计算判断；对于D，设，再结合三点共线，列出方程组可求. 【详解】    对于A，，，故A正确； 对于B，，且，在上的投影向量为，故B错误；对于C，是的中点，，则，又，所以，即，故C正确；对于D，设，三点共线，， 则，所以，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一·山东枣庄·期末）设是边上的点，，若，则    【答案】/0.5 【分析】由向量的线性运算得，再利用三点共线可求的值. 【详解】因为，所以，因为，所以，又三点共线，所以，即. 13．（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则 .（用、表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用给定的基底，结合向量线性运算求解. 【详解】依题意，，， 所以. 14．（24-25高一下·河南鹤壁·期中）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 【答案】3 【分析】连接AG并延长，交BC于F，结合已知有，再由三点共线即可得. 【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示， 由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以， 所以，即，因为D、G、E三点共线，所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，． (1)用，表示； (2)若，，求实数t的值． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）应用表示出，即可得； （2）由，，再应用向量垂直及数量积的运算律列方程求参数值. 【详解】（1）； （2）由，，因为，所以，所以， 即，，即，解得. 16．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. (1)用表示； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由（1）结合向量的数量积定义求解即可； （3）将，两边平方，算出后再开方即可得答案. 【详解】（1）因为； ； （2）； （3）因为，所以. 所以. 17．（24-25高一下·广东揭阳·期中）如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1)， ；(2) 【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算即可求解； （2）先根据平面向量模的求法及向量数量积的运算法则求出 ，；再根据向量夹角的求法即可求解. 【详解】（1）由平行四边形性质可得：.因为点是的中点，所以.又因为，，所以， . （2）因为，，所以， . 又因为， ， 所以。 18．（24-25高一下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值；(2)设的面积为S，的面积为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由三点共线，结合已知条件可得，同理由三点共线，可得，从而可得，解方程组可求出的值，进而可求得答案； （2）延长与交于点，由三点共线，可得，由，得，结合（1）可得，所以，求出的值，从而可求出的值. 【详解】（1），，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则，同理，因为三点共线，所以，又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得，所以. （2）延长与交于点，因为三点共线，所以，又因为，且，所以，即， 所以，解得，所以，则.所以. 19．（24-25高一·河北衡水·期末）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)4；(3) 【分析】（1）由三点共线，可知存在实数，使，进而得出，根据平面向量基本定理即可证明； （2）用表示出，根据向量平行及即可求解； （3）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）由三点共线，可知存在实数，使，即，化简得，结合，由平面向量基本定理得，所以． （2）在等腰梯形中，由，可得， 根据，可得，又，所以， 所以，因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得，所以． （3）由（2）知，又，则， 过作的垂线，垂足分别为，因为等腰梯形中，， 所以，可得，又，得， 所以，， 可得 ，又是边上一点（含端点），，则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$