暑假作业01 平面向量的概念及线性运算（3大巩固提升练+3大能力培优练+2大创新题型练题型）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 平面向量的概念及线性运算 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：向量的有关概念（易错点） 】 1．关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 【答案】B 【解析】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误； 对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得： 存在一对实数x，y，使，故B正确； 对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误； 对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误. 故选：B. 2.若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点,可得到两两互不相等的向量的个数为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】如图,两两互不相等的向量有,,,,,,,,共8个.故选B. 3.（多选题）下列命题中正确的个数是（     ） A．若，则 B．已知向量，则四点不一定在一直线上 C．若，，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A,若，，则，故A正确； 对于B,若向量，则共线或， 即四点不一定在一直线上，故B正确； 对于C,若，则不一定平行，故C错误； 对于D,向量不能比较大小，故D错误. 故选：AB 4.正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个点为起点或终点的向量中,与相等的向量共有　　　　个,与的模相等且夹角为60°的向量共有　　　　个.  【答案】3，8 【解析】如图,正六边形ABCDEF中,点O为其中心, 以这七个点为起点或终点的向量中,与相等的向量有,,,共3个, 与的模相等,且夹角为60°的向量有,,,,,,,,共8个. 5.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED和四边形OCFB都是正方形,在向量,,,,,,,中: (1)分别写出与,相等的向量; (2)写出与共线的向量; (3)写出与长度相等的向量; (4)求向量与的夹角的大小. 【答案】（1）=,=；（2）,,,,,,,,135°. 【解析】(1)=,=. (2)与共线的向量为,,. (3)与长度相等的向量为,,,,,,. (4)因为=, 所以向量与的夹角即向量与的夹角,为135°. 【题型二：向量的线性运算（重点）】 6.中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， 则 . 又因为，所以. 故选：A 7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，解得，所以.故选B. 8.（多选题）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 9.如图,在三角形ABC中,D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+=　　　　.  【答案】 【解析】因为D是边BC的中点,所以=, 所以-+=+-=-=. 10.若||=||=|-|=2,则|+|=　　　　.  【答案】　2 【解析】∵||=||=|-|=||=2, ∴△ABC是边长为2的正三角形, ∴|+|为△ABC的边BC上的高的2倍, ∴|+|=2. 【题型三：向量共线定理的应用（高频）】 10．已知，，，则（   ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解析】对于A选项，， 故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错. 故选：A. 11．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若与共线，则存在实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 12.若和是两个不共线的非零向量，和起点相同，且，，三个向量的终点在同一条直线上．则的值是（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】根据题意设，则A，B，C三点共线， ， ，由于A，B，C三点共线， 有 ， ， ， . 故选：B 13.设和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由题意得， 因为，，三点共线，所以， 所以， 所以， 解得. 14.设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【答案】 【解析】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得， 因为向量，的方向相反，所以， 又因为，， 则， 所以，解得或（舍去）， 【题型一：利用向量的线性运算求参（重点）】 1.若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由为的中点，则， 由，则， 由图可知，则， 可得，所以. 故选：C. 2.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且||=2,设||=x,||=y,若|-|=||,则x+y的最大值为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 【答案】C 【解析】∵||=2,|-|=||,||=x,||=y,∴|-|=||==2, ∴x2+y2=4,∴(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号, ∴x+y≤2,即x+y的最大值为2. 3.已知是内的一点，角、、所对的边长分别为、、，而且，若，则_____ 【答案】25 【解析】 延长分别至，使，如图， 则有，是的重心，延长交于D，则D是的中点，且， ，同理， 而， 同理得,又，则，， 所以. 【题型二：向量模长不等式的应用（难点）】 【知识讲解】向量的模长满足不等式| ||－|| |≤|±|≤||+||. 4.已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 可得． 故选：C 5．设是非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 当和方向相反时等号成立， 若不共线，则设，则，无解； 故此时共线，设， 则由可得， 则，两边平方解得或， 当时，和方向相同，舍去，故， 即得，，此时的最大值为， 故选：C 6．已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】如图， 设，则恒成立，等价于恒成立， 从而有， 故． 设，，则． 作点E关于直线的对称点F，连接由题可知，，, 则， 当且仅当三点共线时取等号． 故选：D. 【题型三：三点共线定理的应用（高频）】 【知识讲解】 三点共线定理：已知平面内直线AB外任意一点O,满足,且，则点P与点A,B共线. 对于由三点共线求参的问题，常利用三点共线定理速解. 7．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选:C 8．（多选题）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【答案】BC 【解析】 因为，则， 又，，共线，所以，A错误； 由，则，则， 当且仅当时取等号，B正确； 由，当时，的最小值为，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，D错误. 故选：BC 9.已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________． 【答案】3     【解析】连接AG并延长，交BC于F，如图所示 由题意得，F为BC中点， 所以， 又G为重心，所以， 所以，即， 因为D、G、E三点共线， 所以，即. 10.如图，在中，已知点D在上满足，点M是的中点，过M作直线交，于P，Q两点，记，，且，． (1)试用的线性运算结果分别表示有向线段与； (2)求的最小值，并写出取等条件． 【答案】（1），；（2）最小值为，当且仅当时取等号，∴ 【解析】(1)由得，则         又，所以 (2)由已知，得， ∴         由P，M，Q共线，则         故         当且仅当时取等号，∴的最小值为. 【题型四：利用向量线性运算解决平面几何问题（重点）】 11.在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（       ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【解析】∵   ，∴   ， ∴   ，∴ 四边形一定是梯形． 故选：B 12.在四边形ABCD中,||=||且=,则四边形ABCD的形状一定是 (　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 【答案】C 【解析】因为=,所以BA∥CD,且BA=CD, 所以四边形ABCD是平行四边形, 又||=||,即AB=AD, 所以平行四边形ABCD是菱形. 故选:C 13.用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【答案】见解析 【证明】如图,已知四边形ABCD的对角线交于O, 且OA=OC,OB=OD,所以=,=, 所以=+=-+=-+=, 故BA与CD平行且长度相等. 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以对角线互相平分的四边形是平行四边形. 14. 在□ABCD中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又==,=，设=,=. (1)试用,表示向量； (2)求证：PM∥AN. 【答案】（1）；（2）见解析。 【解析】根据题意可作出下图 (1).∵=,∴,∴,∴, ∴. (2)仿(1)求法可得 =+=+, =+=∴PM∥AN 15.如图，三点不共线，，，设，. （1）试用表示向量； （2）设线段的中点分别为，试证明三点共线. 【答案】（1）；（2）解析. 【解析】（1），，三点共线， ，① 同理，，，三点共线，可得，② 比较①，②，得解得，， ． （2），，， ，， ， ，，三点共线． 【题型一：与向量有关的新定义题（难点）】 1. 设是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（    ） A．C可能是线段的中点 B．D可能是线段的中点 C．C、D可能同时在线段上 D．C、D不可能同时在线段的延长线上 【答案】D 【解析】若C、D调和分 【答案】D 【解析】若、调和分割点，则 R），，且 ． 对于 A选项，若是线段的中点，则，故A选项错误；同理B选项错误； 对于 C选项，若、同时在线段上，则选项错误； 对于 D选项，若、同时在线段的延长线上，则，故、不可能同时在线段的延长线上，D选项正确． 2.对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（     ） A．的“平衡点”为 B．的“平衡点”为的中点. C．的“平衡点”存在且唯一 D．的“平衡点”必为 【答案】D 【解析】对，、的“平衡点”为线段上的任意一点，故错误； 对，、、的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为的点，故错误； 对，、、、的“平衡点”是线段上的任意一点，故错误； 对，因为矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交、于、两点，所以、、、的“平衡点”必为，故正确． 故选． 【题型二：利用向量解决探究性问题（难点）】 3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.右图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到，也可以跳到，用向量 表示马走了“一步”.试在图中画出马在处走了“一步”的所有情况． 【答案】见解析. 【解析】根据规则，作出符号要求的所有向量图，如下图. 4.如图,D,E,F分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的动点,且在t=0时(初始时刻)分别从A、B、C出发,各以一定的速度沿各边向B、C、A移动,当t=1时,分别到达B、C、A,DH为△DEF的中线,求证:0≤t≤1的任何一时刻,△DEF的重心恒为G. 【答案】见解析. 【解析】连接AG,设=c,=a,=b,△DEF的重心为G,由点D、E、F在边AB、BC、CA上运动,知在任意时刻t(0≤t≤1),有=tc,=ta,=tb. ∴=+=-tc++=-tc+(t-1)b,=+=(1-t)c+ta. ∵=(+),=, ∴=×(+)=[ta+(t-1)b+(1-2t)c]. 又∵a+b+c=0,∴c=-a-b.∴=+=tc+[ta+(t-1)b+(1-2t)c] =[ta+(t-1)b+(t+1)(-a-b)]=(-a-2b). ∴为一确定向量,且与t的取值无关.∴△DEF的重心不变,恒为G. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 平面向量的概念及线性运算 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：向量的有关概念（易错点） 】 1．关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 2.若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点,可得到两两互不相等的向量的个数为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.6 B.8 C.10 D.12 3.（多选题）下列命题中正确的个数是（     ） A．若，则 B．已知向量，则四点不一定在一直线上 C．若，，则 D．若，则 4.正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个点为起点或终点的向量中,与相等的向量共有　　　　个,与的模相等且夹角为60°的向量共有　　　　个.  5.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED和四边形OCFB都是正方形,在向量,,,,,,,中: (1)分别写出与,相等的向量; (2)写出与共线的向量; (3)写出与长度相等的向量; (4)求向量与的夹角的大小. 【题型二：向量的线性运算（重点）】 6.中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（       ） A． B． C． D． 8.（多选题）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 9.如图,在三角形ABC中,D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+=　　　　.  【题型三：向量共线定理的应用（高频）】 10．已知，，，则（   ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 11．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12.若和是两个不共线的非零向量，和起点相同，且，，三个向量的终点在同一条直线上．则的值是（       ） A． B． C．1 D．2 13.设和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 14.设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【题型一：利用向量的线性运算求参（重点）】 1.若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 2.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且||=2,设||=x,||=y,若|-|=||,则x+y的最大值为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 3.已知是内的一点，角、、所对的边长分别为、、，而且，若，则_____ 【题型二：向量模长不等式的应用（难点）】 【知识讲解】向量的模长满足不等式| ||－|| |≤|±|≤||+||. 4.已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设是非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【题型三：三点共线定理的应用（高频）】 【知识讲解】 三点共线定理：已知平面内直线AB外任意一点O,满足,且，则点P与点A,B共线. 对于由三点共线求参的问题，常利用三点共线定理速解. 7．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选题）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 9.已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________． 10.如图，在中，已知点D在上满足，点M是的中点，过M作直线交，于P，Q两点，记，，且，． (1)试用的线性运算结果分别表示有向线段与； (2)求的最小值，并写出取等条件． 【题型四：利用向量线性运算解决平面几何问题（重点）】 11.在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（       ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 12.在四边形ABCD中,||=||且=,则四边形ABCD的形状一定是 (　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 13.用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 14. 在□ABCD中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又==,=，设=,=. (1)试用,表示向量； (2)求证：PM∥AN. 15.如图，三点不共线，，，设，. （1）试用表示向量； （2）设线段的中点分别为，试证明三点共线. 【题型一：与向量有关的新定义题（难点）】 1. 设是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（    ） A．C可能是线段的中点 B．D可能是线段的中点 C．C、D可能同时在线段上 D．C、D不可能同时在线段的延长线上 2.对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（     ） A．的“平衡点”为 B．的“平衡点”为的中点. C．的“平衡点”存在且唯一 D．的“平衡点”必为 【题型二：利用向量解决探究性问题（难点）】 3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.右图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到，也可以跳到，用向量 表示马走了“一步”.试在图中画出马在处走了“一步”的所有情况． 4.如图,D,E,F分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的动点,且在t=0时(初始时刻)分别从A、B、C出发,各以一定的速度沿各边向B、C、A移动,当t=1时,分别到达B、C、A,DH为△DEF的中线,求证:0≤t≤1的任何一时刻,△DEF的重心恒为G. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$