第01练 平面向量及其线性运算-2023年【暑假分层作业】高一数学（人教A版2019必修第二册）

第01练 平面向量及其线性运算 知识点一：平面向量的概念 1.向量 定义：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量； 表示方法：几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的 长度 表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．例如：，，…字母表示：用字母a表示，印刷用黑体a，书写用； 模：向量的 大小 叫做向量的模，记作或。 2.几个重要概念 数量：只有大小，没有 方向 的量称为数量； 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量．记作0； 单位向量：长度等于 1个单位长度 的向量叫做单位向量； 平行向量（共线向量）：方向 相同 或 相反 的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做 共线 向量，规定零向量与任意向量平行； 相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量叫做相等向量。 知识点二：向量的加法运算 1.向量加法的定义 求两个向量 和 的运算，叫做向量的加法． 2.向量求和法则 (1)三角形法则：如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a. (2)平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以 OA ， OB 为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量 (OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．这种方法叫做向量加法的平行四边形法则． 3.向量加法运算律 交换律：a＋b＝b＋a. 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4.向量加法的多边形法则 (1)当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为0.如图，在(n＋1)边形A0A1…An中，有＋＋＋…＋An－1An＋＝0. (2)向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”． 知识点三：向量的减法运算 1.相反向量 与向量a长度相等， 方向相反 的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量． (2)－(－a)＝ a ． (3)a＋(－a)＝ 0 ． (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝ 0 ． 2.向量的减法 (1)定义：求两个向量 差 的运算叫做向量的减法． (2)减法法则：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示． (3)几何意义：如果把两个向量的 起点 放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为 起点 ，被减向量的终点为终点 的向量． (4)向量减法的三角形法则的记忆规律：作平移，共起点，两尾连，指被减． 知识点四：向量的数乘运算 1.向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与非零向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ |λ||a| ． (2)λa的方向 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝ 0 ，或λ0＝ 0 ． 2.向量数乘的运算律 设λ，μ为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝__(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa ； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb ． 2.向量线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b ． 一、单选题 1．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 3．设为对角线的交点，为任意一点，则（    ） A． B． C． D． 4．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 5．如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知等腰梯形满足，与交于点，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）若是与同向的单位向量，则.其中正确的是________.(填序号) 10．四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是________． ①；②；③；④． 11