高一数学下学期期末模拟卷01（人教A版必修第二册全部：向量+解三角形+复数+立体几何初步+概率统计）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一册全册（平面向量及其应用+复数+立体几何初步+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 3．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 4．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 5若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 8．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 10．如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 11．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（　　） A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是___________________． 14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知中，角，，所对的边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，且的面积为，求边，的长. 16．（15分） 中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 18．(17分) 甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 19．（17分） 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”． (1)当时，若，求的长； (2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； (3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第二册全册（平面向量及其应用+复数+立体几何初步+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 3．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 4．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 5若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 8．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 10．如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 11．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（　　） A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是___________________． 14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知中，角，，所对的边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，且的面积为，求边，的长. 16．（15分） 中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 18．(17分) 甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 19．（17分） 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”． (1)当时，若，求的长； (2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； (3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】设，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第一限． 2． 【社会热点题】Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 【答案】C 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 3．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 4．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 5若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 6．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选A． 7．【决策性问题】小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 【答案】C 【详解】若小吴的个点数分别是，满足选项A； 若小温的个点数分别是，满足选项B； 若小龙的个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若小蔡的平均数为，又有点数，则个点数为，方差，不可能满足C，因此小蔡不会出现点数6，故选：C． 8．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A：由复数不能直接比较大小，只有实数才能比较大小，A错误； 对B：由，所以，，所以，B正确； 对C：因为实部为0，虚部，所以是纯虚数，C正确； 对D：设，则，当时，为复数，不能与0比较大小，D错误. 10．【教材改编题】如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 【答案】BCD 【分析】根据点，线，面的关系即可判断选项A；根据线面平行的判定即可判断选项B；先证明，，，四点共面，进而即可判断选项C；设，再证明是否在直线上，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，平面，且，，三点不共线，而平面， 所以，，，四点不共面，故A错误； 对于B，因为，分别为棱，的中点，所以，且， 又平面，而平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为点，分别在棱，上，且，， 所以，且，所以，且，所以，，，四点共面， 又平面，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，因为，，，四点共面，且显然不平行，所以相交， 设，又平面，平面，所以平面，且平面， 又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点，故D正确． 11．【方案设计题】重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（　　） A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 【答案】ABC 【详解】对于选项A：已知，，，在中，根据正弦定理（这里为三角形的三边，为三角形的三个内角），可以求出的长度. 又因为已知，在直角中，结合已求出的和等条件，就可以求出的高度，所以选项A正确. 对于选项B：已知，，，在中，依据正弦定理可以求出的长度. 再结合已知的，在直角中就可以求出的高度，所以选项B正确. 对于选项C：过点作，连接. 根据三角函数的关系，，， 可以推导出. 由于，已知，所以可以求得的大小. 在中，已知，和，利用正弦定理可求得的长度. 在中，已知和AC，就可以求得的长度，所以选项C正确. 对于选项D：在和中，都只知道一边一角， 根据三角形全等或求解的条件，仅一边一角无法确定三角形的形状和大小， 也就不能求出其他角或边，从而无法求出的高度，所以选项D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为， 则，故. 13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是___________________． 【答案】且 【详解】， ，若与的夹角为钝角，则，即：，又不共线，则,即：，则且 14．【情境题】如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以， 设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以， 在中，， 在中，， 即，即， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知中，角，，所对的边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，且的面积为，求边，的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为； 所以， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，故； （2），则， 由余弦定理可得，即，即， 则，， 故，，故. 16．（15分） 【社会热点题】中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得， 解得，即续航能力在区间内的频率为， 所以续航能力在区间内的实验次数为次. （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里. （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为， 所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验， 则在中的有1次实验，在中的有6次实验， 设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为， 可得 所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法， 设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”， 可得，共有6个基本事件， 所以事件的概率为 可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在正中，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且，平面，平面， 又平面，， 又，且，平面， 平面， 平面， ； （2）如图，取的中点为，连接，， 在正中，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 若，则， ， 由（1）知平面，， 平面， 平面，， 设点到平面的距离为， 而， 由可得，， ． 18．(17分) 【情境题】甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 【答案】(1)，当时，最大值为 (2)①；②． 【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 19．（17分） 【新定义题】如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”． (1)当时，若，求的长； (2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； (3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 【答案】(1)；(2)10；(3)证明见解析 【详解】（1）因为边长为1的等边三角形， 又，，． 在中，由余弦定理，， 故． （2）如图，设，，则， ， ，因，， 则， ． 因，则当时，取得最大值为10； （3）如图，设△PQR为△ABC的“变换三角形”， 则，，， 于是 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B D C A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BCD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.4 13. 且 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为； 所以， 由正弦定理可得，即，（4分） 由余弦定理可得，又，故；（6分） （2），则，（8分） 由余弦定理可得，即，即， 则，， 故，，故.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得， 解得，即续航能力在区间内的频率为， 所以续航能力在区间内的实验次数为次.（4分） （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里.（8分） （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为， 所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验， 则在中的有1次实验，在中的有6次实验， 设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为， 可得 所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法，（11分） 设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”， 可得，共有6个基本事件， 所以事件的概率为 可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）在正中，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且，平面，平面， 又平面，， 又，且，平面， 平面， 平面， ；（6分） （2）如图，取的中点为，连接，， 在正中，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 若，则， ，（10分） 由（1）知平面，， 平面， 平面，，（12分） 设点到平面的距离为， 而， 由可得，， ． （15分） 18．(17分) 【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为；（5分） （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ；（10分） ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ，（14分） 故甲总分高于乙总分的概率为 ．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为边长为1的等边三角形， 又，，． 在中，由余弦定理，， 故．（4分） （2）如图，设，，则， ， ，因，，（7分） 则， ． 因，则当时，取得最大值为10；（10分） （3）如图，设△PQR为△ABC的“变换三角形”， 则，，，（15分） 于是 .(17分) 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $