10 乘法结合律（导学案）新四年级数学暑假自学课（北京版·新教材）

10 乘法结合律 编者的话 亲爱的同学们，欢迎回到2026年暑假数学课堂！在前几课中，我们认识了乘法交换律，知道了交换因数的位置积不变。今天，我们将探索乘法运算中的另一个重要规律——“乘法结合律”。你是否好奇，当三个数连乘时，是先算前两个数快，还是先算后两个数快？结果会改变吗？本课将引导你通过计算、观察和验证，自主发现这一规律。我们将学习如何用简洁的字母公式来表达它，并重点掌握如何利用它让复杂的连乘计算变得简单巧妙（例如寻找“好朋友”数对 或 ）。请准备好纸笔，跟随导学案的步骤，一步步揭开数学规律的面纱。记住，数学不仅是计算，更是寻找秩序与美的过程。希望你能在自学中享受思考的乐趣，为新学期的挑战积蓄力量！ 学习目标 1.理解概念：通过具体算式的计算与对比，经历探索乘法结合律的过程，理解“先把前两个数相乘”或“先把后两个数相乘”，积不变的规律。 2.符号表示：能用字母（如 ）准确表示乘法结合律，体会数学符号的概括力。 3.应用实践：能运用乘法结合律（常配合乘法交换律）进行简便计算，特别是识别并组合能“凑整”的因数（如 和 ， 和 ），提高计算速度和准确率。 4.辨析能力：能区分乘法交换律与乘法结合律，并在混合运算中灵活综合运用。 知识要点 知识点一、情境引入与发现 观察下面两组算式，计算并比较它们的结果： 1.第一组： (1) (2) (3)结论： 2.第二组： (1) (2) 发现：在连乘运算中，改变运算顺序（即改变括号的位置），只要因数不变，最终的积也不变。特别是当某些数相乘能凑成整十、整百、整千时，先算它们会更简便。 知识点二、乘法结合律的定义 文字叙述：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。这叫做乘法结合律。 知识点三、字母表示 1.如果用字母 、 、 分别表示三个因数，那么乘法结合律可以表示为： 2.关键点解析： (1)不变的是：因数的位置（ 的顺序没变，除非同时用了交换律）、因数本身、最终的积。 (2)改变的是：运算的顺序（即括号的位置，也就是先算哪两个数）。 知识点四、乘法结合律的应用：简便计算 乘法结合律最主要的用途是“凑整”。在连乘算式中，如果发现有兩個数相乘能得到整十、整百、整千的数，我们可以利用乘法结合律（有时配合交换律）先计算这两个数。 1.常见“好朋友”数对： (1) (2) (3) (4) 2.典型示例： 计算 (1)观察： 和 是“好朋友”，相乘得 。 (2)步骤： ①　交换位置（运用乘法交换律，如果需要）：原式已经是 在前， 在后，中间隔着 。为了先算 ，我们需要改变运算顺序。 ②　结合分组（运用乘法结合律/交换律综合）： （先交换 和 的位置，运用乘法交换律） （再运用乘法结合律，先算前两个） 注意：在实际计算中，乘法交换律和结合律经常“搭档”使用，目的是把能凑整的数移到一起并优先计算。 自我评量 一、选择题 1.下面算式中，运用了乘法结合律的是（ ）。 A. B. C. D. 2.用字母表示乘法结合律，正确的是（ ）。 A. B. C. D. 3.下列验算或变形中，没有利用乘法结合律的是（ ）。 A. B. C. D. 二、判断题 4.，这里运用了乘法结合律。（ ） 5.，这也符合乘法结合律。（ ） 三、填空题 6.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把（ ）相乘，（ ）不变。这叫做乘法结合律。 7.用字母表示乘法结合律：（ ）。 8.在横线上填上合适的数，使计算简便。 ____ ____ ____ ____ 9.计算 时，为了简便，我们可以先算 ____ ____ 。 四、计算题 10.请用简便方法计算下列各题（写出主要过程）。 (1) (2) (3) 11.改正下面计算中的错误。 12.用乘法交换律或乘法结合律计算。 25×66×4             80×（63×125）             125×16×25 五、解答题 13.商店运来 8 箱饮料，每箱 25 瓶，每瓶售价 4 元。 （1）这些饮料一共能卖多少钱？ （2）小华在计算时，先算了 ，他说这样算更简单。请问小华的做法依据了什么运算定律？请写出计算过程。 14.文具店购进8箱笔记本，每箱25本，每本笔记本进价4元。购进这些笔记本一共需要花多少钱？ 15.某公司用一架无人机运送货物，起点和终点之间的距离是2900米，无人机运送完5趟货物并返回起点。这架无人机一共飞行了多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10 乘法结合律 编者的话 亲爱的同学们，欢迎回到2026年暑假数学课堂！在前几课中，我们认识了乘法交换律，知道了交换因数的位置积不变。今天，我们将探索乘法运算中的另一个重要规律——“乘法结合律”。你是否好奇，当三个数连乘时，是先算前两个数快，还是先算后两个数快？结果会改变吗？本课将引导你通过计算、观察和验证，自主发现这一规律。我们将学习如何用简洁的字母公式来表达它，并重点掌握如何利用它让复杂的连乘计算变得简单巧妙（例如寻找“好朋友”数对 或 ）。请准备好纸笔，跟随导学案的步骤，一步步揭开数学规律的面纱。记住，数学不仅是计算，更是寻找秩序与美的过程。希望你能在自学中享受思考的乐趣，为新学期的挑战积蓄力量！ 学习目标 1.理解概念：通过具体算式的计算与对比，经历探索乘法结合律的过程，理解“先把前两个数相乘”或“先把后两个数相乘”，积不变的规律。 2.符号表示：能用字母（如 ）准确表示乘法结合律，体会数学符号的概括力。 3.应用实践：能运用乘法结合律（常配合乘法交换律）进行简便计算，特别是识别并组合能“凑整”的因数（如 和 ， 和 ），提高计算速度和准确率。 4.辨析能力：能区分乘法交换律与乘法结合律，并在混合运算中灵活综合运用。 知识要点 知识点一、情境引入与发现 观察下面两组算式，计算并比较它们的结果： 1.第一组： (1) (2) (3)结论： 2.第二组： (1) (2) 发现：在连乘运算中，改变运算顺序（即改变括号的位置），只要因数不变，最终的积也不变。特别是当某些数相乘能凑成整十、整百、整千时，先算它们会更简便。 知识点二、乘法结合律的定义 文字叙述：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。这叫做乘法结合律。 知识点三、字母表示 1.如果用字母 、 、 分别表示三个因数，那么乘法结合律可以表示为： 2.关键点解析： (1)不变的是：因数的位置（ 的顺序没变，除非同时用了交换律）、因数本身、最终的积。 (2)改变的是：运算的顺序（即括号的位置，也就是先算哪两个数）。 知识点四、乘法结合律的应用：简便计算 乘法结合律最主要的用途是“凑整”。在连乘算式中，如果发现有兩個数相乘能得到整十、整百、整千的数，我们可以利用乘法结合律（有时配合交换律）先计算这两个数。 1.常见“好朋友”数对： (1) (2) (3) (4) 2.典型示例： 计算 (1)观察： 和 是“好朋友”，相乘得 。 (2)步骤： ①　交换位置（运用乘法交换律，如果需要）：原式已经是 在前， 在后，中间隔着 。为了先算 ，我们需要改变运算顺序。 ②　结合分组（运用乘法结合律/交换律综合）： （先交换 和 的位置，运用乘法交换律） （再运用乘法结合律，先算前两个） 注意：在实际计算中，乘法交换律和结合律经常“搭档”使用，目的是把能凑整的数移到一起并优先计算。 自我评量 一、选择题 1.下面算式中，运用了乘法结合律的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 B 【详解】 A 和 C 涉及因数位置的交换，属于乘法交换律；D 是加法交换律。B 选项中，因数顺序未变（都是25, 4, 8），只是改变了运算顺序（括号位置），符合乘法结合律的定义。 2.用字母表示乘法结合律，正确的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 C 【详解】 A 是加法交换律，B 是乘法交换律，C 是乘法结合律，D 是乘法分配律。 3.下列验算或变形中，没有利用乘法结合律的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 C 【详解】 A、D 明显是结合律。B 是拆分后结合 。C 选项中， ，如果是为了简便，通常不会先算 ，且这里 和 交换了位置，主要体现的是乘法交换律（相对于 而言）。相比之下，A、B、D 都明确指向“先算某两个特定数以凑整”的结合思想。 二、判断题 4.，这里运用了乘法结合律。（ ） 【答案】 √ 【详解】 对。因数顺序不变，只改变了运算顺序（括号位置），符合定义。 5.，这也符合乘法结合律。（ ） 【答案】 √ 【详解】 对。虽然结果都是0，但形式上依然满足结合律的结构。 三、填空题 6.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把（ ）相乘，（ ）不变。这叫做乘法结合律。 【答案】 后两个数；积 【详解】 考查乘法结合律的文字定义。 7.用字母表示乘法结合律：（ ）。 【答案】 【详解】 考查乘法结合律的字母表达式，注意括号的位置。 8.在横线上填上合适的数，使计算简便。 ____ ____ ____ ____ 【答案】 25；4；8；3 【详解】 第一题：利用交换律和结合律，将 和 结合，故填 和 。 第二题：将 拆分为 ，以便 和 结合，故填 和 。 9.计算 时，为了简便，我们可以先算 ____ ____ 。 【答案】 50；2 【详解】 因为 ，凑整简便。 四、计算题 10.请用简便方法计算下列各题（写出主要过程）。 (1) 【答案】 【详解】 观察发现 和 能凑成 。 原式 （运用乘法交换律） （运用乘法结合律） (2) 【答案】 【详解】 观察发现 和 能凑成 ，而 。 原式 （运用乘法结合律） (3) 【答案】 【详解】 观察发现 和 凑整， 本身就是整十。 原式 11.改正下面计算中的错误。 【答案】 见详解 【详解】 （将16拆分为4乘4） （运用乘法结合律） 12.用乘法交换律或乘法结合律计算。 25×66×4             80×（63×125）             125×16×25 【答案】6600；630000；50000 【分析】（1）交换66和4的位置，利用乘法交换律进行简算； （2）交换125和63的位置，再利用乘法结合律进行简算； （3）把16拆成，利用乘法结合律进行简算。 【详解】 五、解答题 13.商店运来 8 箱饮料，每箱 25 瓶，每瓶售价 4 元。 （1）这些饮料一共能卖多少钱？ （2）小华在计算时，先算了 ，他说这样算更简单。请问小华的做法依据了什么运算定律？请写出计算过程。 【答案】 （1）800 元 （2）乘法交换律和乘法结合律；见详解 【详解】 （1）总金额 = 箱数 每箱瓶数 单价 列式： （元） （2）小华的依据是乘法结合律。 原式： 为了简便，他想先算 （因为等于100）。 （元） 答：这些饮料一共能卖 800 元。 14.文具店购进8箱笔记本，每箱25本，每本笔记本进价4元。购进这些笔记本一共需要花多少钱？ 【答案】 800元 【分析】根据题意，先用8×25求出笔记本的总本数，再根据“总价＝数量×单价”即可求出需要花费的总钱数；计算时，可根据乘法结合律简算。 【详解】 ＝8×（25×4） ＝8×100 答：购进这些笔记本一共需要花800元。 15.某公司用一架无人机运送货物，起点和终点之间的距离是2900米，无人机运送完5趟货物并返回起点。这架无人机一共飞行了多少米？ 【答案】29000米 【分析】无人机送1趟货物后返回起点，需要飞1个来回，也就是2段起点到终点的距离；运送5趟货物最终返回起点，一共需要飞5个来回，用2900乘2，再乘5，计算时可以根据乘法结合律，先计算5乘2的积凑整，再与2900相乘，列式计算即可。 【详解】2900×2×5 ＝2900×（2×5） ＝2900×10 ＝29000（米） 答：这架无人机一共飞行了29000米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $